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第1章 常微分方程初值问题3

1.1 基本概念 Euler法与梯形法3

第一部分 常微分方程的数值解法3

1.1.1 Euler法4

1.1.2 梯形法8

1.2 Runge-Kutta方法及一般单步方法9

1.2.1 RK方法的构造10

1.2.2 单步方法的相容性与收敛性16

1.2.3 单步方法整体截断误差渐近展开及其应用19

1.3.1 线性多步方法的构造22

1.3 线性多步方法22

1.3.2 线性多步方法的应用27

1.4 线性差分方程的基本知识29

1.4.1 一般性质29

1.4.2 常系数齐次差分方程的基本解组30

1.4.3 常系数差分方程解的渐近性质33

1.5 一般多步方法的收敛性34

1.5.1 多步方法的收敛性34

1.5.2 线性多步方法情形的进一步结果39

1.6.1 线性多步方法的绝对稳定性42

1.6 数值稳定性42

1.6.2 绝对稳定区间的确定46

1.6.3 Runge-Kutta方法的绝对稳定性48

1.7 一阶方程组与刚性问题49

1.7.1 一阶方程组49

1.7.2 刚性问题51

本章小结与补充讨论55

习题55

2.1 两点边值问题的差分格式61

第2章 椭圆型方程61

第二部分 偏微分方程的差分方法61

2.1.1 用差商代替导数的方法62

2.1.2 积分插值法65

2.1.3 边界条件的处理66

2.2 二阶椭圆型方程边值问题的差分格式67

2.2.1 区域的矩形网格剖分68

2.2.2 矩形区域上的差分格式69

2.2.3 矩形区域上边界条件的处理72

2.2.4 非矩形区域上的差分格式与边界条件的处理73

2.3.1 偏微分方程的积分形式75

2.3 用积分插值法构造差分格式75

2.3.2 用积分插值法构造内点的差分格式76

2.3.3 用积分插值法构造边界点的差分格式78

2.4 极值原理与差分格式的收敛性80

2.4.1 线性椭圆型差分方程的一般形式80

2.4.2 极值原理及差分格式之解的先验估计81

2.4.3 五点格式的稳定性与收敛性85

2.5 能量估计与差分格式的收敛性87

2.5.1 记号，若干差分公式与不等式87

2.5.2 差分算子的特征值与特征函数90

2.5.3 两点边值问题差分格式之解的先验估计与收敛性94

2.5.4 二阶椭圆型方程边值问题差分格式之解的先验估计及收敛性97

本章小结与补充讨论100

习题101

第3章 离散方程的数值解法103

3.1 交替方向迭代法104

3.1.1 模型问题104

3.1.2 Peaceman-Rachford迭代格式106

3.1.3 PR迭代格式中迭代参数的选择108

3.1.4 其他交替方向迭代格式111

3.2.1 共轭梯度法的主要步骤与性质113

3.2 预处理共轭梯度法113

3.2.2 预处理共轭梯度法的步骤及预优矩阵的构造114

3.3 多重网格法119

3.3.1 一维模型问题与古典迭代的光滑效应119

3.3.2 二重网格法121

3.3.3 多重网格法127

本章小结与补充讨论128

习题129

第4章 抛物型方程130

4.1 一维抛物型方程初边值问题的差分格式131

4.1.1 常系数热传导方程的古典格式132

4.1.2 变系数方程的差分格式137

4.2 差分格式的稳定性与收敛性138

4.2.1 差分格式的稳定性138

4.2.2 差分格式的相容性与收敛性144

4.3 稳定性研究中的矩阵方法146

4.3.1 矩阵方法的一般讨论147

4.3.2 常系数热传导方程古典格式的稳定性149

4.4 稳定性研究中的分离变量法153

4.4.1 分离变量法的一般讨论153

4.4.2 对多个空间变量情形的应用157

4.4.3 对三层格式的应用160

4.5 差分格式的单侧逼近性质及其应用165

4.6 交替方向隐格式及相关的格式170

4.6.1 PR格式170

4.6.2 Douglas格式172

4.6.3 非齐次边界条件情形下过渡层边值的取法175

4.6.4 局部一维格式与预测-校正格式176

本章小结与补充讨论179

习题180

第5章 双曲型方程183

5.1 一阶线性双曲型方程的差分格式184

5.1.1 一阶常系数方程初值问题184

5.1.2 一阶常系数方程初边值问题192

5.1.3 一阶变系数方程的差分格式194

5.2 一阶常系数线性双曲型方程组的差分格式195

5.3 二阶线性双曲型方程的差分格式198

5.3.1 一维常系数波动方程198

5.3.2 一维变系数波动方程204

5.3.3 二维波动方程206

5.4 交替方向隐格式208

习题213

本章小结与补充讨论213

第三部分 偏微分方程的有限元方法217

第6章 边值问题的变分原理与广义解217

6.1 古典变分法的一些概念217

6.1.1 泛函的极值与Euler方程217

6.1.2 自然边界条件224

6.1.3 多个自变量的情形225

6.1.4 自然边界条件（续）229

6.2.1 边值问题与最小位能原理231

6.2 边值问题的变分原理231

6.2.2 虚功原理234

6.2.3 边值问题与变分问题的关系235

6.2.4 内边界条件236

6.3 Sobolev空间与边值问题的广义解238

6.3.1 广义导数239

6.3.2 Sobolev空间和边值问题的广义解244

6.3.3 广义解的存在性和唯一性247

6.4 变分近似法254

6.4.1 Ritz方法254

6.4.2 Galerkin方法256

6.4.3 投影定理257

本章小结与补充讨论260

习题260

第7章 有限元方法的基本过程263

7.1 两点边值问题的有限元方法263

7.1.1 用Ritz方法建立有限元方程265

7.1.2 用Galerkin方法建立有限元方程271

7.2 二维边值问题的有限元方法276

7.2.1 三角剖分与分片插值277

7.2.2 单元分析与总体合成281

7.2.3 积分的计算288

7.2.4 本质边界条件的处理292

7.2.5 有限元方程的求解295

7.2.6 有限元方法的一般过程296

本章小结与补充讨论298

习题298

第8章 有限元方法的几个问题300

8.1 形状函数与有限元空间300

8.1.1 引言300

8.1.2 一维高次元的形状函数303

8.1.3 一维Hermite型的形状函数309

8.1.4 二维矩形单元的形状函数312

8.1.5 二维三角形单元的形状函数318

8.1.6 等参数单元324

8.1.7 三维情形329

8.1.8 单元形状函数小结333

8.2 收敛性与误差估计334

8.2.1 引言334

8.2.2 Sobolev空间中的插值理论335

8.2.3 有限元方法的收敛性与误差估计344

8.3 抛物型方程的有限元方法349

8.3.1 引言349

8.3.2 线性抛物型方程的广义解351

8.3.3 半离散的有限元方程353

8.3.4 全离散的有限元方程355

本章小结与补充讨论356

习题357

部分习题答案及提示359

参考文献366

附录368