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第一章 绪论1

1.1反常扩散的定义1

1.2自然界和工程中的反常扩散现象1

1.3研究历史与现状2

1.3.1反常扩散建模与应用2

1.3.2反常扩散的数值模拟方法6

第二章 反常扩散建模概述9

2.1反常扩散物理基础9

2.2非线性扩散模型9

2.2.1非线性模型Ⅰ9

2.2.2非线性模型Ⅱ10

2.3变系数扩散模型10

2.3.1考虑扩散系数时间依赖性的模型10

2.3.2考虑边界条件时间依赖性的模型11

2.4随机行走模型12

2.5分数阶扩散模型12

第三章 分数阶扩散模型基础14

3.1分数阶导数与分形导数14

3.1.1分数阶微积分的定义15

3.1.2分数阶微积分的性质16

3.1.3变阶与随机阶积分和导数的定义、分形导数定义17

3.1.4分形导数的定义19

3.2分数阶Fick定律、微分方程模型及其统计表示19

3.3多尺度反常扩散建模23

3.3.1分布式导数扩散模型23

3.3.2数值算例与讨论25

3.4分数阶导数模型与分形导数模型的比较28

3.4.1理论分析28

3.4.2数值算例30

3.4.3小结32

第四章 变导数反常扩散模型33

4.1变导数研究简介33

4.2变导数反常扩散模型的分类与应用分析33

4.2.1时间依赖形式的变导数模型34

4.2.2空间依赖形式的变导数模型36

4.2.3浓度依赖形式的变导数模型37

4.2.4系统参数依赖形式的变导数模型38

4.2.5变导数反常扩散模型的统计特征39

4.2.6讨论41

4.3模糊系统观点41

4.3.1问题的提出41

4.3.2模糊分数阶系统42

4.3.3算例分析44

4.4随机导数模型46

4.4.1研究意义46

4.4.2随机导数耗散模型47

4.4.3随机导数反常扩散模型50

4.4.4随机导数模型的统计特性及其应用51

4.4.5讨论54

第五章 分数阶导数方程模型的反问题56

5.1反问题简述56

5.1.1反问题的求解57

5.1.2分数阶导数方程的五类反问题58

5.1.3小结62

5.2参数反问题62

5.2.1 Levenberg-Marquardt算法求解62

5.2.2参数反演问题的同伦算法68

5.2.3数值算例71

5.2.4小结73

5.3最佳摄动法求解源项反问题73

5.3.1源项反问题74

5.3.2最佳摄动量法76

5.3.3数值算例78

第六章 分数阶反常扩散方程的计算方法81

6.1分数阶反常扩散方程的算法简介81

6.2一些分数阶反常扩散方程的解析解81

6.2.1 Mittag-Leffler函数简介81

6.2.2分数阶耗散模型的解析解82

6.2.3分数阶扩散模型的解析解83

6.3时间分数阶反常扩散方程的有限差分算法84

6.4基于有限单元法的时间分数阶反常扩散方程半解析算法86

6.4.1算法框架87

6.4.2数值算例90

6.4.3讨论96

6.4.4小结97

6.5空间分数阶反常扩散方程的有限单元法97

6.5.1模型描述98

6.5.2变分形式99

6.5.3有限元求解99

6.5.4 数值算例102

6.5.5问题与讨论105

6.5.6附录106

第七章 反常扩散的非常规统计建模方法110

7.1 Levy稳定分布110

7.1.1 Levy稳定分布的特征函数111

7.1.2 Levy稳定分布的密度函数和稳定分布函数112

7.1.3 Levy稳定分布的随机数117

7.1.4 Levy稳定分布的参数估计118

7.2扩展Gaussian分布121

7.3 Tsallis分布122

7.3.1 Tsallis熵的引入122

7.3.2 Tsallis熵的非广延性123

7.3.3 Tsallis熵与广义微分算子的关系123

7.3.4 Tsallis分布124

7.4 Mittag-Leffler分布125

7.4.1 Mittag-Leffler函数125

7.4.2单参数的Mittag-Leffler分布127

7.4.3双参数的Mittag-Leffler分布127

7.4.4 Mittag-Leffler随机数的生成128

7.5 Levy稳定分布Matlab工具箱129

7.5.1建模功能模块130

7.5.2图形界面功能模块133

第八章 随机行走模型136

8.1连续时间随机行走模型136

8.1.1连续随机行走模型理论基础136

8.1.2随机行走模型的蒙特卡洛模拟138

8.2分形结构介质中的反常扩散139

8.2.1研究背景139

8.2.2分形介质扩散基本概念139

8.2.3分形结构构造141

8.2.4分形结构中的随机行走142

8.2.5 分形结构中的随机行走模型参数确定152

第九章 流体力学和水文中的反常扩散156

9.1分数阶扩散模型在地下含水层溶质迁移过程模拟中的应用156

9.2水工建筑物混凝土氯离子侵蚀159

9.2.1混凝土中氯离子扩散模型160

9.2.2时间分数阶扩散方程中的参数获得161

9.2.3结果与讨论162

9.2.4小结165

9.3分形导数Richards模型在非饱和土壤水分运移过程研究中的应用166

9.3.1模型描述166

9.3.2讨论171

9.3.3小结172

9.4分数阶扩散模型在水流含沙量垂向分布研究中的应用172

9.4.1模型描述172

9.4.2实验数据分析174

9.4.3讨论178

第十章 反常扩散在其他领域中的应用180

10.1量子物理中的反常扩散180

10.1.1薛定谔方程180

10.1.2空间分数阶薛定谔方程181

10.1.3时间分数阶薛定谔方程181

10.1.4分数阶薛定谔方程的相关变换182

10.1.5国内外其他研究进展183

10.2生物流体力学中的反常扩散现象184

10.2.1生物渗流力学中的反常扩散184

10.2.2心肌细胞内钙火花反常扩散184

10.2.3药物控释反常扩散185

10.2.4多孔介质干燥过程中湿分的反常扩散185

10.3复杂介质中的反常热传导过程分析186

10.3.1非傅里叶热传导187

10.3.2多孔介质中传热传质现象188

第十一章 结论与展望190

11.1结论190

11.2研究展望191

参考文献192