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第一篇 高等数学3

第一章 函数 极限 连续3

考点与要求3

1 函 数3

内容精讲3

一、定义3

二、重要性质、定理、公式5

例题分析6

一、求分段函数的复合函数6

二、由函数的奇偶性与周期性构造函数7

三、求反函数的表达式8

四、关于函数有界（无界）的讨论9

2 极 限10

内容精讲10

一、定义10

二、重要性质、定理、公式11

三、计算极限的一些有关方法12

例题分析14

一、求函数的极限14

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限19

三、含有｜x｜，e1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限22

四、无穷小的比较23

五、数列的极限24

六、极限运算定理的正确运用28

3 函数的连续与间断30

内容精讲30

一、定义30

二、重要性质、定理、公式31

例题分析32

一、讨论函数的连续与间断32

二、在连续条件下求参数33

三、连续函数的零点问题34

第二章 一元函数微分学35

考点与要求35

1 导数与微分，导数的计算35

内容精讲35

一、定义35

二、重要性质、定理、公式36

例题分析39

一、按定义求一点处的导数39

二、已知f（x）在某点x＝x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x＝x0处的导数41

三、绝对值函数的导数45

四、由极限式表示的函数的可导性46

五、导数与微分、增量的关系47

六、求导数的计算题47

2 导数的应用49

内容精讲49

一、定义49

二、重要性质、定理、公式与方法50

例题分析52

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论52

二、渐近线56

三、曲率与曲率圆57

四、最大值、最小值问题58

3 中值定理、不等式与零点问题59

内容精讲59

一、重要定理60

二、重要方法61

例题分析62

一、不等式的证明62

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题67

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点69

四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点70

五、“双中值”问题71

六、零点的个数问题72

七、证明存在某ξ满足某不等式73

八、利用中值定理求极限、f′（x）与f（x）的极限关系74

第三章 一元函数积分学76

考点与要求76

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论76

内容精讲76

一、定义76

二、重要性质、定理、公式77

例题分析78

一、分段函数的不定积分与定积分78

二、定积分与原函数的存在性80

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分81

2 不定积分与定积分的计算84

内容精讲84

一、基本积分公式84

二、基本积分方法85

例题分析87

一、简单有理分式的积分87

二、三角函数的有理分式的积分88

三、简单无理式的积分88

四、两种不同类型的函数相乘的积分90

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分91

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分92

七、含参变量带绝对值号的定积分94

八、积分计算杂例95

3 反常积分及其计算98

内容精讲98

一、定义98

二、重要性质、定理、公式99

例题分析100

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性100

二、关于奇、偶函数的反常积分102

4 定积分的应用103

内容精讲103

一、基本方法103

二、重要几何公式与物理应用104

例题分析105

一、几何应用105

二、物理应用108

5 定积分的证明题112

内容精讲112

例题分析112

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等112

二、由积分定义的函数求极限114

三、积分不等式的证明115

四、零点问题121

第四章 多元函数微积分学124

考点与要求124

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分124

内容精讲124

一、多元函数124

二、二元函数的极限与连续124

三、二元函数的偏导数与全微分125

例题分析127

一、讨论二重极限127

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性129

三、讨论二元函数的可微性130

2 多元函数的微分法134

内容精讲134

一、复合函数的偏导数与全微分134

二、隐函数的偏导数与全微分136

例题分析136

一、求复合函数的偏导数与全微分136

二、求隐函数的偏导数与全微分144

3 极值与最值148

内容精讲148

一、无条件极值148

二、条件极值149

例题分析149

一、无条件极值问题149

二、条件极值（最值）问题152

三、多元函数的最大（小）值问题153

4 二重积分157

内容精讲157

一、二重积分的定义及几何意义157

二、二重积分的性质157

三、二重积分的计算157

例题分析160

一、计算二重积分160

二、累次积分交换积分次序及计算169

三、与二重积分有关的综合题172

四、与二重积分有关的积分不等式问题174

第五章 常微分方程177

考点与要求177

1 常微分方程177

内容精讲177

一、微分方程的基本概念177

二、常见的几类一阶方程及解法177

三、可降阶的高阶微分方程178

四、高阶线性方程178

例题分析180

一、微分方程求解180

二、微分方程的综合题186

三、微分方程的应用188

第二篇 线性代数193

第一章 行列式193

考点与要求193

内容精讲193

例题分析196

一、数字型行列式的计算196

二、抽象型行列式的计算203

三、行列式｜A｜是否为零的判定205

四、关于代数余子式求和206

第二章 矩 阵208

考点与要求208

内容精讲208

1 矩阵的概念及运算208

一、矩阵的概念208

二、矩阵的运算209

三、矩阵的运算规则209

四、特殊矩阵210

2 可逆矩阵211

一、可逆矩阵的概念211

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件211

三、逆矩阵的运算性质211

四、求逆矩阵的方法211

3 初等变换、初等矩阵212

一、定义212

二、初等矩阵与初等变换的性质212

4 矩阵的秩213

一、矩阵秩的概念213

二、矩阵秩的公式213

5 分块矩阵214

一、分块矩阵的概念214

二、分块矩阵的运算214

例题分析215

一、矩阵的概念及运算215

二、特殊方阵的幂218

三、伴随矩阵的相关问题221

四、可逆矩阵的相关问题223

五、初等变换、初等矩阵226

六、矩阵秩的计算228

第三章 向 量232

考点与要求232

内容精讲232

1 n维向量的概念与运算232

2 线性表出、线性相关232

3 极大线性无关组、秩234

4 Schmidt正交化、正交矩阵234

例题分析235

一、线性相关的判别235

二、向量的线性表示236

三、线性相关与线性无关的证明238

四、秩与极大线性无关组241

五、正交化、正交矩阵243

第四章 线性方程组245

考点与要求245

内容精讲245

1 克拉默法则245

2 齐次线性方程组245

3 非齐次线性方程组247

例题分析248

一、线性方程组的基本概念题248

二、线性方程组的求解252

三、基础解系257

四、AX＝0的系数行向量和解向量的关系，由AX＝0的基础解系反求A259

五、线性方程组系数列向量与解向量的关系260

六、两个方程组的公共解262

七、同解方程组263

八、线性方程组的有关杂题265

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵268

考点与要求268

内容精讲268

1 特征值、特征向量268

一、定义268

二、特征值的性质268

三、求特征值、特征向量的方法268

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化269

一、定义269

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件269

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件270

3 实对称矩阵的相似对角化270

一、定义270

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化270

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤270

例题分析271

一、特征值，特征向量的求法271

二、两个矩阵有相同的特征值的证明275

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法276

四、矩阵是否相似于对角阵277

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数279

六、由特征值、特征向量反求A280

七、矩阵相似及相似标准形281

八、相似对角阵的应用286

第六章 二次型290

考点与要求290

内容精讲290

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵290

一、二次型概念290

二、二次型的矩阵表示290

2 化二次型为标准形、规范形合同二次型291

一、定义291

3 正定二次型、正定矩阵292

一、定义292

例题分析293

一、二次型的矩阵表示293

二、化二次型为标准形、规范形294

三、合同矩阵、合同二次型300

四、正定性的判别303

五、正定二次型的证明307

六、综合题308