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绪论1

第一章 函数 极限与连续4

1.1 映射与函数4

一、集合 区间与邻域4

二、映射7

三、函数的概念9

四、函数的运算 反函数13

五、具有某种特性的函数16

六、基本初等函数 初等函数19

七、建立函数关系式举例26

思考题1.129

习题1.129

1.2 极限的概念30

一、数列的极限31

二、当自变量趋于无穷大时函数的极限35

三、当自变量趋于有限值时函数的极限38

四、单侧极限42

五、数列极限与函数极限的关系43

思考题1.245

习题1.245

1.3 无穷小量 无穷大量46

一、无穷小量与无穷大量的概念46

二、无穷小量与无穷大量的关系47

三、无穷小的运算性质48

四、函数及其极限与无穷小之间的关系49

思考题1.350

习题1.350

1.4 极限的性质及运算法则51

一、极限的性质52

二、极限的运算法则53

思考题1.457

习题1.458

1.5 极限存在准则 两个重要极限59

一、夹逼准则x→0lim sin x/x=159

二、单调有界准则x→∞lim(1+1/x)x=e63

三、无穷小的比较68

思考题1.571

习题1.572

1.6 连续函数73

一、连续性的概念73

二、函数的间断点76

三、连续函数的性质与运算80

四、初等函数的连续性81

五、闭区间上连续函数的性质83

思考题1.687

习题1.688

1.7 应用实例89

实例一 分形曲线89

实例二 椅子平稳模型92

复习题一93

第二章 一元函数微分学96

2.1 导数的概念96

一、引例96

二、导数的定义98

三、单侧导数100

四、导数的几何意义102

五、函数可导与连续的关系103

六、导数在实际问题中的应用105

思考题2.1107

习题2.1107

2.2 导数的运算法则108

一、导数的四则运算法则109

二、反函数的求导法则111

三、复合函数的求导法则113

四、导数的基本公式116

思考题2.2118

习题2.2118

2.3 隐函数及参数式函数的导数119

一、隐函数的导数119

二、参数式函数的导数122

三、相关变化率问题126

思考题2.3128

习题2.3128

2.4 高阶导数129

思考题2.4134

习题2.4134

2.5 函数的微分135

一、微分的概念135

二、微分的运算法则138

三、函数的线性近似140

思考题2.5142

习题2.5142

2.6 微分中值定理143

一、函数的极值及其必要条件144

二、微分中值定理145

思考题2.6152

习题2.6152

2.7 不定型的极限154

一、0/0型与∞/∞型154

二、其他不定型157

思考题2.7160

习题2.7160

2.8 泰勒公式161

一、泰勒公式162

二、几个常用的麦克劳林公式166

三、泰勒公式的应用170

思考题2.8172

习题2.8173

2.9 函数的单调性与极值174

一、函数单调性的判定法174

二、函数极值的判定法177

三、最大值与最小值问题180

思考题2.9185

习题2.9185

2.10 函数的凸性与曲线的拐点186

思考题2.10192

习题2.10192

2.11 函数作图193

一、曲线的渐近线193

二、函数作图197

思考题2.11199

习题2.11199

2.12 曲线的曲率199

一、弧微分199

二、曲率201

习题2.12205

2.13 应用实例206

实例一 运输问题206

实例二 拐角问题207

复习题二209

第三章 一元函数积分学213

3.1 定积分的概念与性质213

一、引例213

二、定积分的定义215

三、函数可积的充分条件217

四、定积分的几何意义217

五、定积分的性质219

思考题3.1223

习题3.1224

3.2 微积分基本定理225

一、积分上限的函数226

二、微积分基本定理228

思考题3.2229

习题3.2230

3.3 不定积分的概念与性质231

一、不定积分的概念231

二、不定积分的几何意义231

三、不定积分的性质232

四、基本积分公式233

思考题3.3237

习题3.3238

3.4 换元积分法238

一、不定积分的换元积分法238

二、定积分的换元积分法251

思考题3.4256

习题3.4257

3.5 分部积分法259

一、不定积分的分部积分法259

二、定积分的分部积分法264

思考题3.5267

习题3.5267

3.6 有理函数的积分268

一、有理函数的积分268

二、三角函数有理式的积分276

思考题3.6278

习题3.6278

3.7 反常积分279

一、无穷区间上的反常积分279

二、无界函数的反常积分282

三、Γ函数与B函数285

思考题3.7287

习题3.7288

3.8 定积分的几何应用289

一、微元法289

二、求平面图形的面积290

三、求体积294

思考题3.8297

习题3.8297

3.9 定积分的物理应用298

一、功298

二、引力300

三、液体的压力303

四、函数的平均值与均方根303

思考题3.9305

习题3.9305

3.10 应用实例306

实例 钓鱼问题306

复习题三308

第四章 常微分方程312

4.1 微分方程的基本概念312

一、引例312

二、基本概念313

思考题4.1315

习题4.1316

4.2 一阶微分方程316

一、可分离变量的方程317

二、齐次方程321

三、一阶线性方程325

思考题4.2332

习题4.2332

4.3 可降阶的高阶微分方程334

一、y(n)=f（x）型334

二、y″=f（x,y′）型335

三、y″=f（y,y′）型337

思考题4.3340

习题4.3340

4.4 二阶齐次线性方程341

一、二阶齐次线性方程解的性质与结构341

二、二阶常系数齐次线性方程的解法344

思考题4.4350

习题4.4350

4.5 二阶非齐次线性方程351

一、二阶非齐次线性方程解的性质与结构351

二、二阶常系数非齐次线性方程的解法353

三、欧拉方程364

思考题4.5367

习题4.5367

4.6 应用实例369

实例一 鱼雷击舰问题369

实例二 人口增长模型371

复习题四374

附录 常用曲线图377

习题答案380