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第1章 简介1

1.1 离散傅里叶变换的应用1

第2章 离散傅里叶变换4

2.1 定义4

2.1.1 DFT4

2.1.2 IDFT4

2.1.3 归一化DFT4

2.2 Z变换6

2.3 DFT的性质11

2.4 卷积定理16

2.4.1 乘积定理21

2.5 相关性定理21

2.6 重叠相加和重叠保留法24

2.6.1 重叠相加法24

2.7 数据域的补零27

2.8 使用一次复数FFT计算两个实序列的DFT30

2.9 利用DFT矩阵将循环矩阵对角化30

2.9.1 托普利茨（Toeplitz）矩阵30

2.9.2 循环矩阵31

2.9.3 利用DFT矩阵将循环矩阵对角化31

2.10 小结33

2.11 习题33

2.12 课程实践36

第3章 快速算法37

3.1 基-2 DIT-FFT算法37

3.1.1 N=8时IFFT的稀疏矩阵因子42

3.2 基于稀疏矩阵因式分解的快速算法44

3.3 基-2 DIF-FFT51

3.3.1 N=8时的DIF-FFT52

3.3.2 原位计算56

3.4 基-3 DIT-FFT56

3.5 基-3 DIF-FFT57

3.6 N为合数时的FFT59

3.7 基-4 DIT-FFT60

3.8 基-4 DIF-FFT66

3.9 分裂基FFT算法69

3.10 用矩阵分割技术实现快速傅里叶变换（FFT）和快速二进制傅里叶表示（BIFORE）变换70

3.10.1 矩阵分割技术71

3.10.2 DFT算法72

3.10.3 BIFORE变换（BT）74

3.10.4 复BIFORE变换（CBT）75

3.10.5 稀疏矩阵因式分解（SMF）75

3.11 威诺格拉德傅里叶变换算法75

3.11.1 5点DFT75

3.11.2 7点DFT76

3.11.3 9点DFT77

3.11.4 输入为实序列时的DFT算法78

3.11.5 威诺格拉德短N DFT模块79

3.11.6 素因子映射索引81

3.11.7 威诺格拉德傅里叶变换算法（WFTA）83

3.12 DFT矩阵的稀疏分解84

3.12.1 使用复数旋转进行DFT矩阵的稀疏分解84

3.12.2 利用酉矩阵进行DFT矩阵的稀疏分解85

3.13 统一离散傅里叶-哈特雷变换87

3.13.1 UDFHT的快速结构91

3.14 Bluestein FFT算法93

3.15 Rader质数算法95

3.16 小结96

3.17 习题97

3.18 课程实践99

第4章 整数快速傅里叶变换100

4.1 介绍100

4.2 提升技术100

4.3 算法101

4.3.1 定点运算的实现105

4.4 整数离散傅里叶变换107

4.4.1 近完全整数DFT107

4.4.2 完全整数DFT108

4.4.3 能量守恒110

4.4.4 循环移位110

4.5 小结112

4.6 习题112

4.7 课程实践112

第5章 二维离散傅里叶变换113

5.1 定义113

5.2 性质116

5.2.1 周期性116

5.2.2 共轭对称116

5.2.3 时域／空域的循环移位（周期性移位）117

5.2.4 频域的循环移位（周期性移位）117

5.2.5 斜特性119

5.2.6 旋转性120

5.2.7 帕斯瓦尔定理120

5.2.8 卷积定理120

5.2.9 相关定理122

5.2.10 空域微分122

5.2.11 频域微分123

5.2.12 拉普拉斯算子123

5.2.13 矩形方程123

5.3 二维滤波124

5.3.1 逆高斯滤波器（IGF）126

5.3.2 根滤波器127

5.3.3 同态滤波129

5.3.4 范围压缩130

5.3.5 高斯低通滤波器131

5.4 逆滤波和维纳滤波131

5.4.1 维纳滤波器133

5.4.2 几何平均滤波器（GMF）135

5.5 三维DFT136

5.5.1 三维DFT136

5.5.2 三维IDFT136

5.5.3 三维坐标136

5.5.4 三维DFT136

5.5.5 三维IDFT136

5.6 一维DFT域的方差分布137

5.7 酉变换下的方差和不变138

5.8 二维DFT域的方差分布138

5.9 基于变换系数方差的量化140

5.10 最大方差区域采样（MVZS）144

5.11 几何区域采样（GZS）145

5.12 小结151

5.13 习题151

5.14 课程实践151

第6章 矢量基二维FFT算法161

6.1 矢量基DIT-FFT161

6.2 矢量基DIF-FFT164

6.3 小结168

第7章 非均匀离散傅里叶变换169

7.1 简介169

7.2 一维非均匀离散傅里叶变换（NDFT）169

7.2.1 均匀采样序列的离散傅里叶变换169

7.2.2 非均匀离散傅里叶变换的定义171

7.2.3 NDFT的性质173

7.2.4 NDFT-2示例175

7.3 NDFT的快速算法180

7.3.1 前向NDFT180

7.3.2 NDFT的逆变换（INDFT）184

7.4 二维NDFT188

7.4.1 二维采样结构188

7.4.2 二维非均匀矩形采样的例子191

7.5 使用NDFT设计滤波器192

7.5.1 低通滤波器的设计192

7.5.2 非均匀低通滤波器的例子198

7.6 小结201

7.7 习题201

第8章 应用203

8.1 频域下采样203

8.1.1 频域上采样（零插入）206

8.2 分形图像压缩207

8.3 纯相位相关211

8.4 利用DFT/FFT实现图像的旋转和平移213

8.5 帧内错误隐藏216

8.6 表面纹理分析216

8.7 基于FFT的听觉模型216

8.8 图像水印218

8.9 音频水印219

8.9.1 使用知觉掩蔽的音频水印220

8.10 正交频分复用（OFDM）221

8.10.1 使用IFFT/FFT表示OFDM信号222

8.11 OFDM的FFT处理器223

8.12 基于DF DFT的信道估计方法224

8.12.1 基于DF DFT的信道估计方法225

8.13 共轭梯度快速傅里叶变换（CG-FFT）226

8.14 改进型离散余弦变换（MDCT）226

8.15 奇叠加TDAC235

8.16 感知变换音频编码器237

8.17 OCF编码器238

8.18 NMR评估系统239

8.19 移动接收音频编码器240

8.20 高质量音乐信号的自适应功率谱感知熵编码（ASPEC）241

8.21 残差激励线性预测（RELP）声码器242

8.22 同态声码器243

8.23 掩蔽模式通用子带集成编码与复用（MUSICAM）243

8.24 AC-2音频编码器245

8.25 利用IFFT实现IMDCT/IMDST246

8.26 利用IFFT实现MDCT/MDST249

8.27 自相关函数和功率谱密度250

8.27.1 滤波白噪声251

8.28 三维人脸识别252

8.29 二维多采样率处理254

8.29.1 上采样与内插254

8.29.2 下采样和抽取257

8.30 快速均匀离散曲波（curvelet）变换（FUDCuT）261

8.30.1 Radon变换262

8.30.2 脊波（ridgelet）变换262

8.30.3 曲波（curvelet）变换263

8.31 习题271

8.32 课程实践274

8.32.1 方向带通滤波器275

附录277

附录A 各种离散变换的性能对比277

A.1 变换编码增益277

A.2 变换域中的方差分布278

A.3 规范化的MSE279

A.4 码率与失真（率失真）279

A.5 剩余相关280

A.6 标量维纳滤波281

A.7 几何区域采样（GZS）282

A.8 最大方差区域采样（MVZS）282

附录B 图像质量的谱距离评价法283

B.1 课程实践285

附录C 整数离散余弦变换（Int DCT）288

C.1 提升结构的整数DCT288

C.1.1 利用沃尔什-哈达玛变换分解DCT289

C.1.2 整数DCT的实现292

C.2 利用二元对称性原理实现整数DCT293

C.2.1 产生8点整数DCT293

C.2.2 视频编码标准中的整数DCT294

C.2.3 8点整数DCT性能298

C.3 习题300

C.4 课程实践301

附录D DCT和DST302

D.1 DCT和DST的核302

D.2 酉DCT和DST的推导304

D.3 用DCT和DST代替FFT的循环卷积311

D.4 DCT的循环移位特性312

D.5 习题313

D.6 课程实践313

附录E 克罗内克乘积与可分离性314

E.1 克罗内克乘积314

E.2 广义克罗内克乘积315

E.3 可分离变换315

附录F 数学关系317

F.1 习题318

附录G MATLAB基础319

G.1 MATLAB相关网站列表325

G.1.1 MATLAB教程325

G.1.2 MATLAB命令和函数325

G.1.3 MATLAB概要和教程325

G.1.4 MATLAB初级读本325

G.1.5 MATLAB常见问题解答（FAQ）325

G.2 MATLAB相关参考文献326

附录H MATLAB程序示例328

H.1 15点的WFTA的MATLAB程序代码328

H.2 纯相位相关的MATLAB程序代码330

参考文献332