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第1部分 建模、计算机与误差分析问题1

PT1.1 动机2

PT1.1.1 非计算机方法2

PT1.1.2 数值方法与工程实践3

PT1.2 数学背景4

PT1.3 导读6

PT1.3.1 范围与预览6

PT1.3.2 目标7

第1章 数学建模与工程问题求解9

1.1 一个简单的数学模型9

1.2 守恒律与工程15

习题18

第2章 程序设计与软件24

2.1 软件包与程序设计24

2.2 结构化程序设计25

2.3 模块化程序设计33

2.4 Excel35

2.5 MATLAB38

2.6 MATHCAD42

2.7 其他的语言和软件库43

习题43

第3章 逼近与舍入误差52

3.1 有效数字53

3.2 准确度与精度54

3.3 误差的定义55

3.4 舍入误差60

3.4.1 数的计算机表示60

3.4.2 计算机中的算术运算67

习题72

第4章 截断误差与泰勒级数74

4.1 泰勒级数74

4.1.1 泰勒级数展开的余项80

4.1.2 用泰勒级数估计截断误差82

4.1.3 数值微分86

4.2 误差传播90

4.2.1 单变量函数90

4.2.2 多变量函数91

4.2.3 稳定性与稳定条件93

4.3 总数值误差94

4.3.1 数值微分的误差分析95

4.3.2 数值误差的控制97

4.4 粗差、形式化误差和数据的不确定性98

4.4.1 粗差98

4.4.2 形式化误差99

4.4.3 数据的不确定性99

习题99

第1部分结束语103

PT1.4 权衡103

PT1.5 重要的关系式与公式105

PT1.6 高级方法与其他参考文献105

第2部分 方程求根107

PT2.1 动机108

PT2.1.1 求根的非计算机方法108

PT2.1.2 方程求根和工程实践108

PT2.2 数学背景110

PT2.3 导读110

PT2.3.1 范围与预览111

PT2.3.2 目标112

第5章 划界法113

5.1 图解法113

5.2 二分法117

5.2.1 终止条件和误差估计119

5.2.2 二分算法123

5.2.3 最小化函数的计算量123

5.3 试位法124

5.3.1 试位法的缺陷127

5.3.2 改进的试位法129

5.4 增量搜索和确定初始估计值130

习题130

第6章 开方法136

6.1 简单定点迭代法137

6.1.1 收敛性138

6.1.2 定点迭代算法141

6.2 牛顿-瑞普逊法142

6.2.1 终止条件和误差估计143

6.2.2 牛顿-瑞普逊法的缺点145

6.2.3 牛顿-瑞普逊算法147

6.3 正割法148

6.3.1 正割法和试位法的差异149

6.3.2 正割法算法151

6.3.3 改进的正割法151

6.4 布伦特法152

6.4.1 逆二次插值法152

6.4.2 布伦特法的算法155

6.5 重根156

6.6 非线性方程组159

6.6.1 定点迭代法160

6.6.2 牛顿-瑞普逊法162

习题164

第7章 多项式求根169

7.1 工程和科学中的多项式169

7.2 多项式计算172

7.2.1 多项式计算和微分172

7.2.2 多项式紧缩172

7.3 传统方法175

7.4 米勒法175

7.5 贝尔斯托法179

7.6 其他方法184

7.7 使用软件包求根184

7.7.1 Excel184

7.7.2 MATLAB187

7.7.3 Mathcad190

习题192

第8章 方程求根案例分析195

8.1 理想和非理想气体定律（化学／生物工程）195

8.2 温室气体和雨水（土木／环境工程）197

8.3 电子电路的设计（电气工程）200

8.4 管道摩擦（机械／航空航天工程）202

习题205

第2部分结束语221

PT2.4 权衡221

PT2.5 重要的关系式与公式222

PT2.6 高级求根方法与其他参考文献223

第3部分 线性代数方程组224

PT3.1 动机225

PT3.1.1 求解方程组的非计算机方法225

PT3.1.2 线性代数方程组和工程实践225

PT3.2 数学背景227

PT3.2.1 矩阵概念227

PT3.2.2 矩阵操作规则229

PT3.2.3 用矩阵形式表示线性代数方程组233

PT3.3 导读235

PT3.3.1 范围与预览235

PT3.3.2 目标236

第9章 高斯消去法237

9.1 求解小规模方程组237

9.1.1 图解法237

9.1.2 行列式和克莱姆法则239

9.1.3 未知数消去法242

9.2 原始高斯消去法243

9.3 消去法的缺陷250

9.3.1 除以0的问题250

9.3.2 舍入误差250

9.3.3 病态方程组251

9.3.4 奇异方程组255

9.4 解求精技术255

9.4.1 使用更多的有效位255

9.4.2 交换主元法256

9.4.3 缩放258

9.4.4 高斯消去算法260

9.5 复数方程组263

9.6 非线性方程组263

9.7 高斯-约当法265

9.8 小结267

习题267

第10章 LU分解法和矩阵求逆272

10.1 LU分解272

10.1.1 LU分解概述272

10.1.2 高斯消去法的LU分解274

10.1.3 LU分解算法279

10.1.4 Crout分解280

10.2 矩阵求逆282

10.2.1 计算逆矩阵282

10.2.2 激励-反应计算284

10.3 误差分析和方程组条件285

10.3.1 向量和矩阵的范数286

10.3.2 矩阵条件数289

10.3.3 迭代求精290

习题291

第11章 特殊矩阵和高斯-赛得尔方法295

11.1 特殊矩阵295

11.1.1 三对角方程组296

11.1.2 Cholesky分解298

11.2 高斯-赛得尔方法300

11.2.1 高斯-赛得尔方法的收敛准则302

11.2.2 使用松弛方法提高收敛性304

11.2.3 高斯-赛得尔算法305

11.2.4 高斯-赛得尔方法的问题背景306

11.3 使用软件包求解线性代数方程组306

11.3.1 Excel306

11.3.2 MATLAB307

11.3.3 Mathcad309

习题310

第12章 线性代数方程组案例分析315

12.1 反应系统的稳态分析（化学／生物工程）315

12.2 分析静止固定的支架（土木／环境工程）318

12.3 电阻电路中的电流和电压（电气工程）321

12.4 弹簧-质量块系统（机械／航空航天工程）323

习题326

第3部分结束语339

PT3.4 权衡339

PT3.5 重要的关系式与公式340

PT3.6 高级方法与其他参考文献341

第4部分 最优化342

PT4.1 动机343

PT4.1.1 非计算机方法及其历史343

PT4.1.2 最优化和工程实践344

PT4.2 数学背景348

PT4.3 导读349

PT4.3.1 范围与预览349

PT4.3.2 目标350

第13章 一维无约束最优化352

13.1 黄金分割搜索法353

13.2 二次插值法359

13.3 牛顿法361

13.4 布伦特法362

习题364

第14章 多维无约束最优化367

14.1 直接法367

14.1.1 随机搜索法368

14.1.2 单变量和模式检索370

14.2 梯度法372

14.2.1 梯度和赫赛矩阵372

14.2.2 最速上升法377

14.2.3 改进的梯度法381

习题383

第15章 约束优化385

15.1 线性规划385

15.1.1 标准形385

15.1.2 图解法387

15.1.3 单纯形法390

15.2 非线性约束优化395

15.3 使用软件包优化求解395

15.3.1 用Excel求解线性规划问题395

15.3.2 用Excel求解非线性优化问题397

15.3.3 用MATLAB求解优化问题400

15.3.4 用Mathcad求解优化问题403

习题404

第16章 最优化案例分析409

16.1 一个桶的最小成本设计（化学／生物工程）409

16.2 废水处理的最小成本（土木／环境工程）413

16.3 电路的最大功率传输（电气工程）417

16.4 平衡与最小势能（机械／航空航天工程）420

习题421

第4部分结束语433

PT4.4 权衡433

PT4.5 其他参考文献434

第5部分 曲线拟合435

PT5.1 动机436

PT5.1.1 曲线拟合的非计算机方法436

PT5.1.2 曲线拟合与工程实践437

PT5.2 数学背景438

PT5.2.1 简单统计学438

PT5.2.2 正态分布441

PT5.2.3 置信区间估计442

PT5.3 导读447

PT5.3.1 范围与预览447

PT5.3.2 目标448

第17章 最小二乘回归450

17.1 线性回归450

17.1.1 “最佳”拟合准则451

17.1.2 直线的最小二乘拟合453

17.1.3 线性回归的误差量化分析454

17.1.4 线性回归的计算机程序458

17.1.5 非线性关系的线性化461

17.1.6 对线性回归的一般讨论464

17.2 多项式回归465

17.3 多元线性回归468

17.4 一般线性最小二乘法471

17.4.1 线性最小二乘的一般矩阵形式471

17.4.2 从统计角度分析最小二乘理论473

17.5 非线性回归475

习题479

第18章 插值484

18.1 牛顿差商插值多项式484

18.1.1 线性插值485

18.1.2 二次插值486

18.1.3 牛顿插值多项式的一般形式488

18.1.4 牛顿插值多项式的误差491

18.1.5 牛顿插值多项式的计算机算法493

18.2 拉格朗日插值多项式495

18.3 插值多项式的系数499

18.4 逆插值500

18.5 进一步讨论501

18.6 样条插值503

18.6.1 线性样条505

18.6.2 二次样条507

18.6.3 三次样条509

18.6.4 三次样条的计算机算法512

18.7 多维插值513

习题515

第19章 傅里叶逼近519

19.1 用正弦函数进行曲线拟合520

19.2 连续傅里叶级数526

19.3 频域与时域530

19.4 傅里叶积分与变换534

19.5 离散傅里叶变换（DFT）535

19.6 快速傅里叶变换（FFT）537

19.6.1 Sande-Tukey算法538

19.6.2 Cooley-Tukey算法542

19.7 能量谱543

19.8 利用软件包进行曲线拟合544

19.8.1 Excel544

19.8.2 MATLAB547

19.8.3 Mathcad550

习题551

第20章 曲线拟合案例分析555

20.1 线性回归与人口模型（化学／生物工程）555

20.2 用样条估计热传递（土木／环境工程）558

20.3 傅里叶分析（电气工程）560

20.4 实验数据分析（机械／航空航天工程）561

习题563

第5部分结束语580

PT5.4 权衡580

PT5.5 重要的关系式与公式581

PT5.6 高级方法与其他参考文献582

第6部分 数值微分和数值积分584

PT6.1 动机585

PT6.1.1 微分和积分的非计算机方法588

PT6.1.2 工程中的数值微分和数值积分590

PT6.2 数学背景593

PT6.3 导读596

PT6.3.1 范围与预览596

PT6.3.2 目标597

第21章 牛顿-柯特斯积分公式599

21.1 梯形法则600

21.1.1 梯形法则的误差602

21.1.2 多应用型梯形法则605

21.1.3 梯形法则的计算机算法608

21.2 辛普森法则610

21.2.1 辛普森1/3法则610

21.2.2 多应用型辛普森1/3法则613

21.2.3 辛普森3/8法则615

21.2.4 辛普森法则的计算机算法617

21.2.5 高阶牛顿-柯特斯闭型公式618

21.3 非等距积分618

21.4 开型积分公式621

21.5 重积分622

习题624

第22章 函数的积分629

22.1 函数的牛顿-柯特斯算法630

22.2 龙贝格积分631

22.2.1 查森外推法631

22.2.2 龙贝格积分的算法634

22.3 自适应积分636

22.4 高斯求积公式638

22.4.1 待定系数法639

22.4.2 两点高斯-勒让德公式的推导641

22.4.3 多点公式643

22.4.4 高斯求积公式的误差分析645

22.5 广义积分645

习题648

第23章 数值微分651

23.1 高精度微分公式651

23.2 理查森外推法654

23.3 非等距数据的导数656

23.4 带误差数据的导数与积分657

23.5 偏导数658

23.6 使用软件包计算数值积分／微分659

23.6.1 MATLAB659

23.6.2 Mathcad664

习题665

第24章 数值积分和数值微分案例分析670

24.1 利用积分确定总热量（化学／生物工程）670

24.2 竞赛帆船桅杆上的有效作用力（土木／环境工程）672

24.3 利用数值积分确定均方根电流（电气工程）675

24.4 利用数值积分计算功（机械／航空航天工程）677

习题681

第6部分结束语696

PT6.4 权衡696

PT6.5 重要的关系式与公式697

PT6.6 高级方法与其他参考文献698

第7部分 常微分方程699

PT7.1 动机700

PT7.1.1 求解常微分方程的非计算机方法701

PT7.1.2 常微分方程和工程实践702

PT7.2 数学背景703

PT7.3 导读705

PT7.3.1 范围与预览706

PT7.3.2 目标707

第25章 龙格-库塔法709

25.1 欧拉方法710

25.1.1 欧拉方法的误差分析712

25.1.2 欧拉方法的算法717

25.1.3 高阶泰勒级数方法719

25.2 欧拉方法的改进720

25.2.1 修恩法720

25.2.2 中点方法725

25.2.3 修恩法和中点方法的计算机算法727

25.2.4 总结727

25.3 龙格-库塔法728

25.3.1 二阶龙格-库塔法728

25.3.2 三阶龙格-库塔法733

25.3.3 四阶龙格-库塔法733

25.3.4 高阶龙格-库塔法735

25.3.5 龙格-库塔法的计算机算法737

25.4 方程组737

25.4.1 欧拉方法738

25.4.2 龙格-库塔法739

25.4.3 求解常微分方程组的计算机算法740

25.5 自适应龙格-库塔法742

25.5.1 自适应龙格-库塔或步长-对分法743

25.5.2 龙格-库塔-费尔贝格法744

25.5.3 步长控制746

25.5.4 计算机算法747

习题749

第26章 刚性和多步法753

26.1 刚性753

26.2 多步法757

26.2.1 非自启动修恩方法758

26.2.2 步长控制和计算机程序765

26.2.3 求积公式766

26.2.4 高阶多步法772

习题776

第27章 边值和特征值问题779

27.1 边值问题的通用方法780

27.1.1 打靶法780

27.1.2 有限差分法783

27.2 特征值问题786

27.2.1 数学背景786

27.2.2 物理背景786

27.2.3 边值问题789

27.2.4 多项式方法792

27.2.5 乘幂法794

27.2.6 其他方法797

27.3 使用软件包求解常微分方程和特征值问题798

27.3.1 Excel798

27.3.2 MATLAB798

27.3.3 Mathcad802

习题803

第28章 常微分方程案例分析807

28.1 利用常微分方程分析反应堆的瞬态反应（化学／生物工程）807

28.2 追捕模型和混沌（土木／环境工程）813

28.3 模拟电路的瞬变电流（电气工程）816

28.4 摆动的钟摆（机械／航空航天工程）821

习题824

第7部分结束语841

PT7.4 权衡841

PT7.5 重要的关系式与公式842

PT7.6 高级方法与其他参考文献844

第8部分 偏微分方程845

PT8.1 动机846

PT8.1.1 偏微分方程和工程实践847

PT8.1.2 求解偏微分方程的非计算机方法849

PT8.2 导读849

PT8.2.1 范围和与预览849

PT8.2.2 目标850

第29章 有限差分法：椭圆型方程852

29.1 拉普拉斯方程852

29.2 求解方法854

29.2.1 拉普拉斯差分方程855

29.2.2 李布曼方法856

29.2.3 二级变量858

29.3 边界条件860

29.3.1 导数边界条件860

29.3.2 不规则边界862

29.4 控制体积法866

29.5 求解椭圆型方程的软件868

习题869

第30章 有限差分法：抛物型方程872

30.1 热传导方程872

30.2 显式法873

30.2.1 收敛性和稳定性875

30.2.2 导数边界条件876

30.2.3 高阶时间逼近877

30.3 简单的隐式法877

30.4 克兰克-尼科尔森法880

30.5 二维空间上的抛物型方程883

30.5.1 标准显式和隐式格式883

30.5.2 ADI方法884

习题886

第31章 有限元法889

31.1 通用方法890

31.1.1 剖分890

31.1.2 元素方程890

31.1.3 装配893

31.1.4 边界条件893

31.1.5 求解893

31.1.6 后处理893

31.2 有限元法在一维情况下的应用893

31.2.1 剖分895

31.2.2 元素方程895

31.2.3 装配900

31.2.4 边界条件902

31.2.5 求解902

31.2.6 后处理902

31.3 二维问题903

31.3.1 剖分903

31.3.2 元素方程903

31.3.3 边界条件和装配905

31.3.4 求解和后处理905

31.4 使用软件包求解偏微分方程906

31.4.1 Excel906

31.4.2 MATLAB907

31.4.3 Mathcad908

习题909

第32章 偏微分方程案例分析912

32.1 反应堆的一维质量守恒（化学／生物工程）912

32.2 平板的挠曲（土木／环境工程）916

32.3 二维静电场问题（电气工程）918

32.4 用有限元法求解弹簧系统（机械／航空航天工程）921

习题924

第8部分结束语928

PT8.3 权衡问题928

PT8.4 重要的关系式与公式928

PT8.5 高级方法与其他参考文献929

附录A 傅里叶级数930

附录B 学习使用MATLAB932

附录C 学习使用Mathcad939