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第一章 集合·实数——微积分的基础1

1.1 数学大厦的基石——集合1

1.1 集合概念2

1.2 全集·空集·子集3

1.3 集合的运算3

1.2 实数4

2.1 毕达哥拉斯的“万物皆数”——有理数5

2.2 数学之神——阿基米德6

2.3 “万物皆数”的濒危——第一次数学危机7

2.4 实数的性质8

2.5 绝对值、区间和邻域9

1.3 实数与集合在微积分中的作用10

3.1 “万物皆数”的复归——实数在微积分中的作用10

3.2 集合在微积分中的作用11

专题简述（1） 悖论浅谈11

思考题一14

习题一14

第二章 极限——变量无限变化的数学模型15

2.1 从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列极限16

1.1 数列的概念16

1.2 数列极限的定性描述17

1.3 数列极限的定量描述18

1.4 数列极限的哲学分析22

1.5 对极限概念作出贡献的中外数学家22

2.2 函数极限25

2.1 自变量x无限趋近于有限数x0的情形25

2.2 自变量x的绝对值无限增大时的情形28

2.3 函数极限的性质29

2.3 无穷小量30

3.1 无穷小量的概念30

3.2 无穷小量的性质30

3.3 无穷小量阶的比较31

2.4 极限的四则运算31

2.5 两个极限判定准则和两个重要极限公式34

5.1 判定极限存在的两个准则34

5.2 与三角函数式有关的极限公式35

5.3 与自然生长（或衰减）有关的极限公式36

5.4 有限与无限是客观原型的抽象37

专题简述（2） 数学符号38

思考题二40

习题二40

第三章 连续函数——微积分的研究对象42

3.1 函数——变量相依关系的数学模型43

1.1 常量与变量43

1.2 函数概念43

1.3 函数符号与双目失明的数学家——欧拉44

1.4 函数的表示法45

1.5 函数的基本性质46

3.2 初等函数46

2.1 反函数46

2.2 基本初等函数47

2.3 复合函数49

2.4 初等函数50

3.3 函数模型的构建51

3.1 构建函数模型的步骤和方法51

3.2 函数模型举例51

3.4 连续函数——变量连续变化的数学模型55

4.1 连续函数的概念和连续函数求极限的法则56

4.2 初等函数的连续性58

4.3 闭区间上连续函数的性质60

4.4 中学教师出身的数学家——外尔斯特拉斯62

专题简述（3） 数学模型方法63

思考题三65

习题三66

第四章 导数与微分——变量变化快慢程度与计算变量改变量的数学模型69

4.1 导数70

1.1 两个典型问题70

1.2 导数概念72

1.3 求导数的辩证法75

1.4 导数的力学意义和几何意义76

1.5 左导数和右导数76

1.6 函数的连续性与可导性之间的关系77

1.7 高阶导数的概念78

4.2 求导法则和求导公式79

2.1 求导法则79

2.2 基本初等函数的求导公式84

4.3 微分及其运算86

3.1 微分86

3.2 微分公式和法则88

3.3 微分在近似计算中的应用89

4.4 牛顿·牛顿的流数法和第二次数学危机90

4.1 科学巨擘牛顿90

4.2 牛顿的流数法和第二次数学危机93

专题简述（4） 数学抽象95

思考题四97

习题四97

第五章 中值定理·导数的应用99

5.1 中值定理99

1.1 预备定理——费尔马定理100

1.2 业余数学家之王——费尔马101

1.3 中值定理的特例——罗尔定理102

1.4 中值定理（拉格朗日）103

1.5 中值定理的推广——柯西定理105

5.2 计算不定式的极限的一般方法——洛比塔法则106

2.1 0/0型不定式106

2.2 ∞/∞型不定式107

2.3 其他类型的不定式108

5.3 用导数研究函数的单调性、极值和最大、最小值109

3.1 函数的单调性109

3.2 函数的极值110

3.3 函数的最大值和最小值112

5.4 导数在经济数量分析中的应用115

4.1 函数的变化率——边际函数115

4.2 函数的相对变化率——弹性函数116

专题简述（5） 数学猜想118

思考题五120

习题五121

第六章 不定积分——微分法的逆运算123

6.1 不定积分的概念和性质123

1.1 牛顿的字谜·不定积分的概念123

1.2 不定积分的性质126

6.2 基本积分公式和直接积分法126

2.1 基本积分公式126

2.2 直接积分法127

6.3 常用积分法——换元积分法和分部积分法129

3.1 换元积分法129

3.2 分部积分法134

专题简述（6） 数学思维137

思考题六140

习题六140

第七章 定积分——求总量的数学模型142

7.1 定积分的概念和性质142

1.1 初等数学束手无策，高等数学迎刃而解的两个典型求积问题142

1.2 定积分的概念145

1.3 求定积分过程中的辩证法147

1.4 定积分存在定理148

1.5 定积分的性质148

7.2 定积分的计算150

2.1 数学史上的一项菁华：微积分基本定理150

2.2 计算定积分的一般方法——牛顿-莱布尼茨公式152

2.3 百科全书式的数学家——莱布尼茨154

2.4 求定积分的换元积分法和分部积分法155

7.3 定积分的应用156

3.1 建立求总量模型的简便方法——微元法157

3.2 平面图形的面积157

3.3 旋转体的体积159

3.4 经济学中的总量问题159

7.4 广义积分160

4.1 无限区间上的积分160

4.2 无界函数的积分162

专题简述（7） 数学与美学163

思考题七165

习题七165

第八章 概率统计初步——描述偶然现象规律性的数学模型168

8.1 随机现象与概率168

1.1 随机现象、概率168

1.2 事件、随机变量170

8.2 概率的计算173

2.1 加法公式173

2.2 乘法公式与条件概率174

2.3 全概公式和贝叶斯公式176

8.3 随机变量178

3.1 离散随机变量178

3.2 连续随机变量180

3.3 分布函数182

3.4 随机变量的数字特征与分布参数185

3.5 正态分布在教育研究中的应用187

8.4 统计资料的整理191

4.1 基本概念191

4.2 数据的描述194

8.5 统计分析199

5.1 显著性检验199

5.2 回归分析201

专题简述（8） 数学与文化204

思考题八206

习题八207

附录一 习题答案与提示209

附录二 两个数表217

（一）标准正态分布函数值表217

（二）t分布双侧临界值表219

附录三 初等数学小资料221

附录四 主要人名检索225

附录五 主要参考书目228