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第1章 n维空间中曲线的各阶曲率及其性质1

1.1 三维空间曲线理论的几个主要公式1

1.2 n维空间中曲线的基本矢量和基本公式2

1.2.1 四维空间曲线的四个基本矢量的导出2

1.2.2 四维空间中曲线的基本公式5

1.2.3 n维空间中曲线的基本矢量和基本公式7

1.2.4 n维空间中曲线r（t）在一点邻近的结构10

1.2.5 关于n维空间曲线的基本矢量和基本公式的小结11

1.3 关于n维空间曲线的若干性质研究12

1.3.1 曲线基本公式中的反对称矩阵12

1.3.2 反对称矩阵A的特征值和秩13

1.3.3 借助于特殊的二次型来研究矩阵A的性质15

1.4 各阶曲率均为常数的n维空间曲线17

1.4.1 用级数形式表示的曲线方程17

1.4.2 n=2和n=3时的曲线方程18

1.5 一般参数形式的n维空间曲线的各阶曲率的数学公式19

1.5.1 问题的提出和意义20

1.5.2 一般参数形式的n维空间曲线的各阶曲率的公式20

1.5.3 曲率公式中km的计算公式22

1.5.4 直接用曲线方程及其各阶导数表达的m阶曲率23

1.6 n维空间曲线的基本公式在运动学里的意义26

1.6.1 瞬时转轴矢量Ω27

1.6.2 关于刚体绕轴转动的角速度的一点讨论29

1.7 本章小结31

第2章 关于n维空间曲面的一些性质32

2.1 曲面的第一、第二基本齐式32

2.2 曲面的法曲率、主曲率、主方向、全曲率和中曲率36

2.3 关于全曲率的高斯定理38

2.4 一些有待深入研究的问题40

第3章 关于长期持有风险资产的收益率的数学分析42

3.1 短期收益率与长期收益率之间的关系42

3.2 关于无限期持有风险资产的收益率的若干结果44

3.2.1 无限期持有风险资产的收益率公式44

3.2.2 无限期持有风险资产的收益率公式的若干性质46

3.2.3 由无限期持有风险资产的收益率公式导出的一些结论52

3.3 短期收益率服从对数正态分布的若干理论结果54

3.3.1 长期持有风险资产的收益率的理论公式54

3.3.2 短期收益率服从对数正态分布情况的理论公式57

3.3.3 长期持有收益率服从对数正态分布的资产的一些理论结果58

3.3.4 短期收益率服从一般分布的资产在持有期较长时的理论分析61

3.4 本章小结63

第4章 关于连续现金流的内在价值函数的数学性质研究65

4.1 收益率方程决定的资产的内在价值函数及其性质65

4.1.1 用函数的观点来考察资产的内在价值65

4.1.2 连续形式现金流的收益率方程66

4.1.3 由连续现金流的收益率方程推导资产的内在价值函数67

4.1.4 连续现金流的内在价值函数的若干性质69

4.1.5 若干现金收益函数与相应的内在价值函数70

4.1.6 若干内在价值函数与相应的现金收益函数72

4.2 连续现金流决定的久期函数的性质72

4.2.1 关于离散现金流的久期的概念73

4.2.2 内在价值函数决定的久期函数及其性质73

4.2.3 连续现金流的高阶久期和内在价值函数的泰勒展开式78

4.2.4 资产组合的久期函数80

4.2.5 久期函数与现金流的关系83

4.2.6 若干现金收益函数与相应的内在价值函数和久期函数88

4.3 没有符号限制的连续现金流的投资学性质研究91

4.3.1 没有符号限制的连续现金流的实际背景91

4.3.2 连续形式的收益率方程决定的资产的内在价值函数92

4.3.3 用内在价值函数判断投资的可行性95

4.3.4 一般现金流决定的内在价值函数与贴现率的关系97

4.3.5 内在价值为零时资产的特性102

4.3.6 一般现金流的久期函数概念的引入及其性质103

4.3.7 内在价值函数与久期函数之间的关系106

4.3.8 内在价值函数关于贴现率的泰勒展开式和高阶久期107

4.4 一些值得进一步探讨的问题109

第5章 几个有趣的数列及其在π值计算中的应用110

5.1 一个特殊的直角三角形序列110

5.2 由直角三角形序列确定的三角函数关系112

5.3 利用所得到的序列进行圆周率π的近似计算114

5.4 借助于泰勒公式计算圆周率π的近似值119

5.5 由圆的内接正多边形确定圆的面积和周长的近似公式120

5.6 圆的内接正多边形边长构成的序列122

5.7 利用圆的内接正多边形边长序列近似计算圆周率π125

第6章 对数据取值的4舍5入原则的一点新认识129

6.1 几个有趣的算例129

6.2 关于舍掉和入进带来的误差的数学分析131

6.3 关于新的数值取值舍入原则的总结134

第7章 关于整系数多项式不可约性的判别方法研究136

7.1 多项式与多项式的不可约性136

7.2 爱森斯坦判别法与派朗判别法137

7.3 整系数多项式不可约性的p-判别法141

7.4 整系数多项式不可约性的值判别法144

7.5 判断整系数多项式无有理根的奇偶判别法150

7.6 整系数多项式不可约性的奇偶判别法165

7.7 穷举运算法用于整系数多项式不可约性的判别180

第8章 一类有趣的多元函数的若干性质184

8.1 关于算术平均与几何平均的著名不等式184

8.2 一类特殊的n元函数及其一阶偏导数185

8.3 关于特殊的n元函数的若干性质188

第9章 快速傅里叶变换多叉树算法的一般形式192

9.1 n=3m时离散傅里叶变换公式的三叉树形式192

9.2 n=3m时三叉树形式的离散傅里叶变换公式的计算复杂性196

9.3 n=Bm时离散傅里叶变换公式的多叉树形式198

9.4 n=Bm时多叉树形式的离散傅里叶变换公式的计算复杂性201

第10章 拉普拉斯变换的一类反演方法研究204

10.1 拉普拉斯变换及其反演公式204

10.2 拉普拉斯变换可表示成一个幂级数时的反演公式205

10.3 r（t）=1时的卷积公式和反演公式207

10.4 r（t）=eat时的卷积公式和反演公式208

10.5 r（t）=t1/2时的卷积公式和反演公式209

10.6 分段幂函数的卷积公式和反演公式210

10.7 借助于卷积原理求解拉普拉斯变换原函数的数值解212

10.8 根据一些复函数的幂级数求解拉普拉斯变换原函数213

10.9 利用1/s的函数级数求解拉普拉斯变换原函数213

10.10 利用1/s—α的函数级数求解拉普拉斯变换原函数215

10.11 利用1/sn+1/2的函数级数求解拉普拉斯变换原函数217

10.12 利用e-as/sn的函数级数求解拉普拉斯变换原函数217

第11章 纯整数规划割平面构造方法研究220

11.1 问题的提出220

11.2 Gomory割平面法的实例221

11.3 Gomory割平面法的原理223

11.4 从每个基变量出发构造两个割平面的例子225

11.5 从每个基变量出发构造两个割平面的M-Gomory方法229

11.6 通过线性组合构造割平面232

11.7 根据目标函数构造割平面234

11.8 编制实用的求解整数规划的割平面法的设想237

第12章 关于一阶常微分方程组路线束收缩率的若干研究238

12.1 一阶常微分方程组的相图决定的路线束239

12.2 二维空间中的一阶常微分方程组的相图路线束收缩率241

12.3 用场论的思想推导二维空间一阶常微分方程组的相图路线束收缩率246

12.4 n维一阶常微分方程组沿特定方向的路线束收缩率248

12.5 n维自治方程组的相图路线束的总收缩率252

12.6 n维线性常系数自治方程组的相图路线束总收缩率255

12.7 用路线束收缩率来研究自治方程组相图的性质256

12.8 自治方程组路线束收缩率数学公式的应用实例261

第13章 金融期权的多叉树模型研究265

13.1 传统二叉树期权定价模型及其精确形式265

13.2 三叉树期权定价模型推导268

13.3 四叉树期权定价模型的推导270

13.4 五叉树期权定价模型的推导272

第14章 在数域中引入广义加法运算的若干结果276

14.1 关于数的扩充和数的运算276

14.2 实数和复数的广义加法运算的定义278

14.3 广义加法的性质282

14.4 广义加法与传统乘法的运算规则284

14.5 广义加法运算的特征与等差级数和等比级数285

14.6 在广义加法运算的意义下的一元二次方程287

14.7 在广义加法意义下函数的导数292

14.8 在广义加法意义下函数的导数的运算法则298

14.9 在广义加法意义下函数的积分300

14.10 用广义加法和传统的乘法构造幂级数302

14.11 本章小结302

第15章 微分方程半问题模型研究304

15.1 微分方程模型和微分方程反问题304

15.2 样本数据普遍具有的离散特性和微分方程半问题305

15.3 一阶常微分方程半问题模型及其求解方法308

15.3.1 一阶常微分方程半问题模型308

15.3.2 未知函数为分式多项式形式的模型的求解方法309

15.3.3 未知函数为一般可分离形式的模型的求解方法311

15.3.4 未知函数为一般形式的模型的求解方法313

15.4 二阶常微分方程半问题模型及其求解方法315

15.4.1 二阶常微分方程半问题模型315

15.4.2 未知函数为多项式形式的模型的求解方法316

15.4.3 未知函数为一般可分离形式的模型的求解方法318

15.5 一阶偏微分方程半问题模型及其求解方法319

15.5.1 一阶偏微分方程半问题模型319

15.5.2 未知函数取多项式形式的模型的求解方法320

15.5.3 未知函数取一般形式的模型的求解方法322

15.6 二阶偏微分方程半问题模型及其求解方法325

15.6.1 二阶偏微分方程半问题模型325

15.6.2 二阶偏微分方程半问题模型的求解方法326

15.7 一阶常微分方程组半问题模型及其求解方法328

15.7.1 一阶常微分方程组半问题模型328

15.7.2 未知函数取多项式形式的模型的求解方法330

15.7.3 未知函数取一般形式的模型的求解方法332

本书作者发表的部分论文和出版的专著334

参考文献336