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第1章 小位移变形弹性理论基本方程1

1.1 应力、应变、位移、体积力、表面力1

1.2 应变能和余能2

1.2.1 应变能密度2

1.2.2 余能密度3

1.3 小位移变形弹性理论基本方程3

1.3.1 平衡方程（力学方程）3

1.3.2 应变位移方程（几何方程）4

1.3.3 应力应变关系（物理方程或本构方程）5

1.3.4 边界条件10

1.4 散度定理（Divergence Theorem）12

1.4.1 数学方面12

1.4.2 力学方面12

1.5 虚功原理13

1.5.1 虚位移原理13

1.5.2 虚应力原理（虚余功原理）14

1.6 小结15

参考文献16

第2章 小位移变形弹性理论经典变分原理18

2.1 从经典变分原理的约束条件出发弹性理论基本方程分类18

2.2 小位移变形弹性理论最小势能（位能）原理19

2.2.1 最小势能原理泛函的建立19

2.2.2 最小势能原理及泛函约束条件20

2.2.3 证明20

2.3 最小势（位）能原理的另一种表达式24

2.4 最小余能原理25

2.4.1 最小余能原理泛函的建立25

2.4.2 最小余能原理及泛函约束条件26

2.4.3 证明26

2.5 弹性理论变分原理与数学变分命题29

2.5.1 数学变分问题29

2.5.2 弹性理论的变分问题30

2.6 小结30

参考文献31

第3章 小位移变形弹性理论广义变分原理33

3.1 函数的条件极值拉格朗日乘子法（Lagrange's Method of Multipliers）33

3.1.1 一个约束条件下函数的极值33

3.1.2 两个约束条件下函数的驻值38

3.1.3 待定拉格朗日乘子法及已识别的拉格朗日乘子法39

3.2 罚函数法40

3.3 小位移变形弹性理论广义变分原理42

3.4 Hellinger-Reissner变分原理43

3.4.1 Hellinger Reissne变分原理泛函ПHR（σ，u）的建立43

3.4.2 关于这个变分原理需注意的事项46

3.5 ε、u双变量广义变分原理47

3.5.1 ε、u双变量广义变分原理泛函ПP2（ε，u）的建立47

3.5.2 对这个变分原理的分析49

3.6 ПHR与ПP2两种广义变分原理泛函之间的关系50

3.7 Hu-Washizu（胡海昌-鹫津久一郎）广义变分原理51

3.7.1 Hu-Washizu变分原理泛函ПHW（σ，ε，u）的建立51

3.7.2 对于Hu-Washizu广义变分原理的分析52

3.8 弹性理论常规变分原理之间的关系54

3.9 建立广义变分原理的另外途径——罚函数法56

3.10 弹性理论变分原理的等价性56

3.10.1 弹性理论变分原理的等价性56

3.10.2 等价变分原理的导出57

3.11 具有参数的广义变分原理59

3.11.1 多参数广义变分原理59

3.11.2 参数化的多场变量变分原理62

3.12 小结66

参考文献68

第4章 根据最小势能原理建立的有限元70

4.1 协调的假定位移有限元70

4.1.1 变分原理70

4.1.2 单元列式71

4.1.3 数值算例74

4.2 有限元收敛准则 几何各向同性84

4.2.1 有限元单调收敛准则84

4.2.2 非协调元的收敛条件91

4.2.3 几何各向同性92

4.3 协调位移元应变能的特点93

4.4 早期位移元遇到的困难 锁住现象（Locking Phenomena）94

4.4.1 体积锁住（Dilatation Locking）95

4.4.2 剪切锁住（Shear Locking）101

4.4.3 薄膜锁住（Membrane Locking）107

4.4.4 位移元锁住现象小结108

4.4.5 位移元的不足之处108

4.5 由ПP（uq,uλ）建立的Wilson非协调位移元108

4.5.1 用低阶位移元解弯曲问题误差产生的原因109

4.5.2 Wilson元的协调性110

4.5.3 Wilson元的有限元列式111

4.5.4 Wilson元是否通过分片试验112

4.5.5 改进的Wilson元的数值算例117

4.5.6 一个单元试验（Single-Element Test，或SET）及单独单元试验（Individual Element Test或IET）118

4.5.7 对于分片试验的不同学术见解119

4.6 平面理性非协调元120

4.6.1 平面5结点理性元120

4.6.2 平面4结点理性元125

4.6.3 数值算例125

4.7 根据最小势能原理建立的具有转动自由度的位移元128

4.7.1 Allman 3结点三角形元128

4.7.2 带转动自由度的4结点位移元133

4.7.3 具有转动自由度的六面体位移元137

4.8 拟协调元143

4.8.1 单元列式143

4.8.2 算例144

4.9 小结154

参考文献156

第5章 根据修正的势能原理建立的有限元161

5.1 修正的势能原理ПmP1（u,T） 混合元161

5.1.1 修正的势能原理ПmP1（u,T）162

5.1.2 有限元列式164

5.1.3 ПmP1（u,T）的应用实例165

5.2 修正的势能原理ПmP2（T,u,？） 杂交位移元Ⅰ167

5.2.1 修正的势能原理ПmP2（T,u,？）167

5.2.2 有限元列式170

5.2.3 用杂交位移元分析平面线性断裂力学问题——裂纹元Ⅰ171

5.3 广义协调等参元175

5.3.1 广义协调元 常应力和线性应力下的广义协调条件175

5.3.2 四边形广义协调等参元177

5.4 具有转动自由度的四边形广义协调元180

5.5 弹性薄板的修正势能原理ПmP2187

5.6 应用修正势能原理建立的薄板广义协调元191

5.6.1 变分原理191

5.6.2 薄板广义协调元的建立的基本思路193

5.6.3 薄板广义协调元Ⅰ194

5.6.4 薄板广义协调元Ⅱ198

5.6.5 薄板广义协调元Ⅲ201

5.7 修正的势能原理ПmP3（u,？） 杂交位移元Ⅱ203

5.7.1 变分泛函ПmP3（u,？）203

5.7.2 有限元列式203

5.8 小结204

参考文献206

第6章 根据余能原理及修正的余能原理建立的有限元模式（一）211

6.1 平衡元Ⅰ211

6.1.1 最小余能原理211

6.1.2 有限元列式213

6.2 修正的余能原理Пmc1及Пmc2214

6.3 薄板的余能原理及修正的余能原理216

6.3.1 薄板余能原理216

6.3.2 薄板的修正余能原理Пmc219

6.4 平衡元Ⅱ222

6.4.1 Loof元及Semi-Loof元222

6.4.2 基于Loof元（或Semi-Loof元）的平衡元Ⅱ223

6.4.3 平衡元Ⅱ的有限元列式227

6.4.4 平衡元Ⅱ举例228

6.4.5 平衡元Ⅱ的特点230

6.5 弹性理论分区广义变分原理232

6.5.1 分区三变量广义混合变分原理232

6.5.2 多分区的广义变分原理235

6.6 分区有限元方法解断裂力学问题236

6.6.1 用分区有限元方法计算混合型应力强度因子236

6.6.2 用分区有限元方法计算两种材料V型切口的应力强度因子240

6.6.3 小结243

6.7 早期杂交应元Ⅰ243

6.7.1 早期杂交应力元Ⅰ的变分原理及有限元列式243

6.7.2 算例245

6.7.3 几点说明253

6.8 杂交应力元Ⅰ的特点258

6.9 小结263

参考文献264

第7章 根据修正的余能原理建立的有限元模式Ⅰ的应用268

7.1 利用杂交应力模式Ⅰ建立的裂纹元Ⅱ268

7.1.1 裂纹元Ⅱ的单元列式268

7.1.2 对裂纹元Ⅱ列式的几点说明269

7.1.3 二维断裂问题数值算例271

7.1.4 三维断裂数值算例272

7.1.5 杂交应力裂纹元讨论276

7.2 轴对称实体回转元276

7.2.1 单元假定应力场276

7.2.2 单元边界位移及单元刚度矩阵281

7.2.3 数值算例282

7.2.4 小结286

7.3 杂交应力层合板元286

7.3.1 扩展的修正余能原理286

7.3.2 层合材料的有限元列式287

7.3.3 四边形层合板元289

7.3.4 数值算例292

7.4 分析具有无外力圆柱形槽孔三维应力分布的特殊杂交应力层合元295

7.4.1 单元假定应力场296

7.4.2 单元边界位移场299

7.4.3 数值算例300

7.5 具有一个无外力直表面的层合元304

7.5.1 每层具有8结点及一个无外力直表面的层合元304

7.5.2 每层具有12结点及一个无个力直表面层合元305

7.6 联合具有一个无外力圆柱表面及具有一个无外力直表面两种层合杂交应力元，求解具有槽孔层合板问题311

7.6.1 具有倒圆角方孔的四层层合板312

7.6.2 具有倒圆角矩形孔的四层层合板315

7.6.3 具有单侧U型槽孔层合板317

7.7 利用杂交应力元分析自由振动问题320

7.7.1 弹性体自由振动基本方程320

7.7.2 弹性体自由振动的变分原理及广义变分原理320

7.7.3 有限元列式324

7.7.4 数值算例326

7.8 小结325

参考文献327

第8章 修正的余能原理建立的杂交应力有限元模式（二）331

8.1 修正的余能原理П＊ mc（u，？）及早期杂交应力模式Ⅱ331

8.1.1 修正的余能原理П＊ mc（u，？）331

8.1.2 有限元列式332

8.1.3 早期杂交应力模式Ⅱ［П＊ mc（u，？）或П＊ mc（σ＊，？）］中应力场σ＊的选择333

8.2 利用早期杂交应力模式Ⅱ建立的平面裂纹元Ⅲ334

8.2.1 弹性理论平面问题复变函解的基本方程335

8.2.2 平面杂交裂纹元Ⅲ的建立340

8.3 三维杂交应力（或杂交位移）裂纹元Ⅲ344

8.3.1 具有半无限平面裂纹弹性体的位移及应力三维解345

8.3.2 选择单元场变量u及？348

8.3.3 导出单元刚度矩阵349

8.3.4 数值算例349

8.4 三种杂交裂纹元小结351

8.4.1 三种杂交裂纹元的基本实施方案及所依据的变分原理351

8.4.2 三种裂纹元的数值算例比较352

8.4.3 诸多学者对于三类杂交裂纹元的研究353

8.5 具有随机分布增强相非匀质材料的有限元分析353

8.5.1 Accorsi及Chamarajanagar的变换应变（Transformation Strain）法354

8.5.2 应用杂交应力模式Ⅰ分析随机分布增强相非匀质材料358

8.5.3 应用杂交应力模式Ⅱ分析具有随机分布增强相的非匀质材料问题361

8.6 杂交-Trefftz有限元371

8.6.1 变分泛函371

8.6.2 有限元列式377

8.6.3 薄板弯曲单元及数值算例379

8.7 修正的余能原理П＊ ＊　mc（σ，u，？）及杂交应力元385

8.7.1 变分原理385

8.7.2 有限元列式385

8.8 小结386

参考文献388

第9章 根据Hellinger-Reissner原理及修正的Hellinger-Reissner原理建立的有限元模式（一）393

9.1 由Hellinger-Reissner原理建立的有限元模式393

9.1.1 变分泛函393

9.1.2 有限元列式394

9.1.3 几点注意事项396

9.2 早期杂交应力元小结398

9.2.1 三种早期杂交应力元398

9.2.2 假定应力杂交模式小结399

9.3 扫除附加的运动变形模式（扫除多余的零能模式）399

9.3.1 附加运动变形模式399

9.3.2 扫除附加运动变形模式400

9.3.3 选择单元应力场以扫除零能模式的具体方法及实例402

9.3.4 对单元稳定所需最小应力参数［式（9.3.1）］的意见407

9.4 具有一个无外力圆柱表面的三维杂交应力元及具有圆弧形槽孔构件的受力分析407

9.4.1 单元假定应力场的类型408

9.4.2 单元假定应力场410

9.4.3 三种类型应力场数值比较413

9.5 具有一个无外力直表面的三维杂交应力元及一系列槽孔板的受力分析418

9.5.1 具有一个无外力直表面杂交应力元418

9.5.2 算例419

9.6 具有结点转动自由度的特殊杂交应力元429

9.6.1 单元的建立429

9.6.2 算例429

9.6.3 小结431

9.7 由Hellinger-Reissner原理建立的另一种有限元模式431

9.7.1 传统列式方法431

9.7.2 新的列式方法433

9.7.3 数值算例435

9.8 利用Hellinger-Reissner原理及修正的Hellinger-Reissner原理建立的杂交元及解除锁住现象435

9.8.1 解除体积锁住436

9.8.2 解除剪切锁住440

9.8.3 解除薄膜锁住444

9.8.4 锁住问题小结448

9.9 小结449

参考文献452

第10章 根据Hellinger-Reissner原理及修正的Hellinger-Reissner原理建立的有限元模式（二）456

10.1 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR1（σ，u）及П1 mR1（σ，u）混合元模式456

10.1.1 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR1及所建立的混合元Ⅰa456

10.1.2 修正的Hellinger-Reissner原理П1 mR1及所建立的混合元Ⅰb460

10.1.3 算例461

10.2 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR2（u，？，σ，T）463

10.3 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR3（u，？，σ）及П1 mR3（u，？，σ）所建立的杂交应力元465

10.3.1 变分公式465

10.3.2 有限元列式466

10.3.3 应用实例467

10.3.4 用ПmR3（或П1 mR3）进行有限元列式时的三种特殊情况469

10.3.5 利用正交插值函数进行有限元列式471

10.4 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR4（σ，uq，uλ，？）及ПmR（σ，uq，uλ）472

10.4.1 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR4（σ，uq，λ，？）472

10.4.2 修正的Hellinger-Reisner原理ПmR（σ，uq，uλ）及所建立的杂交应力元473

10.5 非协调杂交应力元的理性列式（Ⅰ）——平衡法479

10.5.1 非协调杂交应力元理性列式方法（Ⅰ）——平衡法479

10.5.2 非协调杂交应力元理性列式（Ⅰ）——平衡法实例481

10.5.3 小结496

10.6 修正的理性平衡列式方法497

10.6.1 修正方法497

10.6.2 修正平衡法实例498

10.7 修正的理性平衡列式法建立三维特殊层合元505

10.7.1 层合材料的修正Hellinger-Reissner原理505

10.7.2 层合元单刚建立508

10.7.3 建立层合板元——元SLR10509

10.7.4 数值算例512

10.7.5 小结516

10.8 非协调杂交应力元的理性列式（Ⅱ）——表面虚功法516

10.8.1 约束方程及单刚的建立516

10.8.2 对非协调杂交应力元理性列式的说明518

10.8.3 非协调杂交应力元理性列式（Ⅱ）——表面虚功法实例519

10.9 非协调杂交应力元理性列式（Ⅲ）——正交法526

10.9.1 非协调位移元与杂交应力元的对应性526

10.9.2 非协调杂交应力元理性列式（Ⅲ）——正交法527

10.9.3 非协调杂交应力元理性列式（Ⅲ） 一正交法实例528

10.10 通过应力张量转换方法建立几何形状歪斜单元的应力场530

10.10.1 建立四结点一般四边形平面元的应力场530

10.10.2 建立三维8结点一般六面体元的应力场531

10.10.3 具有一个无外力斜边，且外边界上2个结点含有转动自由度的4结点杂交应力元——元SDR4Ⅱ533

10.11 利用斜坐标建立平面四边形杂交应力元538

10.11.1 4结点四边形平面元538

10.11.2 数值算例542

10.12 基于ПmR根据变分-渐近法建立的杂交元层合板自由直边应力分析545

10.12.1 边界层问题545

10.12.2 有限元列式546

10.12.3 数值算例548

10.13 小结549

参考文献552

第11章 根据修正的Hellinger-Reissner原理及具有一个参数的广义变分原理建立的有限元模式（三）557

11.1 根据修正的Hellinger-Reissner原理建立的具有转动自由度的杂交应力元557

11.1.1 第一类4结点膜元557

11.1.2 第二类4结点膜元——元O7β562

11.1.3 第三类4结点膜元及六面体元——元MAQ及AH563

11.2 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR（u，ε，T）及所建立的混合元Ⅱ——假定自然应变（Assumed Natural Strain,ANS）列式和假定自然偏应变（Assumed Natural Deviatoric Strain,ANDES）列式565

11.2.1 修正的Hellinger-Reissner原理ПmR5（u，ε，T）565

11.2.2 有限元列式567

11.2.3 数值算例569

11.2.4 小结570

11.3 非协调位移元基于ПP的正交条件列式及有限元自由列式（Free Formulation,EF列式）572

11.3.1 单独-单元试验572

11.3.2 正交列式基本方程574

11.3.3 根据势能原理基于正交条件进行有限元列式574

11.3.4 有限元自由列式及单刚计算576

11.3.5 有限元修正的自由列式578

11.4 具有一个参数的广义变分原理及其有限元列式自由列式所依据的泛函580

11.4.1 一个参数的广义变分原理（Parametrized Multifield Variational Principle）580

11.4.2 有限元列式582

11.4.3 运动约束585

11.4.4 利用一个参数的广义变分原理进行有限元自由列式587

11.4.5 小结590

11.5 由自由列式（FF）及扩展的自由列式（EFF）建立具有转动自由度的有限元591

11.5.1 根据自由列式（FF）建立具有转动自由度的三角形膜元591

11.5.2 根据扩展自由度（EFF）建立的具有转动自由度三角形膜元596

11.5.3 数值算例599

11.6 多场变量有限元的容许矩阵列式（Admissible Matrix Formulation）601

11.6.1 能量泛函及单元列式601

11.6.2 分析单元通过单元分片试验（Single Element Patch Test）的内部原因602

11.6.3 正交法及容许矩阵列式602

11.6.4 建立低阶高效元604

11.7 小结609

参考文献611

第12章 根据胡-鹫津（Hu-Washizu）原理所建立的有限元模式616

12.1 根据Hu-Washizu原理ПHW（σ，ε，u）建立的精化杂交应力元（Refined Hybrid Stress Elements）616

12.1.1 Hu-Washizu原理ПHW616

12.1.2 精确杂交应力元616

12.1.3 改善的精化杂交应力元633

12.1.4 小结640

12.2 根据Hu-Washizu原理、γ-投影及正交内插所建立的有限元641

12.2.1 有限元列式641

12.2.2 4结点四边形平面元——QBI元642

12.2.3 扩展的四边形平面元649

12.3 根据Hu-Washizu原理用一组综合方法处理内部约束所建立的单元653

12.3.1 有限元列式653

12.3.2 4结点四边形平面元655

12.4 根据Hu-Washizu原理及增强应变（EAS）方法所建立的有限元662

12.4.1 有限元列式662

12.4.2 二维4结点EAS元663

12.4.3 几种三维8结点EAS元667

12.5 根据Hu-Washizu原理及扩展的增强应变方法所建立的有限元671

12.5.1 有限元列式671

12.5.2 四结点4边形元673

12.5.3 八结点三维元681

12.5.4 小结687

12.6 小结688

参考文献690

第13章 根据修正的Hu-Washizu原理建立的有限元模式695

13.1 修正的Hu-Washizu原理П1 MHW695

13.2 根据修正的Hu-Washizu原理П1 MHW所建立的广义杂交应力元模式Ⅰ697

13.2.1 有限元列式Ⅰ697

13.2.2 各种杂交模式与现在广义杂交应力模式的关系699

13.2.3 根据修正的Hu-Washizu原理П1 MHW建立的有限元模式Ⅱ——拟协调元701

13.3 利用另一种修正的Hu-Washizu原理П2 MHW建立的杂交应力有限元702

13.3.1 单元列式702

13.3.2 精化直接刚度法的求解步骤704

13.3.3 精化九参数三角形薄板元705

13.3.4 精化的非协调平面四边元714

13.4 根据修正的Hu-Washizu原理所建立的杂交应力元717

13.4.1 变分原理717

13.4.2 有限元列式718

13.4.3 四边形中厚板弯曲单元719

13.4.4 数值算例721

13.5 小结723

参考文献725

第14章 根据更一般形式的广义变分原理所建立的有限元模式728

14.1 更一般形式的广义变分原理728

14.1.1 用拉格朗日乘子法在Hu-Washizu原理中解除应力应变关系约束的失败728

14.1.2 高阶拉格朗日乘子法，更一般形式的广义变分原理729

14.2 用更一般形式广义变分原理所建立的一种广义杂交应力元（Ⅰ）731

14.2.1 修正的更一般形式广义变分原理731

14.2.2 有限元列式734

14.2.3 平面四结点广义杂交应力元736

14.2.4 三维8结点广义杂交应力元739

14.3 根据更一般形式的广义变分原理所建立的轴对称广义杂交应力元743

14.3.1 变分原理743

14.3.2 有限元列式745

14.3.3 建立四结点4边形轴对称广义杂交应力元746

14.3.4 数值算例748

14.4 根据参数化变分原理建立高性能有限元751

14.4.1 参数化的多场变量变分原理752

14.4.2 有限元列式754

14.4.3 运动约束（单独——单元试验应满足的条件）757

14.4.4 可视刚度方程758

14.5 小结759

参考文献760

总结763

索引（一）764

索引（二）765