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创新思维　智慧之光（代序）1

第一章　从现象到本质1

整体感悟1

1.1　探索一般规律　寻求问题通解（行程问题应用题）2

阅读材料　只设一个元3

1.2　也来编道数学趣题（一次不定方程）5

阅读材料　列个混合组7

1.3 以“加”代“乘”（代数式的变形）9

阅读材料　数字繁时巧换元11

1.4　以“减”代“除”（代数式的变形）12

阅读材料　遇多元　巧排序14

1.5　趣味约分的奥秘（之一）（分式）16

阅读材料　慎用等比性质18

1.6　趣味约分的奥秘（之二）（分式）19

阅读材料利　用因式分解巧算21

1.7　三角形的中间角（三角形的有关线段）23

阅读材料　多少个三角形24

1.8　从所做习题中提炼精华（三角形的边角关系）25

阅读材料　善于借鉴　一石数鸟27

1.9　哪种解法更具有共性（四边形 比例线段）29

阅读材料　化等腰梯形为矩形32

1.10　探寻一类习题的背景（二次根式）33

阅读材料　x+？帮你求根式值35

1.11　数字穿墙为哪般（根式）36

阅读材料　看准时机　适时代换38

1.12　奇趣的开方术（数的开方）39

阅读材料　求值之前找规律41

1.13　课文里面内涵多（一元二次方程）42

阅读材料　作乘积　妙推理44

1.14　平方　分段　相加　还原（一元二次方程）45

阅读材料　构造一元二次方程求值47

1.15　挖掘习题背后潜在的规律（韦达定理）48

阅读材料　让次数逐渐升高50

第二章　聪明的思路52

整体感悟52

2.1　速算法一则（有理数的运算）53

阅读材料　考虑问题的极端情形54

2.2　别开生面的“除法”（有理数的运算）56

阅读材料　最大值是多少59

2.3　如何排列积最大（小）（有理数的大小比较）60

阅读材料　如何分割积最大62

2.4　一个好难找的数（有理数的运算）63

阅读材料　国王的难题64

2.5　有用的“余数”（数的整除）66

阅读材料 “所有的”仅仅一个67

2.6　怎样求1m+2m+3m+…+nm的值（乘法公式）69

阅读材料　欲求最值先配方73

2.7　抓住单选题的特征解题（因式分解）75

阅读材料　不要拆得太散77

2.8　三角形的等积分割（三角形的面积）78

阅读材料　借助面积　事半功倍80

2.9　作图贵思考（尺规作图）81

阅读材料　构造线段的中垂线证题83

2.10　一个命题的否定（平行四边形）84

阅读材料　构造平行四边形证题85

2.11　整数分离建奇功（分式）87

阅读材料　倒置变换　化难为易89

2.12　质数意义用处大（质数）90

阅读材料　巧借偶质数解题93

2.13　怎样求x1、x2非齐次对称式的值（韦达定理）95

阅读材料 匹配一个对偶式97

2.14　抽丝剥茧　越剥越简（二次不定方程）99

阅读材料　巧求一类最小值101

2.15　构造反例一则（三角形的内切圆）102

阅读材料　勾股容圆问题104

2.16　一组平分面积趣题（比例线段 圆）105

阅读材料　遇高面积来帮忙108

第三章　精益求精110

整体感悟110

3.1　尽快赶到火车站（应用题）110

阅读材料　车辆油料调剂问题112

3.2　青蛙跳荷叶（计数问题）114

阅读材料　从假设开始推理116

3.3　完全平方数的小秘密（完全平方公式）117

阅读材料　活用三数和的平方公式120

3.4　物不知数　求一术　不定方程（一次不定方程）122

阅读材料　一题五解　左右逢源124

3.5 “欧拉趣题”的条件过剩（代数式的变形）125

阅读材料　错项相减巧求值127

3.6　不要轻易放弃一个思路（代数式的变形）129

阅读材料　难找的数131

3.7　拆项中的创新（因式分解）132

阅读材料　待定系数法的活用135

3.8　求完全平方式中的未知项（乘法公式）137

阅读材料　配方平方谁更妙138

3.9　从粗略估计到精确研究（一元二次方程的应用）139

阅读材料　如何估算最合理141

3.10　精打细算　物尽其用（一元二次方程的应用）143

阅读材料　想起勾股定理146

3.11　一道错题的剖析与修改（二次不定方程组）147

阅读材料　巧借配方解难题149

3.12　小强赶车（函数的最小值）151

阅读材料　最大值是多少152

3.13　瞻前顾后 自圆其说（二次函数）154

阅读材料　巧构方差解赛题157

3.14　如果直线往上平移（直线与圆的位置关系）158

阅读材料　运用圆内接四边形外角的性质解题160

3.15　沿途有风景（几何一题多证）162

阅读材料　化“斜”为“直”解三角形164

第四章　由此及彼168

整体感悟168

4.1 应用题与“数学模型”（应用题）168

阅读材料　都换成同一个字母170

4.2　换个说法　茅塞顿开（一元一次不等式）171

阅读材料　加1导等法172

4.3　用方程去解不等式（一元一次不等式）174

阅读材料　不等号方向是关键175

4.4　奇妙的对应（应用题）176

阅读材料　工具箱应设何处178

4.5　解题常有副产物（代数式的变形）180

阅读材料　能被99整除的多位数181

4.6　年龄趣题的几何解法（应用题）183

阅读材料　列个一元一次方程184

4.7　待定系数法的活用（不等式组）185

阅读材料　一个捉摸不透的量187

4.8　巧借量的次数速解选择题（选择题的简便解法）189

阅读材料　化底数或指数相等比大小190

4.9　借把“折子扇”助解题（三角形的有关线段）191

阅读材料　数三角形192

4.10　三角形重心定理的推广（比例线段）194

阅读材料　添加辅助线有缘由196

4.11 间接法解一元二次方程（之一）（一元二次方程的解法）198

阅读材料　常数“客串”未知数199

4.12　间接法解一元二次方程（之二）（一元二次方程的解法）201

阅读材料　倒数方程的解法202

4.13　从这里得到勾股数组（勾股定理）204

阅读材料 由3、4、5所想到的205

4.14　学会以题解题（分式方程 无理方程）207

阅读材料　抓住非负数的特征208

4.15　求直线、抛物线对称图形的解析式（一次函数　二次函数）210

阅读材料　图象之中信息多212

4.16　无处不在的“饮马河”问题（最短路径问题）214

阅读材料　换个次序难变易216

第五章　逆向思维219

整体感悟219

5.1 破译神算之谜（有理数的运算）219

阅读材料　巧用分配律222

5.2　和尚分馒头（应用题）224

阅读材料　巧借恒等式解题226

5.3　倒推、游戏与解题（应用题）227

阅读材料　生活中的统筹方法229

5.4　奇异的数列（有理数的运算）231

阅读材料　巧借余数妙解题235

5.5　游戏里面奥秘多（趣味数学）236

阅读材料　游戏之中有奥秘238

5.6　按时间分段与按路程分段（行程问题应用题）240

阅读材料　一个有趣的规律242

5.7　妙解从何而来（不定方程）243

阅读材料　把“未知”当“已知”245

5.8　一道趣题的启示（之一）（分式）246

阅读材料　巧取特值 离析系数248

5.9　一道趣题的启示（之二）（分式）249

阅读材料　构造x的零值多项式252

5.10　给答案以合理的解释（分式方程应用题）253

阅读材料　怎样分工最省钱255

5.11　不证全等又何妨（直线形）257

阅读材料　截长补短两相宜258

5.12　拆分单位分数（分式）260

阅读材料　如何求值最简便262

5.13　一道习题的多证及联想（一元二次方程）263

阅读材料　倒一倒　解法妙265

5.14　对一道习题的探讨（一元二次方程）267

阅读材料 “二次函数图象”与“二次方程根的分布”269

第六章　当条件不够或受到制约时271

整体感悟271

6.1　猜生日（代数式的变形）271

阅读材料　逆向验算　逐步调整273

6.2　猜年龄（代数式的变形）274

阅读材料　正确答案是多少275

6.3 口诀的秘密（代数式的变形）276

阅读材料　巧借±1解趣题278

6.4　巧借负数助解题（应用题）279

阅读材料　多少个相同的数281

6.5　案发何时（应用题）283

阅读材料　修改哪一个数字284

6.6　表针重合趣题的探索（应用题）286

阅读材料　把“角度”当“路程”288

6.7　表针对换趣题（应用题）290

阅读材料　一串灯笼庆国庆292

6.8　缩小范围　局部枚举（方程的整数根）293

阅读材料　缩小范围再验证295

6.9　趣作三角形的角平分线、中线和高（尺规作图）296

阅读材料　先作出“奠基”三角形297

6.10　单规平分已知线段（相似形 圆）298

阅读材料　运动中的相似三角形299

6.11 两道哑谜题（不定方程应用题）301

阅读材料　缺页的日记本304

6.12　沉默也是条件（一元二次方程）305

阅读材料　巧借染色解难题308

6.13　金蝉脱壳巧解题（构造方程解题）310

阅读材料　换元是为了减元312

6.14　请您还原图形（圆　尺规作图）314

阅读材料　只准测量一次315

第七章　有趣的探索317

整体感悟317

7.1 “剪”出来的规律（应用题）317

阅读材料　找规律填数319

7.2　有趣的英文算式（有理数的运算）321

阅读材料　细心观察觅规律323

7.3　从上往下算还是从下往上算（幂的乘方）325

阅读材料　零次幂的妙用326

7.4　上台阶（应用题）327

阅读材料　书的页码问题328

7.5　砝码问题（应用题）330

阅读材料　末尾有多少个连续的零332

7.6　妙趣横生等幂和（乘法公式）333

阅读材料　抓住“平方和不变”336

7.7　寻找断尾数（应用题）337

阅读材料　请您扮演“魔术师”338

7.8　有趣的六位数（数码问题）340

阅读材料　数码问题一例341

7.9　至少统计了多少人（应用题）343

阅读材料　归一·抓住那个特殊的344

7.10　从简单的情形入手（有理数）346

阅读材料　末四位数是什么348

7.11 扩充新数（应用题）350

阅读材料　周密分析　逐步调整351

7.12　一类竞赛题的解法（代数式的变形）353

阅读材料　一类求值题的解法354

7.13　浮尾数（二次方程）356

阅读材料 “凸数”与“凹数”357

7.14　复尾数（二次方程）359

阅读材料　按个位数字枚举362

7.15　难辨的真与假（命题的真与假）363

阅读材料　善举反例事理明365

7.16　过定点的直线束和抛物线束（函数的解析式）366

阅读材料　巧借sin2x+cos2x=1解题368