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第1篇 预备知识2

引言2

第1章 集合论3

1.0内容提要3

1.1学习要求3

1.2集合4

1.2.1集合的表示5

1.2.2集合与元素的关系6

1.2.3集合与集合的关系7

1.2.4几个特殊的集合9

1.2.5集合的运算10

1.2.6集合的难点13

1.3无限集13

1.3.1可数集合和不可数集合13

1.3.2无限集的难点16

1.4集合的应用16

1.5本章总结19

1.6习题20

第2章 计数问题24

2.0内容提要24

2.1学习要求24

2.2基本原理25

2.2.1乘法原理25

2.2.2加法原理26

2.2.3基本原理的难点27

2.3排列与组合27

2.3.1排列问题27

2.3.2组合问题30

2.3.3排列与组合的难点31

2.4容斥原理与鸽笼原理31

2.4.1容斥原理31

2.4.2鸽笼原理34

2.4.3容斥原理与鸽笼原理的难点35

2.5本章总结35

2.6习题36

第2篇 数理逻辑40

引言40

第3章 命题逻辑42

3.0内容提要42

3.1学习要求42

3.2命题与命题联结词43

3.2.1命题43

3.2.2命题联结词44

3.2.3联结词的难点50

3.2.4命题联结词的应用51

3.3命题公式、解释与真值表54

3.3.1命题公式55

3.3.2命题公式的解释与真值表56

3.3.3命题公式的分类58

3.3.4命题公式的基本等价关系60

3.3.5命题公式的难点64

3.3.6命题公式的应用64

3.4联结词的完备集67

3.4.1命题联结词的种数67

3.4.2联结词的完备集69

3.4.3联结词的完备集的应用70

3.5公式的标准型——范式72

3.5.1析取范式和合取范式72

3.5.2主析取范式和主合取范式74

3.5.3范式的难点81

3.5.4范式的应用81

3.6命题逻辑的推理理论83

3.6.1推理的基本概念和推理形式83

3.6.2判断有效结论的常用方法84

3.6.3命题逻辑推理的难点90

3.6.4命题逻辑推理的应用91

3.7本章总结93

3.8习题95

第4章 谓词逻辑99

4.0内容提要100

4.1学习要求100

4.2谓词逻辑中的基本概念与表示100

4.2.1谓词101

4.2.2量词103

4.2.3谓词的语言翻译106

4.2.4谓词翻译的难点107

4.2.5谓词翻译的应用108

4.3谓词合式公式与解释109

4.3.1谓词的合式公式109

4.3.2自由变元和约束变元110

4.3.3谓词合式公式的解释112

4.3.4谓词合式公式的分类114

4.3.5谓词合式公式的基本等价关系115

4.3.6谓词合式公式的难点117

4.3.7谓词合式公式的应用117

4.4公式的标准型——范式118

4.4.1前束范式118

4.4.2 Skolem标准型119

4.4.3范式的难点120

4.5谓词逻辑的推理理论120

4.5.1谓词演算的演绎与推理120

4.5.2谓词演算的综合推理方法123

4.5.3谓词逻辑推理的难点127

4.5.4谓词逻辑推理的应用127

4.6本章总结132

4.7习题134

第5章 证明技术138

5.0内容提要138

5.1学习要求139

5.2证明定理的方法139

5.2.1基本证明技术139

5.2.2几种典型的证明技术141

5.2.3带量词的证明技术143

5.2.4证明中的错误145

5.3数学归纳法146

5.3.1数学归纳法147

5.3.2强形式数学归纳法150

5.3.3数学归纳法的应用151

5.4按定义证明方法154

5.4.1按定义证明方法154

5.4.2按定义证明方法的应用实例155

5.5本章总结156

5.6习题156

第3篇 二五关系160

引言160

第6章 二元关系161

6.0内容提要161

6.1学习要求161

6.2二元关系162

6.2.1序偶和笛卡儿积162

6.2.2关系的定义165

6.2.3关系的表示法167

6.2.4二元关系的难点171

6.2.5关系的应用172

6.3关系的运算173

6.3.1关系的复合运算174

6.3.2关系的逆运算178

6.3.3关系的幂运算181

6.3.4关系运算的难点183

6.3.5关系运算的应用183

6.4关系的性质184

6.4.1关系性质的定义184

6.4.2关系性质的判定定理192

6.4.3关系性质的保守性193

6.4.4关系性质的难点195

6.4.5关系性质的应用195

6.5关系的闭包运算195

6.5.1关系的闭包195

6.5.2关系闭包的难点200

6.5.3关系闭包的应用200

6.6本章总结201

6.7习题202

第7章 特殊关系207

7.0内容提要207

7.1学习要求207

7.2等价关系208

7.2.1等价关系208

7.2.2集合的划分210

7.2.3等价类与商集211

7.2.4等价关系与划分213

7.2.5等价关系的难点216

7.2.6等价关系的应用217

7.3次序关系218

7.3.1拟序关系218

7.3.2偏序关系219

7.3.3全序关系225

7.3.4良序关系226

7.3.5次序关系的难点227

7.3.6次序关系的应用227

7.4本章总结229

7.5习题230

第8章 函数233

8.0内容提要233

8.1学习要求233

8.2函数234

8.2.1函数的定义234

8.2.2函数的类型236

8.2.3常用函数239

8.2.4函数的难点240

8.2.5函数的应用240

8.3函数的运算242

8.3.1函数的复合运算242

8.3.2函数的逆运算244

8.3.3函数运算的难点245

8.3.4函数运算的应用245

8.4置换函数247

8.4.1基本概念247

8.4.2置换函数的难点248

8.4.3置换函数的应用248

8.5本章总结249

8.6习题250

第4篇 图论254

引言254

第9章 图256

9.0内容提要256

9.1学习要求256

9.2图的基本概念257

9.2.1图的定义257

9.2.2图的表示258

9.2.3邻接点与邻接边260

9.2.4图的分类261

9.2.5图的操作263

9.2.6子图与补图264

9.2.7结点的度数与握手定理267

9.2.8图的同构270

9.2.9图的难点271

9.2.10图的应用271

9.3通路、回路与连通性272

9.3.1通路与回路273

9.3.2无向图的连通性280

9.3.3有向图的连通性282

9.3.4通路、回路与连通性的难点286

9.3.5通路、回路与连通性的应用286

9.4本章总结289

9.5习题290

第10章 树294

10.0内容提要294

10.1学习要求294

10.2树295

10.2.1树的定义与性质295

10.2.2生成树297

10.2.3最小生成树300

10.2.4无向树的难点302

10.2.5无向树的应用303

10.3根树303

10.3.1根树的定义与分类303

10.3.2根树的遍历307

10.3.3最优树与赫夫曼算法309

10.3.4根树的难点311

10.3.5根树的应用312

10.4本章总结317

10.5习题318

第11章 特殊图320

11.0内容提要320

11.1 学习要求320

11.2欧拉图321

11.2.1欧拉图的引入与定义321

11.2.2欧拉图的判定322

11.2.3欧拉图的难点324

11.2.4欧拉图的应用324

11.3哈密顿图326

11.3.1哈密顿的引入与定义326

11.3.2哈密顿图的判定328

11.3.3哈密顿图的难点332

11.3.4哈密顿图的应用332

11.4偶图337

11.4.1偶图的定义337

11.4.2偶图的判定337

11.4.3匹配338

11.4.4偶图的难点339

11.4.5偶图的应用340

11.5平面图341

11.5.1平面图的定义341

11.5.2平面图的简单判定方法——观察法342

11.5.3欧拉公式343

11.5.4库拉托夫斯基定理346

11.5.5对偶图347

11.5.6图的着色348

11.5.7平面图的难点351

11.5.8平面图的应用351

11.6本章总结353

11.7习题354

第5篇 代数系统360

引言360

第12章 代数系统361

12.0内容提要361

12.1学习要求361

12.2代数系统362

12.2.1代数运算362

12.2.2代数系统与子代数365

12.2.3代数系统的难点366

12.2.4代数系统的应用366

12.3代数系统的基本运算和性质367

12.3.1二元运算律367

12.3.2代数系统的性质373

12.3.3代数系统性质的难点381

12.3.4代数系统性质的应用381

12.4同态与同构382

12.4.1同态与同构383

12.4.2同态的性质385

12.4.3同态与同构的难点387

12.4.4同态与同构的应用387

12.5本章总结389

12.6习题390

第13章 群392

13.0内容提要392

13.1 学习要求392

13.2半群与含么半群393

13.2.1半群与含么半群393

13.2.2元素的幂395

13.2.3循环半群396

13.2.4半群与含么半群的难点398

13.2.5半群的应用398

13.3群及其性质399

13.3.1群的定义及基本性质401

13.3.2元素的周期403

13.3.3子群407

13.3.4群的同态413

13.3.5群及子群的难点414

13.3.6群的应用414

13.4特殊群416

13.4.1交换群（阿贝尔群）416

13.4.2循环群417

13.4.3置换群420

13.4.4特殊群的难点421

13.4.5特殊群的应用421

13.5陪集与拉格朗日定理423

13.5.1陪集423

13.5.2拉格朗日定理426

13.5.3陪集与拉格朗日定理的难点427

13.5.4拉格朗日定理的应用427

13.6正规子群与商群428

13.6.1正规子群（不变子群）428

13.6.2商群430

13.6.3正规子群与商群的难点433

13.6.4商群的应用433

13.7本章总结434

13.8习题435

第14章 环与域438

14.0内容提要438

14.1学习要求438

14.2环与域439

14.2.1环与域的定义439

14.2.2环与域的性质441

14.2.3环与域的应用443

14.3本章总结443

14.4习题444

第15章 格与布尔代数445

15.0内容提要445

15.1学习要求446

15.2格446

15.2.1偏序格446

15.2.2代数格448

15.2.3偏序格与代数格的等价性449

15.2.4格的性质451

15.2.5子格与格同态452

15.2.6分配格与模格455

15.2.7有界格与有补格458

15.2.8格的难点460

15.2.9格的应用461

15.3布尔代数461

15.3.1布尔代数461

15.3.2布尔表达式464

15.3.3布尔代数的难点467

15.3.4布尔代数的应用467

15.4本章总结472

15.5习题472

参考文献475