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第三篇 多元函数微积分3

第七章 多元函数微分学3

1 多元函数的极限与连续3

Rn中的点集3

多元函数5

多元函数的极限7

多元函数的连续性10

有界闭区域上连续函数的性质12

Rn→Rm的映射（向量值函数）12

习题14

2 全微分与偏导数15

全微分16

偏导数16

偏导数与全微分的计算19

空间曲面的切平面（1）22

高阶偏导数23

可微映射26

空间曲线的切线（1）28

习题29

3 链式求导法则31

多元函数求导的链式法则31

全微分的形式不变性37

复合映射的导数37

坐标变换下的微分表达式39

习题41

4 隐函数微分法及其应用44

一元函数的隐函数存在定理44

多元函数的隐函数存在定理46

多元函数组的隐函数存在定理47

空间曲面的切平面（2）51

空间曲线的切线（2）54

习题57

5 方向导数、梯度59

方向导数59

数量场的梯度62

等值面的法向量64

势量场65

习题66

6 Taylor公式67

二元函数的Taylor公式67

n元函数的Taylor公式71

习题72

7 极值72

多元函数的无条件极值72

函数的最值78

最小二乘法80

矛盾方程组的最小二乘解82

条件极值85

习题89

8 空间曲线和曲面的几何特征91

一元向量值函数的导数91

空间曲线的弧长92

空间曲线的曲率和挠率94

曲面的第一基本形式98

曲面的第二基本形式100

曲面的法曲率、平均曲率和Gauss曲率103

习题106

第八章 多元函数积分学107

1 重积分的概念及其性质107

重积分概念的背景107

重积分的概念109

重积分的性质110

习题111

2 二重积分的计算112

直角坐标系下二重积分的计算112

二重积分的变量代换法116

极坐标系下二重积分的计算119

习题121

3 三重积分的计算及应用123

直角坐标系下三重积分的计算123

三重积分的变量代换126

柱坐标变换和球坐标变换127

重积分的应用：质心与转动惯量129

重积分的应用：引力131

习题133

4 反常重积分134

无界区域上的反常重积分135

无界函数的反常重积分139

习题141

5 两类曲线积分142

第一类曲线积分的概念及性质142

第一类曲线积分的计算143

第二类曲线积分的概念及性质146

第二类曲线积分的计算148

两类曲线积分的关系150

习题150

6 第一类曲面积分152

曲面的面积152

第一类曲面积分的概念155

第一类曲面积分的计算155

习题158

7 第二类曲面积分159

曲面的侧与有向曲面159

第二类曲面积分的概念及性质161

第二类曲面积分的计算163

习题168

8 Green公式和Stokes公式169

Green公式169

Stokes公式174

习题179

9 旋度和无旋场180

环量和旋度180

无旋场、保守场和势量场183

原函数187

习题190

10 Gauss公式和散度190

流场的流出量190

Gauss公式193

散度196

Hamilton算符和Laplace算符199

习题202

第九章 级数204

1 数项级数204

级数的概念204

级数的基本性质207

级数的Cauchy收敛准则209

正项级数的比较判别法210

正项级数的Cauchy判别法与d'Alembert判别法214

正项级数的积分判别法216

任意项级数218

更序级数221

级数的乘法222

习题224

2 幂级数227

函数项级数227

幂级数228

幂级数的收敛半径229

幂级数的性质232

幂级数性质的证明236

函数的Taylor级数239

初等函数的Taylor展开241

习题249

3 Fourier级数251

周期为2π的函数的Fourier展开251

正弦级数和余弦级数254

任意周期的函数的Fourier展开256

Fourier级数的收敛性257

最佳平方逼近261

习题263

4 Fourier变换初步265

Fourier变换和Fourier逆变换265

Fourier变换的性质268

习题272

第四篇 常微分方程276

第十章 常微分方程276

1 常微分方程的概念276

习题279

2 一阶常微分方程279

变量可分离方程280

齐次方程283

全微分方程286

线性微分方程289

Bernoulli方程292

数学建模294

一阶微分方程的数值解法300

习题302

3 二阶线性微分方程305

二阶线性微分方程305

线性微分方程的解的结构306

二阶常系数齐次线性微分方程310

二阶常系数非齐次线性微分方程313

用常数变易法解二阶非齐次线性微分方程319

Euler方程321

习题324

4 可降阶的高阶微分方程326

方程形式为F（x,y（n））=0327

方程形式为F（x,y（k），y（k+1），…，y（n））=0329

方程形式为F（y,y′，y″，…，y（n））=0333

习题336

5 微分方程的幂级数解法337

习题342

6 一阶线性微分方程组343

解的存在与唯一性343

一阶线性微分方程组的解的结构345

常系数一阶线性微分方程组的一些解法349

习题357

第五篇 概率论与数理统计360

第十一章 概率论360

1 概率360

随机事件360

事件之间的关系与运算362

概率的概念363

古典概率364

几何概率366

概率的公理化定义与概率的性质367

习题372

2 条件概率与事件的独立性374

条件概率374

全概率公式和Bayes公式376

事件的独立性379

Bernoulli概型382

习题383

3 一维随机变量385

随机变量的概念385

离散型随机变量387

连续型随机变量392

习题401

4 二维随机变量404

二维随机变量404

二维离散型随机变量405

二维连续型随机变量407

随机变量的相互独立性411

随机变量函数的分布413

习题419

5 随机变量的数字特征423

数学期望423

随机变量的函数的数学期望426

方差和标准差428

几种常见分布的数学期望和方差430

协方差与相关系数434

分位数与中位数440

习题441

6 大数定律和中心极限定理444

ЧебЫШёв不等式445

大数定律446

中心极限定理449

习题453

第十二章 数理统计455

1 样本与抽样分布455

总体与样本455

直方图457

统计量459

三个重要分布461

抽样分布465

习题468

2 参数估计469

点估计469

矩估计法470

最大似然估计法472

估计量优劣的评判标准475

区间估计479

习题486

3 假设检验489

假设检验的基本概念489

单个正态总体均值与方差的假设检验490

两个正态总体的均值差与方差比的假设检验494

总体分布的假设检验497

习题501

4 一元线性回归分析504

一元线性回归分析的数学模型504

回归函数的确定506

估计量的分布508

回归系数的区间估计510

线性假设的显著性检验510

预测和控制513

习题516

附表1 Poisson分布表518

附表2 标准正态分布数值表521

附表3 x2分布的上侧分位数表523

附表4 t分布的上侧分位数表525

附表5 F分布的上侧分位数表526

部分习题答案与提示533