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华罗庚与“高等数学引论”1

序言1

第一章 线性方程组与行列式（复习提纲）1

§1.线性方程组1

§2.消去法2

§3.消去法的几何解释4

§4.消去法的力学解释5

§5.经济平衡6

§6.线性回归分析6

§7.行列式9

§8.Vandermonde行列式11

§9.对称函数16

§10.对称函数的基本定理20

§11.两个代数方程有无公根21

§12.代数曲线的交点23

§13.行列式的幂级数24

§14.Wronski行列式的幂级数展开27

第二章 矩阵的相抵性30

§1.符号30

§2.秩32

§3.初等运算34

§4.相抵37

§5.n维向量空间38

§6.向量空间的变换39

§7.长度、角度、面积与体积41

§8.函数行列式（Jacobian）42

§9.隐函数定理43

§10.复变函数的Jacobian45

§11.函数相关47

§12.代数处理52

§13.Wronskian55

第三章 方阵的函数、序列及级数57

§1.方阵的相似性57

§2.方阵的幂60

§3.方阵乘幂的极限61

§4.幂级数63

§5.幂级数举例64

§6.迭代法65

§7.关于指数函数67

§8.单变量方阵的微分运算68

§9.①Jordan标准形的幂级数70

*§10.数的方阵幂71

*11.特殊X的eX72

*§12.eX与X的对应关系74

第四章 常系数差分方程与常微分方程76

§1.差分方程76

§2.常系数线性差分方程—母函数法79

§3.第二法—降阶法81

§4.第三法—Laplace变换法82

§5.第四法—矩阵法82

§6.常系数线性微分方程83

§7.有重量质点绕地球运动84

§8.振动86

§9.矩阵的绝对值89

§10.线性微分方程的唯一存在性问题90

§11.第积积分94

§12.解的满秩性96

§13.非齐次方程97

§14.微扰理论99

§15.函数方程100

§16.解微分方程?＝AX ＋ X B102

第五章 解的渐近性质104

§1.常系数差分方程104

§2.广相似性107

§3.常数系数线性常微分方程组108

§4.Lyapunov法介绍110

§5.稳定性114

§6.Lyapunov变换116

§7.周期性系数的微分方程组117

§8.Lyapunov等价119

§9.逼近于常系数的差分方程与微分方程120

第六章 二次型121

§1.凑方121

§2.大块凑方法125

§3.仿射几何二次曲面的仿射分类126

§4.射影几何131

§5.二次曲面的射影分类133

§6.正定型134

§7.用凑方法求最小值136

§8. Hessian138

§9.常系数二级偏微分方程分类138

§10.Hermite型140

§11.Hermite型的实形式142

第七章 正交群与二次型对144

§1.正交群144

§2.正定二次型的平方根作为距离函数148

§3.空间的度量149

§4.Gram-Schmidt法151

§5.正投影153

§6.酉空间156

§7.函数内积空间导引158

§8.特征值161

§9.积分方程的特征根164

§10.对称方阵的正交分类165

§11.二次曲面的欧几里得分类167

§12.方阵对168

§13.反称方阵的正交分类171

§14.辛群与辛分类172

§15.各式分类173

§16.分子振动174

第八章 体积177

§1.m维流形的体积元素177

§2.Dirichlet积分181

§3.正态分布积分184

§4.正态Parent分布185

§5.矩阵变换的行列式188

§6.酉群上的积分元素190

§7.酉群上的积分元素（续）193

§8.实正交方阵的体积元素195

§9.实正交群的总体积196

第九章 非负方阵199

§1.非负方阵的相似性199

§2.标准形200

§3.基本定理的证明201

§4.基本定理的另一形式204

§5.标准形方阵的四则运算205

§6.方阵大小206

§7.强不可拆方阵210

§8.Markov链211

§9.连续随机过程213

名词索引216