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第一章 数值运算误差分析1

§1．1 误差分类1

§1．2 误差的表达方式3

1．2．1 绝对误差3

1．2．2 相对误差3

1．2．3 有效数字4

1．2．4 绝对误差、相对误差和有效数字之间的关系4

§1．3 截断误差估值5

§1．4 始值误差的估值6

1．4．1 应用增量公式来求始值误差6

1．4．2 应用相对误差的和、积、商公式来求始值误差7

1．4．3 区间分析法7

§1．5 舍入误差分析8

§1．6 算法稳定性概念10

习题一12

第二章 代数插值13

§2．1 拉格朗日（Lagrange）插值公式14

§2．2 差分差商及其性质19

2．2．1 微商的离散化19

2．2．2 差分算子的形式运算20

2．2．3 差分的主要性质21

2．2．4 差商及其性质24

§2．3 代数插值的牛顿公式28

2．3．1 非等距节点的牛顿公式28

2．3．2 等距节点的牛顿表初、表末和表中公式30

§2．4 逐次线性插值（Aitken）36

§2．5 关于高次插值的讨论39

§2．6 多项式的Hermite插值41

§2．7 多项式的HB插值44

习题二50

§3．1 半截函数及其性质53

第三章 样条函数53

§3．2 样条函数的形成和定义55

§3．3 三次样条插值57

3．3．1 插值问题的提法57

3．3．2 插值问题的存在唯一性58

3．3．3 三次样条函数插值的极值性质58

3．3．4 三弯矩插值法60

3．3．5 插值余项62

§3．4 分片三次埃尔米特插值64

3．4．1 问题的提法及其解答64

3．4．2 插值余项65

§3．5 B样条函数与磨光法67

3．5．1 磨光定义67

3．5．2 B样条68

3．5．3 阶梯函数的磨光71

3．5．4 型值的盈亏修改74

3．5．5 多值函数的磨光75

习题三77

第四章 数值积分80

§4．1 等距节点的求积公式：牛顿-柯特斯公式80

4．1．1 公式的推导80

4．1．2 误差分析84

4．1．3 复化公式及其误差公式88

4．1．4 运用欧拉-麦克劳林（Euler-Maclonrin）求和公式研究复化求积公式的误差91

§4．2 外推算法及其在数值积分中的应用94

4．2．1 李查逊（Richardson）外推算法94

4．2．2 龙贝格（Romberg）方法求数值积分96

§4．3 自适应数值积分算法98

§4．4 样条函数方法求数值积分简介100

§4．5 振荡函数的积分101

4．5．1 分部积分法102

4．5．2 振药函数数值积分一般原则104

习题四106

§5．1 用差商代替导数108

第五章 数值求导108

§5．2 用插值函数求微商110

§5．3 利用数值积分公式来求数值微分114

§5．4 用外推算法求数值微商117

§5．5 用算子来表示求导公式118

习题五120

第六章 正交多项式和数值积分的进一步讨论122

§6．1 正交多项式的一般性质122

§6．2 常用的几个正交多项式127

§6．3 高斯型求积公式131

§6．4 奇异积分的数值方法142

习题六145

第七章 切比雪夫最佳逼近148

§7．1 引言148

§7．2 线性模空间的逼近问题149

习题七150

§7．3 切比雪夫最佳逼近的定义和性质150

§7．4 切比雪夫多项式的导出153

§7．5 切比雪夫最佳逼近的实现155

7．5．1 用直线来最佳逼近f（x）155

7．5．2 k次多项式用n次多项式来最佳逼近156

7．5．3 用求解超越方程的方法来求最佳多项式158

第八章 最佳平方逼近160

§8．1 内积空间性质与最佳平方逼近概念160

§8．2 最佳平方逼近的性质161

§8．3 最佳逼近式的推求162

§8．4 几个常用内积空间中的最佳平方逼近163

8．4．1 Rn空间中的最佳平方逼近163

8．4．2 C[a,b]空间中的最佳平方逼近164

8．4．3 离散函数的最佳平方逼近166

习题八169

§9．1 周期离散函数的富氏展开171

第九章 有限富氏分析和快速富氏变换171

§9．2 离散富氏分析的误差173

§9．3 离散富氏变换175

9．3．1 富氏变换的离散化175

9．3．2 离散富氏变换的形式176

§9．4 离散富氏变换的快速算法176

9．4．1 快速富氏变换的一般原理176

9．4．2 以二为底的快速富氏变换177

习题九180

第十章 有理函数插值182

§10．1 连分式182

10．1．1 引言182

10．1．2 连分式简介183

§10．2 有理分式插值185

10．2．1 通过解线代数方程获得有理分式插值公式185

10．2．2 通过连分式获得有理分式插值公式（Thiele方法）188

§10．3 巴脱（Pade）插值192

§10．4 将有理分式函数化成连分式196

习题十198

第十一章 二元函数分片光滑逼近201

§11．1 引言201

§11．2 矩形域上分片插值问题202

11．2．1 分片双一次插值202

11．2．2 分片不完全双二次插值204

11．2．3 矩形域上分片双三次埃尔米特插值207

11．3．1 三角形区域上的线性插值209

§11．3 三角形区域的插值209

11．3．2 三角形区域上的二次插值211

§11．4 康斯（Coons）插值213

11．4．1 插值算子和布尔和213

11．4．2 双一次康斯插值214

11．4．3 双三次康斯插值215

§11．5 矩形域上曲面磨光法217

习题十一219