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第1篇 复变函数论3

第1章 复数与复变函数3

1.1复数的概念及其表示方法3

1.1.1复数的概念3

1.1.2复数的几何表示3

1.2复数的基本代数运算6

1.2.1复数的四则运算6

1.2.2复数的乘幂与方根7

1.3复变函数9

1.3.1区域的相关概念9

1.3.2复变函数的概念10

1.3.3复变函数的几何意义11

1.4复变函数的极限与连续性11

1.4.1复变函数的极限11

1.4.2复变函数的连续性12

习题113

第2章 解析函数15

2.1复变函数的导数15

2.1.1导数的概念15

2.1.2求导法则16

2.1.3微分的概念16

2.1.4可导与连续的关系17

2.1.5可导的必要条件：柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件17

2.1.6可导的充要条件19

2.2解析函数的概念及充要条件20

2.2.1解析函数的概念20

2.2.2解析函数的运算法则21

2.2.3函数在区域内解析的充要条件与判别方法21

2.2.4解析函数与调和函数的关系21

2.2.5解析函数的构建22

2.3初等解析函数24

2.3.1单值函数25

2.3.2多值函数26

2.4解析函数的应用——平面场的复势27

2.4.1用复变函数刻画平面向量场27

2.4.2平面静电场28

2.4.3平面稳定温度场30

习题231

第3章 复变函数的积分33

3.1复变函数积分的概念与基本性质33

3.1.1复变函数积分的概念33

3.1.2复积分的存在条件与计算33

3.1.3复积分的性质34

3.2柯西定理36

3.2.1单通区域柯西定理36

3.2.2不定积分38

3.2.3复通区域柯西定理38

3.3柯西积分公式与高阶导数公式40

3.3.1柯西积分公式40

3.3.2高阶导数公式41

3.3.3柯西积分公式的几个推论42

习题342

第4章 解析函数的幂级数展开44

4.1复数项级数与复变函数项级数44

4.1.1复数项级数44

4.1.2复变函数项级数46

4.2幂级数47

4.2.1幂级数的概念47

4.2.2收敛圆与收敛半径48

4.2.3幂级数的性质50

4.3解析函数的泰勒级数展开50

4.3.1泰勒展开定理50

4.3.2泰勒展开方法52

4.4解析函数的洛朗级数展开55

4.4.1双边幂级数55

4.4.2洛朗展开定理56

4.4.3洛朗展开方法58

4.5孤立奇点的分类与判别60

4.5.1孤立奇点60

4.5.2孤立奇点的分类60

4.5.3极点与零点的关系62

4.6解析函数在无穷远点的性态63

4.7解析延拓65

4.7.1解析延拓的概念65

4.7.2唯一性定理65

4.7.3解析延拓的方法66

习题466

第5章 留数理论及其应用68

5.1留数及留数定理68

5.1.1留数的概念68

5.1.2留数定理69

5.1.3留数的计算69

5.2应用留数定理计算实定积分71

5.2.1形如？2π0（cosx，sinx）dx的积分72

5.2.2形如？∞-∞f（x）dx的积分72

5.2.3形如，？∞0f（x）cosmxdx，？∞0g（x）sinmxdx（m＞0）的积分74

5.2.4实轴上有奇点的情形75

5.3留数在力学上的应用举例77

5.3.1电场内总电荷与功的计算77

5.3.2机翼剖面的夏甫莱金升力公式78

习题578

第6章 共形映射80

6.1共形映射的概念80

6.1.1导数的几何意义80

6.1.2共形映射的概念82

6.2分式线性映射83

6.2.1分式线性映射的概念83

6.2.2分式线性映射的分解83

6.2.3分式线性映射的性质85

6.3唯一决定分式线性映射的条件87

6.4几个初等函数所构成的映射91

6.4.1幂函数w=zn（n≥2为自然数）91

6.4.2指数函数w=ez92

6.5关于共形映射的几个一般性定理93

6.6共形映射的应用94

6.6.1热传导问题94

6.6.2电位分布问题95

习题695

第2篇 积分变换99

第7章 傅里叶变换99

7.1傅里叶级数99

7.1.1周期函数的傅里叶展开99

7.1.2奇函数与偶函数的傅里叶展开100

7.1.3定义在有限区间上的函数的傅里叶展开101

7.1.4复数形式的傅里叶级数101

7.2傅里叶变换的定义及性质102

7.2.1非周期函数的傅里叶展开问题102

7.2.2傅里叶积分定理102

7.2.3傅里叶变换的概念103

7.2.4傅里叶变换的基本性质104

7.3 δ函数 广义傅里叶变换108

7.3.1 δ函数的定义108

7.3.2 δ函数的导数110

7.3.3 δ函数的性质110

7.3.4广义傅里叶变换112

7.4傅里叶变换在频谱分析中的应用113

7.4.1周期函数的频谱113

7.4.2非周期函数的频谱115

7.5小波变换介绍116

习题7118

第8章 拉普拉斯变换120

8.1拉普拉斯变换的概念120

8.1.1拉普拉斯变换的引入120

8.1.2拉普拉斯变换的概念121

8.1.3一些常用函数的拉普拉斯变换122

8.1.4拉普拉斯变换存在定理123

8.2拉普拉斯变换的性质123

8.3拉普拉斯变换的反演128

8.3.1部分分式反演法128

8.3.2查表法128

8.3.3卷积定理法129

8.3.4利用留数计算反演积分法129

8.4拉普拉斯变换的应用130

8.4.1利用拉普拉斯变换求解线性微分（积分）方程的步骤130

8.4.2拉普拉斯变换应用举例131

8.5 z变换134

8.5.1 z变换与拉普拉斯变换的关系134

8.5.2 z变换的定义135

8.5.3 z变换存在定理135

8.5.4 z变换的性质135

8.5.5 z变换的应用136

习题8137

第3篇 特殊函数与数学物理方程141

第9章 勒让德函数141

9.1二阶线性齐次常微分方程的级数解141

9.1.1二阶线性齐次常微分方程的常点与奇点141

9.1.2方程常点邻域内的级数解定理142

9.1.3方程正则奇点邻域内的级数解定理142

9.2勒让德多项式的定义143

9.2.1勒让德方程的本征值问题143

9.2.2勒让德多项式的级数表示145

9.2.3勒让德多项式的微分与积分表示147

9.3勒让德多项式的性质148

9.3.1勒让德多项式的母函数148

9.3.2勒让德多项式的递推公式150

9.3.3勒让德多项式的正交归一性151

9.3.4广义傅里叶级数153

9.4连带勒让德函数154

9.4.1连带勒让德函数的定义154

9.4.2连带勒让德函数的微分表达式155

9.4.3连带勒让德函数的母函数155

9.4.4连带勒让德函数的递推公式156

9.4.5连带勒让德函数的正交归一性156

9.4.6连带勒让德函数的广义傅里叶级数展开157

习题9157

第10章 贝塞尔函数159

10.1贝塞尔函数的定义159

10.1.1贝塞尔方程的级数解159

10.1.2三类贝塞尔函数160

10.2贝塞尔函数的性质163

10.2.1贝塞尔函数的图形与特殊值163

10.2.2贝塞尔函数的递推公式164

10.2.3贝塞尔函数的母函数165

10.2.4贝塞尔方程的本征值问题166

10.2.5贝塞尔函数的正交归一性166

10.2.6广义傅里叶级数168

10.3虚宗量贝塞尔函数168

10.3.1虚宗量贝塞尔方程168

10.3.2虚宗量贝塞尔函数的表达式168

10.3.3虚宗量贝塞尔函数的性质170

10.4球贝塞尔函数170

10.4.1球贝塞尔方程170

10.4.2球贝塞尔函数的表达式170

10.4.3球贝塞尔函数的性质171

习题10171

第11章 数学物理定解问题173

11.1数学物理方程的导出174

11.1.1波动方程174

11.1.2热传导方程178

11.1.3稳定场方程180

11.2定解条件与定解问题181

11.2.1初始条件181

11.2.2边界条件182

11.2.3定解问题及其适定性185

11.3数学物理方程的分类186

11.3.1二阶线性偏微分方程186

11.3.2含两个自变量方程的分类186

11.3.3含两个自变量方程的化简186

11.3.4线性偏微分方程的叠加原理188

习题11189

第12章 行波法与积分变换法190

12.1一维波动方程的达朗贝尔解190

12.1.1达朗贝尔（D’Alembert）公式190

12.1.2解的物理意义191

12.1.3定解问题的整体性192

12.2傅里叶变换法求解定解问题193

12.3拉普拉斯变换法求解定解问题196

习题12198

第13章 分离变量法200

13.1齐次泛定方程的分离变量200

13.1.1一维波动方程的分离变量200

13.1.2一维热传导方程的分离变量206

13.1.3二维矩形区域内拉普拉斯方程的分离变量208

13.1.4二维圆形区域内拉普拉斯方程的分离变量212

13.2非齐次泛定方程的分离变量215

13.2.1本征函数展开法216

13.2.2冲量定理法218

13.2.3特解法224

13.3非齐次边界条件下的分离变量227

13.4斯图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）本征值问题228

13.4.1斯图姆刘维尔型方程229

13.4.2斯图姆-刘维尔本征值问题的一般提法230

13.4.3斯图姆-刘维尔本征值问题的一般性质230

习题13231

第14章 正交曲面坐标系中的分离变量法234

14.1拉普拉斯算符在球坐标系和柱坐标系中的表达式234

14.1.1球坐标系中拉普拉斯算符的表达式234

14.1.2柱坐标系中拉普拉斯算符的表达式235

14.2球坐标系中的分离变量235

14.2.1拉普拉斯方程的分离变量235

14.2.2波动方程与热传导方程的分离变量240

14.2.3亥姆霍兹方程的分离变量241

14.3柱坐标系中的分离变量243

14.3.1拉普拉斯方程的分离变量243

14.3.2亥姆霍兹方程的分离变量245

习题14248

第15章 格林函数法249

15.1泊松方程的格林函数法249

15.1.1第一边值问题（狄利克雷问题）250

15.1.2第二边值问题251

15.1.3第三边值问题251

15.2用镜像法和冲量定理法求格林函数252

15.2.1用镜像法求格林函数252

15.2.2用冲量定理法求格林函数255

15.3格林函数的一般求法257

习题15259

第16章 其他方法介绍260

16.1保角变换法260

16.1.1保角变换及其性质260

16.1.2几种常用的保角变换261

16.2变分法265

16.2.1变分法的概念266

16.2.2变分问题与微分方程的求解266

习题16268

附录271

附录A勒让德方程的级数解（9.2.7）和（9.2.8）在x=±1发散271

附录B Γ函数（第二类欧拉积分）273

附录C诺伊曼函数279

附录D傅里叶变换函数表282

附录E拉普拉斯变换函数表283

附录F z变换函数表286

附录G高斯函数和误差函数289

部分习题答案290

参考文献300