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第一章 引论1

1.1 对称性分岔问题和方法1

1.1.1 分岔问题1

1.1.2 对称性3

1.1.3 稳定性和对称性的变化5

1.1.4 Hopf分岔7

1.1.5 离散系统的对称性分岔问题8

1.1.6 对称性分岔问题的处理方式9

1.2 泛函分析工具10

1.2.1 Banach空间中的微分运算10

1.2.2 反函数和隐函数定理13

1.2.3 静态分岔存在的必要条件14

1.2.4 Fredholm算子15

1.3 Liapunov-Schmidt简约17

1.3.1 Liapunov-Schmidt简约的基本步骤18

1.3.2 系数计算公式20

1.3.3 Fredholm算子情形21

1.3.4 应用23

1.4 奇点理论初步25

1.4.1 有关的代数知识25

1.4.2 芽空间28

1.4.3 Malgrange预备定理31

1.5 Malgrange预备定理的证明34

1.5.1 除法定理34

1.5.2 Malgrange预备定理的证明37

1.5.3 引理1.5.3的证明39

1.5.4 Nirenberg延拓定理的证明39

习题一43

第二章 单变量分岔理论45

2.1 轨道切空间45

2.1.1 等价和强等价45

2.1.2 轨道切空间47

2.1.3 轨道切空间的基本定理及推论50

2.2 内蕴理想与识别问题51

2.2.1 内蕴理想51

2.2.2 最大和最小内蕴理想54

2.2.3 ？集55

2.2.4 识别问题的解56

2.3 普适开折理论58

2.3.1 开折与切空间58

2.3.2 普适开折及其计算60

2.3.3 普适开折的识别61

2.3.4 持久性与模数64

2.4 初等分岔与突变67

2.4.1 初等分岔的分类68

2.4.2 初等分岔的识别70

2.4.3 初等分岔的普适开折及其识别72

2.4.4 与初等突变的比较74

2.5 Z2等变分岔问题的识别与普适开折76

2.5.1 Z2等变分岔问题76

2.5.2 强内蕴子模与识别问题78

2.5.3 普适开折及其识别81

2.6 Z2对称初等分岔84

2.6.1 分类定理84

2.6.2 一些引理85

2.6.3 分类定理的证明及普适开折91

习题二92

第三章 群论方法94

3.1 紧Lie群和Haar积分94

3.1.1 紧Lie群的概念94

3.1.2 Haar积分96

3.1.3 紧群上连续函数的平均值98

3.1.4 Haar积分定理的证明101

3.2 群表示论104

3.2.1 群表示和作用104

3.2.2 不可约表示与Perter-Weyl定理108

3.2.3 Perter-Weyl定理的证明110

3.3 不可约性112

3.3.1 不可约子空间112

3.3.2 绝对不可约性114

3.3.3 关于SO（3）和O（3）群的不可约表示115

3.3.4 Schur引理和Frobenius定理116

3.3.5 Frobenius-Schur定理的证明118

3.3.6 等变线性映射120

3.4 迷向子群122

3.4.1 不动点子空间122

3.4.2 迷向子群124

3.4.3 最大迷向子群125

3.5 不变函数和等变映射127

3.5.1 不变函数环128

3.5.2 等变映射131

3.5.3 等变矩阵值映射134

3.6 关于不变量定理的证明136

3.6.1 Hilbert基定理和定理3.5.1的证明136

3.6.2 关于Schwarz定理的证明139

3.6.3 不变量定理的证明141

习题三143

第四章 等变分岔理论145

4.1 等变分岔问题145

4.1.1 等变隐函数定理145

4.1.2 等变的Liapunov-Schmidt简约146

4.1.3 等变分岔问题的Г等价148

4.1.4 关于等变向量场的稳定性问题150

4.2 等价轨道切空间与等变限制切空间152

4.2.1 等价轨道切空间与等变限制切空间152

4.2.2 等变限制切空间的计算问题154

4.3 等变分岔问题的识别157

4.3.1 轨道切空间的一个重要性质158

4.3.2 应用160

4.3.3 内蕴理想和内蕴子模162

4.3.4 高阶项163

4.3.5 识别问题165

4.4 等变普适开折理论167

4.4.1 等变普适开折167

4.4.2 等变切空间与等变普适开折定理169

4.4.3 普适开折的计算171

4.4.4 普适开折的识别172

4.5 等变普适开折定理的证明175

4.5.1 等变预备定理175

4.5.2 等变普适开折定理的证明176

4.5.3 普适开折的唯一性178

习题四179

第五章 向量场的局部分岔理论方法181

5.1 简单分岔181

5.1.1 简单分岔的Liapunov-Schmidt简约181

5.1.2 一些引理183

5.1.3 定理5.1.3的证明184

5.1.4 应用186

5.2 Hopf分岔理论187

5.2.1 Hopf定理188

5.2.2 定理5.2.1的证明189

5.2.3 系数的计算193

5.2.4 关于对Hilbert 第16问题的应用195

5.3 Floquet理论及应用196

5.3.1 线性周期系统的Floquet理论196

5.3.2 非线性方程周期解的稳定性198

5.3.3 定理5.2.3的证明199

5.3.4 关于等变形式的Floquet算子202

5.4 向量场的中心流形和正规形理论204

5.4.1 中心流形理论204

5.4.2 向量场的正规形209

5.4.3 补空间的计算211

5.4.4 补空间的另一种描述214

5.5 模态相互作用217

5.5.1 基本的模态相互作用218

5.5.2 Z2等变分岔问题219

5.5.3 关于定态-Hopf模态相互作用222

5.5.4 D2等变分岔问题223

5.5.5 关于Hopf-Hopf模态相互作用225

5.5.6 关于Zm等变向量场228

习题五229

第六章 对称破缺理论230

6.1 定态分岔的自发对称破缺230

6.1.1 等变分支引理230

6.1.2 稳定性234

6.1.3 关于SO（3）和O（3）群235

6.2 Hopf分岔中的对称破缺238

6.2.1 空间对称与空时对称239

6.2.2 圆周群的作用241

6.2.3 等变的Hopf定理247

6.2.4 周期解的稳定性249

6.3 具有对称性的Hopf分岔问题252

6.3.1 Г×S1的迷向子群252

6.3.2 Г×S1的不变量理论254

6.3.3 O(2)×S1作用255

6.3.4 Hopf分岔的振幅方程257

6.3.5 D4等变分岔问题259

6.4 具有O（2）对称的模态相互作用260

6.4.1 定态-定态模态相互作用260

6.4.2 定态-Hopf模态相互作用263

6.4.3 Hopf-Hopf模态相互作用264

习题六266

第七章 离散系统中吸引子的对称性268

7.1 拓朴动力系统268

7.1.1 不变集和极限集268

7.1.2 吸引子271

7.1.3 拓扑传递性273

7.1.4 敏感依赖性275

7.2 吸引子的对称性277

7.2.1 集合的对称群277

7.2.2 吸引子的对称性280

7.3 有限群作用下吸引子的对称性282

7.3.1 容许子群和强容许子群282

7.3.2 基本分解285

7.3.3 二面体群及其等变映射286

7.3.4 容许和强容许子群的基本性质288

7.3.5 容许子群和强容许子群的分类289

7.4 关于容许子群基本定理的证明293

7.4.1 图上的动力系统293

7.4.2 图上的等变系统294

7.4.3 图的嵌入和扩张296

7.4.4 定理7.3.15的证明298

7.4.5 定理7.3.18的证明302

习题七302

参考文献304