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第1章 欧几里德直线的微分分拆1

第1.1节 装上了标架的欧几里德直线1

第1.2节 直线L上区间的类型1

第1.2.1品 问题的提出1

第1.2.2品 不同类型的数学基础集合中的区间的记号2

第1.2.2.1回 自然数集合中的区间2

第1.2.2.2回 整数集合中的区间2

第1.2.2.3回 有理数集合中的区间2

第1.2.2.4回 实数集合中的区间2

第1.2.2.5回 直线L上以实数为端点的区间2

第1.2.2.6回 实数空集合的区间3

第1.2.2.7回 直线L上区间的分拆3

第1.2.2.8回 测度的有穷可加性3

第1.3节 关于测度和序的基本公理4

第1.3.1品 欧几里德直线L上的测度公理4

第1.3.2品 数学中关于序的基本原则4

第1.4节 实数集合R不能填满一条装上坐标系的欧几里德直线L4

第1.5节 对无穷小线性元素测度的初步讨论6

第1.6节 对无穷大线性元素测度的初步讨论6

第1.6.1品 有中心点的对称性公理6

第1.6.2品 无中心点的对称性公理6

第1.7节 一条装上坐标系的欧几里德直线L相对于整数集合Z的分拆展开式7

第1.8节 装上坐标系的欧几里德直线L相对于实数集合R的分拆展开式8

第2章 基础知识12

第2.1节 标准实数系的公理系12

第2.1.1品 R是有序域12

第2.1.2品 R是完备的12

第2.2节 闭的标准实数集合R12

第2.3节 关于不可分量14

第2.3.1品 不可分量的历史导论14

第2.3.2品 不可分量的定义15

第2.4节 关于区间套的等价性15

第2.4.1品 有穷区间套等价的定义15

第2.4.2品 半无穷区间套等价的定义16

第2.4.3品 例题17

第2.4.4品 交集合a？Ω＋和Ω-？a的测度的等价性18

第2.5节 欧弥伽连续统的元素的定义19

第2.5.1品 实数a的右单子的定义19

第2.5.2品 实数a的左单子的定义19

第2.5.3品 欧弥伽连续统的一般的定义20

第3章 欧弥伽分割与序21

第3.1节 连续元的欧弥伽分割表示21

第3.2节 连续元之间的序22

第3.2.1品 连续元之间的相等和小于的定义22

第3.2.2品 连续元之间的序的传递性22

第3.2.3品 连续元之间的序的排列23

第3.2.4品 连续元的正负的定义24

第3.2.5品 装上标架的欧氏直线L上的本源几何形式24

第3.2.6品 半射线区间｜ 0，∞）上的本源几何形式24

第3.2.7品 在平面上的条形区域的本源几何形式25

第3.2.7.1回 问题的提出25

第3.2.7.3回 在平面上的条形区域的本源几何形式的一般定义25

第3.2.7.4回 条形区域间测度比较大小的基本原则26

第4章 欧弥伽四则算术运算27

第4.1节 连续元之间的加法27

第4.1.1品 连续元之间加法表27

第4.1.2品 在Ω∏中加法的保序性27

第4.1.3品 在Ω∏中减法的定义27

第4.1.4品 连续元之间的加法的定义举例28

第4.2节 连续元之间的乘法29

第4.2.1品 连续元之间的乘法表29

第4.2.2品 在Ω∏中乘法的保序性30

第4.2.3品 欧弥伽连续统中的绝对值的定义30

第4.2.4品 欧弥伽连续统中乘法的一般定义30

第4.2.5品 连续元之间的乘法的定义举例30

第4.3节 连续元之间的除法31

第4.3.1品 连续元之间的除法表31

第4.3.1.1回 除数是ω＋和π+31

第4.3.1.2回 除数是ω-？a，a和a？ω+32

第4.3.2品 连续元之间的除法的定义举例32

第4.4节 闭的标准欧弥伽连续统？33

第5章 直线上的长度及其有关积分34

第5.1节 直线上有穷区间的积分34

第5.1.1品 逆向积分问题的提法34

第5.1.2品 正向积分的回答34

第5.1.3品 正向积分与逆向积分之间的等值公理35

第5.1.4品 测度的有穷可加性的逆向积分表示35

第5.2节 直线上无穷区间的积分35

第5.2.1品 逆向积分问题的提法35

第5.2.2品 正向积分的回答36

第5.2.3品 正向积分与逆向积分之间的等值公理36

第5.2.4品 测度的有穷可加性的逆向积分表示36

第6章 平面上矩形的面积及其有关积分37

第6.1节 平面上有穷矩形的面积37

第6.1.1品 问题的提出37

第6.1.1.1回 平面上的面积微分运算37

第6.1.1.2回 面积微分运算的性质38

第6.1.1.3回 关于微分运算与Ω∏的元素之间的四则运算之间的差别一点注释38

第6.1.2品 逆向积分问题的提法39

第6.1.3品 正向积分的回答40

第6.1.4品 正向积分与逆向积分之间的等值公理40

第6.1.5品 测度的有穷可加性的逆向积分表示41

第6.1.6品 逆向积分与逆向积分之间的等值公理41

第6.2节 有穷区间上庄子的无厚不可积定理42

第6.2.1品 问题的提出42

第6.2.2品 在有穷区间上庄子的无厚不可积定理43

第6.2.3品 庄子无厚不可积定理的简单推论43

第7章 无穷小直线元素的存在性44

第7.1节 无穷小直线元素的存在性证明44

第7.1.1品 首先证明ω小于任一正实数44

第7.1.2品 现在证明：ω≠044

第7.2节 欧弥伽连续统的元素的测度45

第7.3节 历史的评述46

第8章 平面上无穷区间上矩形的面积及有关积分47

第8.1节 平面上无穷区间上矩形的面积47

第8.1.1品 问题的提出47

第8.1.2品 逆向积分问题的提法48

第8.1.3品 正向积分的回答48

第8.1.4品 正向积分与逆向积分之间的等值公理48

第8.1.5品 测度的有穷可加性的逆向积分表示48

第8.1.6品 逆向积分与逆向积分之间的等值公理49

第8.2节 无穷区间上庄子的无厚不可积定理50

第8.2.1品 问题的提出50

第8.2.2品 在无穷区间上庄子的无厚不可积定理50

第8.2.3品 庄子无厚不可积定理的简单推论51

第8.2.4品 几点特殊注解51

第8.2.4.1回 单个元素的区间及其测度51

第8.2.4.2回 两个元素的区间及其测度52

第8.2.4.3回 三个元素的区间及其测度52

第8.2.4.4回 微分区间长度的算术表示52

第8.2.4.5回 超过三个元素的有穷区间的测度52

第8.2.4.6回 无穷区间的测度53

第8.2.4.7回 直线上的常速度运动53

第8.2.4.8回 欧弥伽微商的定义53

第8.2.4.9回 Ω∏的子连续统54

第9章 评论弥永昌吉《数学百科词典》中所载的三条常用数学公理55

第9.1节 评论若当-卡拉特欧多里-勒贝格的实数空集合的测度为零的公理55

第9.1.1品 弥永昌吉《数学百科词典》中对此公理的陈述55

第9.1.2品 本书对此公理的所提供的反例55

第9.1.2.1回 第一是微观的反例55

第9.1.2.2回 第二是宏观的反例55

第9.1.2.3回 第三是宇观的反例56

第9.2节 评论康托的实数线公理56

第9.2.1品 弥永昌吉《数学百科词典》中对此公理的陈述56

第9.2.2品 本书对此公理的所提供的反例56

第9.2.2.1回 第一是整体性的反例56

第9.2.2.2回 第二是有穷区间上的反例56

第9.2.2.3回 第三是无穷区间上的反例57

第9.3节 空集合？是任意集合的子集合吗？57

第9.3.1品 弥永昌吉《数学百科词典》中对此公理的陈述57

第9.3.2品 本书中已经得到的结论57

第9.3.3品 简单评论58

第10章 微积分学的历史概论59

第10.1节 微积分学历史的综述59

第10.2节 标准分析中的几个基本概念60

第10.2.1品 标准分析中的有穷的外尔斯特拉斯极限60

第10.2.2品 标准分析中的函数的连续性61

第10.2.3品 标准分析中的函数的导数61

第10.3节 外尔斯特拉斯极限论，康托连续统和狄特金分割的发展62

第10.3.1品 外尔斯特拉斯极限论的发展62

第10.3.2品 康托连续统的发展63

第10.3.3品 狄特金分割的发展63

第11章 欧弥伽极限论65

第11.1节 实数集合R中的序列的欧弥伽极限65

第11.1.1品 外尔斯特拉斯意义下序列的极限65

第11.1.2品 外尔斯特拉斯序列的极限与欧弥伽极限在符号上的区分65

第11.1.3品 把外尔斯特拉斯极限分解为七个欧弥伽极限66

第11.1.4品 当n趋向无穷的例题67

第11.2节 函数的欧弥伽极限67

第11.2.1品 自变量的极限67

第11.2.2品 实函数的右极限68

第11.2.3品 实函数的左极限69

第11.2.4品 例题70

第11.2.5品 极限点集合的欧弥伽扩张70

第12章 欧弥伽函数论72

第12.1节 将R中的函数用欧弥伽极限扩大到Ω∏之中72

第12.1.1品 对实数函数的一般性讨论72

第12.1.2品 对实数连续函数的讨论72

第12.1.3品 将连续统Ω∏中的函数转化成实数函数73

第12.1.4品 欧弥伽微变函数的定义73

第12.1.5品 欧弥伽极限协调性的定义73

第12.1.6品 实数连续函数的性质74

第12.2节 将R中的可导函数扩大到Ω∏之中74

第12.2.1品 具有一阶导数的实数函数的扩大74

第12.2.2品 具有高阶导数的实数函数的扩大74

第12.2.3品 导数的单值扩大75

第12.2.4品 导数单值扩大的性质76

第12.2.5品 例题76

第13章 欧弥伽测度论77

第13.1节 实数集合的特征函数77

第13.2节 实数集合的极限协调性扩大77

第13.3节 满足欧弥伽极限协调性集合的重要性质78

第13.4节 无界实数集合的情况79

第13.5节 几点评论79

第14章 欧弥伽逆向积分论80

第14.1节 有穷区间上的逆向积分论80

第14.1.1品 问题的提出80

第14.1.2品 逆向积分的定义80

第14.1.3品 逆向积分的基本不等式81

第14.1.4品 多值函数的逆向积分的定义82

第14.1.5品 实数函数的逆向积分的定义83

第14.2节 无穷区间上的逆向积分论83

第14.2.1品 问题的提出83

第14.2.2品 逆向积分的定义84

第14.2.3品 逆向积分的基本不等式85

第14.2.4品 多值函数的逆向积分的定义85

第14.2.5品 实数函数的逆向积分的定义86

第15章 欧弥伽正向积分论87

第15.1节 有穷区间上的正向积分论87

第15.1.1品 有穷区间上函数的微分论87

第15.1.2品 有穷区间上的正向积分公理388

第15.2节 无穷区间上的正向积分88

第15.2.1品 无穷区间上函数的微分88

第15.2.2品 无穷区间上的正向积分公理390

第16章 积分的辅助公理91

第16.1节 积分等值的辅助公理91

第16.1.1品 正向积分之间的等值91

第16.1.2品 正向积分与逆向积分之间的等值91

第16.1.3品 逆向积分与逆向积分之间的等值92

第16.1.4品 无穷区间上积分的等值93

第16.1.5品 无穷区间上正向积分之间的等值93

第16.1.6品 无穷区间上正向积分与逆向积分之间的等值93

第16.1.7品 无穷区间上逆向积分与逆向积分之间的等值94

第16.2节 对逆向积分估值的辅助公理95

第16.2.1品 三元素的区间95

第16.2.2品 实数骨干函数的定义95

第16.2.3品 关于逆向积分估值的辅助公理一96

第16.2.4品 关于逆向积分估值的辅助公理二96

第16.2.5品 关于逆向积分估值的辅助公理三96

第16.2.6品 关于逆向积分估值的辅助公理四96

第16.2.7品 关于逆向积分估值的辅助公理五97

第17章 欧弥伽逆向可积分函数的类型98

第17.1节 基本的逆向可积分函数类型98

第17.1.1品 基本假设及其推出的性质98

第17.1.2品 对区间［a，c1 1］的讨论99

第17.1.3品 对区间［ck 1，ck+1 1］的讨论100

第17.1.4品 对ε？的讨论101

第17.1.5品 对区间［a，a1 1］的讨论102

第17.1.6品 对区间［a,b］的一般性讨论103

第17.1.7品 逆向基本可积分函数类的定理103

第17.1.8品 按照欧弥伽极限扩大的逆向积分103

第17.1.9品 面积函数的定义和性质104

第17.1.10品 积分的公式的变形104

第17.1.11品 物理应用105

第17.2节 有界实数函数按照欧弥伽极限扩大的可积分函数类106

第18章 基本的积分公式和分析学的平行理论初步108

第18.1节 牛顿和莱布尼茨的公式的陈述和证明108

第18.1.1品 找寻逆向积分的被积分函数的原函数并把逆向积分化归正向积分而求解108

第18.1.2品 牛顿和莱布尼茨的公式的证明109

第18.1.3品 被积式的欧弥伽第一扩大与极限扩大的积分值的比较110

第18.1.4品 无穷大直线元素存在性的证明111

第18.2节 欧弥伽公式112

第18.2.1品 关于求反导数的积分方法的一个新的可积类型112

第18.2.2品 欧弥伽第二扩大定义法113

第18.2.3品 欧弥伽公式的陈述113

第18.2.4品 欧弥伽公式的证明113

第18.3节 求反导数与求逆向积分的关系115

第18.3.1品 欧弥伽反导数的定义115

第18.3.2品 欧弥伽极限扩大的逆向积分的性质115

第18.3.3品 具有左右极限的欧弥伽逆向可积类与欧弥伽反导数之间的关系116

第18.4节 逆向积分的基本可积分类型的初步总结116

第18.5节 有界的欧弥伽可积分类的一般定义117

第18.6节 派生的欧弥伽可积分类型120

第18.7节 有界的欧弥伽可积分类的基本性质（1）120

第18.8节 有界欧弥伽逆向可积类基本性质（2）121

第18.9节 复合函数的欧弥伽逆向可积性122

第18.10节 有界欧弥伽逆向可积类型的三个保序性122

第18.11节 有界欧弥伽逆向可积分函数的其它的不等式123

第18.12节 有界欧弥伽逆向可积分函数的面积函数124

第18.13节 欧弥伽逆向积分的第二中值定理124

第18.14节 分部积分法125

第18.14.1品 不定积分的分部积分法125

第18.14.2品 欧弥伽逆向积分的分部积分公式125

第18.15节 逆向积分的换元积分公式126

第18.16节 欧弥伽连续函数论126

第18.16.1品 对具有左右极限的实数函数的一种特殊的极限扩大127

第18.16.2品 欧弥伽连续函数的基本性质128

第18.16.2.1回 欧弥伽连续函数的上界和下界128

第18.16.2.2回 欧弥伽连续函数能够在［a,b］达到它的最小的实数的上界和最大的实数下界128

第18.16.2.3回 介值定理129

第18.16.2.4回 结束语和展望129

第19章 欧弥伽微分学初步和间断的分布函数130

第19.1节 微分学的基本公式130

第19.2节 欧弥伽积分公式和导数公式的变形131

第19.2.1品 关于欧弥伽积分公式的变形131

第19.2.2品 左导数和右导数的符号的变形132

第19.23品 关于欧弥伽导数的四则运算132

第19.3节 二阶和高阶欧弥伽导数的表示133

第19.3.1品 欧弥伽二阶导数的表示133

第19.3.2品 二阶欧弥伽导数的积分公式133

第19.3.3品 关于欧弥伽高阶导数的注释134

第19.3.4品 欧弥伽微分学的基本定理135

第19.3.5品 欧弥伽-Taylor公式135

第19.4节 定义在一个有穷集合和它的补集合上的斯科伦阶梯函数—在Ω∏中间断分布函数举例136

第19.4.1品 连续分布函数的举例136

第19.4.2品 间断分布函数的举例136

第19.4.3品 注释137

第19.5节 广义的正向积分论138

第19.5.1品 一般函数的微分论138

第19.5.2品 广义的正向积分公理139

第19.5.3品 历史的评论140

第19.6节 闭的欧弥伽连续统中连续元的上杠欧弥伽分割的表示141

第20章 简单的评论144

第20.1节 对不可分量的评论144

第20.2节 对芝诺（ZENO）的总格言的评述144

第20.3节 对庄周的“无厚不可积”的猜想的论证145

第20.4节 对亚里士多德否认数能够产生一个连续统的猜想的论证145

第20.5节 对庄周的“万世不竭”猜想的评论145

第20.6节 对测度、连续和离散的评述146

第20.7节 毕达哥拉斯格言的发展147

第20.8节 对庄周的“万世不竭”概念的发展148