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第一章 函数、极限、连续1

1-1 一元函数1

一、求函数的表示式和定义域1

第一部分 高等数学1

二、求函数值3

1-2 极限5

一、求特定式的极限5

二、求非特定式的极限12

三、函数极限的局部逆问题的解法12

四、函数极限综合题的解法13

五、求分段函数的极限14

七、求数列的极限15

六、无穷小的阶的比较15

1-3 函数的连续性21

一、函数的连续性讨论21

二、确定函数的间断点及其类型23

三、在闭区间上的连续函数的性质的应用23

第二章 一元函数的微分学27

2-1 导数和微分27

一、求函数的导数的基本方法27

二、不同形式的函数的求导方法31

三、求函数的高阶导数32

四、求函数的微分34

二、研究函数的单调增减法37

16-2 参数估计37

2-2 导数和微分的应用37

一、求平面曲线的切线和法线方程37

三、求函数的极限和最值38

四、研究曲线的凹凸性41

五、证明中值命题42

六、证明方程的根的存在性与个数46

七、证明不等式48

八、求曲线的曲率、曲率半径和曲率圆51

第三章 一元函数的积分学55

3-1 不定积分55

一、求不定积分的三种基本方法55

二、几种特殊类型的函数的积分法60

3-2 定积分67

一、计算定积分的基本方法67

二、奇偶函数的定积分的计算69

三、分段函数(含带绝对值符号的函数)的定积分计算69

四、证明定积分等式70

五、证明定积分不等式71

七、估计定积分的值和证明具体函数的积分不等式72

六、应用积分中值定理证明中值命题72

八、求由定积分定义的函数的极限、导数、极值和研究这种函数的单调增减性73

九、广义积分的计算75

3-3 定积分的应用79

一、定积分在几何上的应用79

二、定积分在物理学上的应用84

第四章 向量代数和空间解析几何88

4-1 向量代数88

一、基本知识88

二、向量运算举例89

4-2 空间解析几何91

一、基本知识91

二、求平面方程和空间直线方程94

三、求平面与平面、直线与直线、直线与平面的夹角及点到平面、点到直线的距离101

四、曲面与空间曲线问题举例102

第五章 多元函数微分学105

5-1 多元函数及其极限与连续性105

一、求二元函数的表达式105

三、二元函数的极限106

二、求多元函数的定义域106

四、多元函数的连续性108

5-2 偏导数和全微分109

一、求具体显函数的偏导数110

二、求复合函数的偏导数或全导意110

三、求隐函数的偏导数114

四、复合函数与隐函数的综合题116

五、求函数的全微分117

六、求函数的方向导数和梯度118

七、偏导数与全微分的综合题举例120

5-3 偏导数的应用123

一、偏导数在几何上的应用123

二、偏导数在求多元函数极值方面的应用127

一、交换二次(累次)积分的积分次序134

第六章 多元函数积分学134

6-1 重积分134

二、二重积分的计算135

三、证明二重积分等式与不等式142

四、三重积分的计算144

6-2 曲线积分150

一、对弧长的曲线积分的计算150

二、对坐标的曲线积分的计算151

三、两类曲线积分的关系158

6-3 曲面积分160

一、对面积的曲面积分的计算161

二、对坐标的曲面积分的计算163

三、两类曲面积分的关系167

四、曲面积分证明题举例167

6-4 重积分、曲线积分及曲面积分的应用170

一、求几何量170

二、求物理量174

二、旋度计算181

一、散度计算181

6-5 散度与旋度181

三、梯度、散度与旋度综合题182

第七章 无穷级数184

7-1 常数项级数184

一、判别正项级数的敛散性184

三、判别任意项级数的收敛性186

二、判别交错级数的收敛性186

四、关于常数项级数敛散性的证明题举例187

五、求收敛的常数项级数的和189

7-2 幂级数192

一、求幂级数的收敛半径和收敛域192

二、求幂级数在收敛域内的和函数193

三、利用幂级数的和函数求收敛常数项级数的和196

四、关于幂级数的敛散性的阿贝尔定理的应用197

五、将函数展开成幂级数198

六、幂级数的应用201

七、求一般函数项级数的收敛域201

7-3 傅里叶级数203

二、将函数在［l，l］上展成傅里叶级数204

一、狄里克雷定理的应用204

三、将函数在［o，l］上展成正弦级数或余弦级数205

四、利用函数的傅里叶级数展开式，求收敛常数项级数的和207

五、其他情况举例208

第八章 微分方程212

8-1 一阶微分方程212

一、可分离变量的微分方程的解法212

二、线性微分方程的解法216

三、全微分方程的解法219

四、一阶微分方程综合题举例222

五、一阶微分方程应用题举例224

8-2 可降阶的高阶微分方程229

一、方程y(n)=f(x)的解法229

二、方程y =f(x,y )的解法230

三、方程y =(y,y )的解法231

四、可降阶的高阶微分方程的综合题与应用题举例232

8-3 高阶线性微分方程234

一、线性微分方程解的性质及通解结构235

二、二阶常系数齐次微分方程及某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程的解法237

三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法238

四、可化为常系数的二阶变系数线性微分方程的解法243

五、包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组的解法245

六、二阶线性微分方程的综合题与应用题举例247

8-4 微分方程的幂级数解法252

一、一阶微分方程的幂级数解法252

二、二阶齐次线性微分方程的幂级数解法253

一、计算n阶行列式的基本方法257

第九章 n阶行列式257

第二部分 线性代数257

二、计算n阶行列式的其他方法260

三、证明行列式等式的方法264

第十章 矩阵267

10-1 矩阵的运算267

一、矩阵的线性运算与乘法运算267

二、求方阵的幂268

三、关于矩阵运算的证明题举例269

四、求与给定矩阵可交换的矩阵269

10-2 矩阵的逆阵271

一、求矩阵的逆阵271

二、解矩阵方程272

三、有关逆阵的证明题274

四、方阵的行列式的计算275

五、求分块矩阵的逆阵276

一、求矩阵的秩279

10-3 矩阵的秩279

二、关于矩阵的秩的证明题举例280

11-1 向量的运算281

11-2 向量组的线性相关性281

一、把一个向量用一向量组线性表示281

第十一章 向量281

二、判别向量组的线性相关性282

三、向量组线性相关性的讨论285

四、证明向量组线性相关或线性无关285

五、向量组线性相关或线性无关的充要条件的证明286

11-3 向量组的秩288

一、求向量组的秩与最大无关组289

二、关于向量组的秩的证明题举例289

四、关于等价向量组的证明题举例290

三、判别两向量组等价290

一、判断一个向量集合是否构成向量空间291

二、求向量空间的基底和维数291

三、求向量空间中的向量在给定基底下的坐标291

11-4 向量空间291

四、求n维向量空间的基变换和过渡矩阵292

五、求n维向量空间中的向量在不同基底下的坐标变换公式293

11-5 正交向量组294

一、已知向量空间的一个基，求它的一个正交单位基294

二、已知向量空间的一个正交向量组，求它的一个正交单位基295

第十二章 线性方程组297

12-1 含有n个未知数n个方程的线性方程组297

一、克莱姆法则297

二、线性方程组的矩阵解法297

二、用初等行变换解齐次线性方程组的方法298

一、基本知识298

12-2 齐次线性方程组298

三、齐次线性方程组中含有参数时解的讨论300

四、齐次线性方程组的证明题与应用题举例301

12-3 非齐次线性方程组303

一、基本知识304

二、用初等行变换解非齐次线性方程组的方法304

三、非齐次线性方程组中含有参数时解的讨论306

四、非齐次线性方程组的证明题举例309

第十三章 矩阵的特征值与特征向量312

13-1 矩阵的特征值和特征向量312

一、求矩阵的特征值和特征向量312

二、矩阵的特征值和特征向量的逆问题的解法313

三、矩阵的特征值和特征向量的证明题举例315

13-2 正交矩阵及其证明题举例317

一、相似矩阵的计算题和证明题举例318

13-3 相似矩阵318

二、判断一个矩阵是否与一对角矩阵相似319

三、求相似变换矩阵把实对称矩阵化为对角矩阵320

四、求相似正交变换矩阵把实对称矩阵化为对角矩阵320

第十四章 二次型325

14-1 二次型及其标准形325

一、二次型及其矩阵表示325

二、化二次型为标准形326

三、二次型标准形的逆问题解法330

14-2 正定二次型和正定矩阵332

一、判别二次型的正定性332

二、正定二次型的逆问题解法333

三、正定二次型和正定矩阵的证明题举例334

四、正定二次型和正定矩阵的综合题举例335

一、随机事件间的关系及其运算339

15-1 随机事件和概率339

第十五章 概率论339

第三部分 概率论与数理统计初步339

二、概率及其计算举例341

15-2 随机变量及其分布346

一、求随机变量的分布函数问题346

二、利用分布函数、分布列或分布密度的性质求其中所含未知常数及有关事件的概率347

三、二项分布、正态分布、指数分布的表达式在实际中的应用及其有关概率的计算问题349

15-3 二维随机变量及其分布352

一、由联合分布密度性质确定其中的未知常数，求(X，Y)取法落在某区域内的概率及边缘分布密度、分布函数352

二、据已给的随机试验，求某二维离散型随机变量(X、Y)的概率分布及边缘分布354

三、求条件分布，利用独立性计算概率355

四、两个独立随机变量的简单函数的分布356

15-4 随机变量的数字特征及极限定理概述359

一、用定义、性质计算随机变量的数学期望与方差359

二、求随机变量函数的数学期望、方差、相关系数等361

三、用切比雪夫不等式、极限定理来估计随机事件的概率362

一、几个基本术语370

第十六章 数理统计初步370

16-1 数理统计的基本概念370

二、一些常用的抽样分布371

三、概率分布的分位数373

四、举例374

一、点估计377

二、区间估计378

三、举例380

16-3 假设检验383

一、假设检验的基本思想383

二、正态总体的均值假设检验384

三、正态总体方差的假设检验385

四、分布的假设检验386

五、举例386