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第一章 实数集与函数1

1实数1

一、实数及其性质1

二、绝对值与不等式3

2数集·确界原理4

一、区间与邻域4

二、有界集·确界原理5

3函数概念8

一、函数的定义9

二、函数的表示法9

三、函数的四则运算10

四、复合函数11

五、反函数11

六、初等函数13

4具有某些特性的函数14

一、有界函数15

二、单调函数16

三、奇函数和偶函数17

四、周期函数17

第二章 数列极限21

1数列极限概念21

2收敛数列的性质26

3数列极限存在的条件32

第三章 函数极限41

1函数极限概念41

一、x趋于∞时函数的极限41

二、x趋于x0时函数的极限42

2函数极限的性质46

3函数极限存在的条件50

4两个重要的极限53

一、证明lim x→0 sin x/x=153

二、证明lim x→0 （1+1/x）x=e54

5无穷小量与无穷大量56

一、无穷小量56

二、无穷小量阶的比较57

三、无穷大量59

四、曲线的渐近线61

第四章 函数的连续性65

1连续性概念65

一、函数在一点的连续性65

二、间断点及其分类66

三、区间上的连续函数68

2连续函数的性质69

一、连续函数的局部性质69

二、闭区间上连续函数的基本性质71

三、反函数的连续性73

四、一致连续性74

3初等函数的连续性78

一、指数函数的连续性78

二、初等函数的连续性80

第五章 导数和微分83

1导数的概念83

一、导数的定义83

二、导函数85

三、导数的几何意义87

2求导法则90

一、导数的四则运算90

二、反函数的导数92

三、复合函数的导数93

四、基本求导法则与公式95

3参变量函数的导数97

4高阶导数100

5微分104

一、微分的概念104

二、微分的运算法则106

三、高阶微分106

四、微分在近似计算中的应用107

第六章 微分中值定理及其应用111

1拉格朗日定理和函数的单调性111

一、罗尔定理与拉格朗日定理111

二、单调函数114

2柯西中值定理和不定式极限117

一、柯西中值定理117

二、不定式极限118

3泰勒公式125

一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式125

二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式128

三、在近似计算上的应用130

4函数的极值与最大（小）值132

一、极值判别132

二、最大值与最小值134

5函数的凸性与拐点137

6函数图像的讨论143

7方程的近似解145

第七章 实数的完备性150

1关于实数集完备性的基本定理150

一、区间套定理150

二、聚点定理与有限覆盖定理151

三、实数完备性基本定理之间的等价性154

2上极限和下极限156

第八章 不定积分161

1不定积分概念与基本积分公式161

一、原函数与不定积分161

二、基本积分表163

2换元积分法与分部积分法166

一、换元积分法166

二、分部积分法171

3有理函数和可化为有理函数的不定积分175

一、有理函数的不定积分175

二、三角函数有理式的不定积分179

三、某些无理根式的不定积分180

第九章 定积分186

1定积分概念186

一、问题提出186

二、定积分的定义187

2牛顿—莱布尼茨公式190

3可积条件192

一、可积的必要条件193

二、可积的充要条件193

三、可积函数类194

4定积分的性质198

一、定积分的基本性质198

二、积分中值定理202

5微积分学基本定理·定积分计算（续）205

一、变限积分与原函数的存在性205

二、换元积分法与分部积分法209

三、泰勒公式的积分型余项212

6可积性理论补叙215

一、上和与下和的性质215

二、可积的充要条件217

第十章 定积分的应用222

1平面图形的面积222

2由平行截面面积求体积225

3平面曲线的弧长与曲率229

一、平面曲线的弧长229

二、曲率233

4旋转曲面的面积236

一、微元法236

二、旋转曲面的面积237

5定积分在物理中的某些应用239

一、液体静压力239

二、引力240

三、功与平均功率241

6定积分的近似计算243

一、梯形法243

二、抛物线法244

第十一章 反常积分247

1反常积分概念247

一、问题提出247

二、两类反常积分的定义248

2无穷积分的性质与敛散判别252

一、无穷积分的性质252

二、非负函数无穷积分的敛散判别法253

三、一般无穷积分的敛散判别法255

3瑕积分的性质与敛散判别258

附录Ⅰ 实数理论263

一、建立实数的原则263

二、分析264

三、分划全体所成的有序集266

四、R中的加法267

五、R中的乘法268

六、R作为Q的扩充270

七、实数的无限小数表示271

八、无限小数四则运算的定义272

附录Ⅱ 积分表275

一、含有xn的形式275

二、含有a+bx的形式275

三、含有a2±x2，a＞0的形式276

四、含有a+bx+cx2，b2≠4ac的形式276

五、含有？a+bx的形式276

六、含有？x2±a2，a＞0的形式277

七、含有？a2-x2，a＞0的形式277

八、含有sin x或cos x的形式278

九、含有tan x，cot x，sec x，csc x的形式279

十、含有反三角函数的形式279

十一、含有ex的形式280

十二、含有ln x的形式280

部分习题答案与提示282

索引303

微积分学简史308