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预篇1

第一节 数列1

1.1 数列的极限1

1.2 数列极限的性质2

1.3 无穷极限及有关性质5

第二节 数列的收敛准则7

2.1 数集的确界8

2.2 单调数列的收敛准则13

习题一13

习题二18

2.3 实数轴上的闭区间套19

2.4 一般数列的收敛准则21

习题三25

第三节 一些备查阅的极限25

3.1 几个常见的数列25

3.2 几个无穷大数列的比较26

预篇小结28

1.1 级数的收敛与发散30

第一章 数项级数30

第一节 基本概念与简单性质30

1.2 欧拉常数、ln2的级数34

1.3 收敛的一个必要条件37

习题一39

1.4 简单性质40

习题二42

第二节 正项级数的判敛法43

2.1 收敛准则43

2.2 比较判敛法44

习题三46

2.3 柯西根值判敛法47

习题四49

2.4 达朗贝尔比值判敛法50

习题五53

2.5 积分判敛法53

2.6 对达朗贝尔比值判敛法的评论58

习题六58

2.7 拉阿贝比值判敛法60

习题七64

第三节 任意项级数的判敛法64

3.1 级数的正部与负部65

3.2 绝对收敛与条件收敛66

习题八70

3.3 交错级数、莱布尼兹判敛法70

习题九73

3.4 柯西准则73

习题十75

3.5 狄利克雷判敛法75

3.6 两个三角公式78

3.7 狄利克雷判敛法的例子80

习题十一81

第四节 基本运算律对级数的适用性82

4.1 关于分配律82

4.2 关于结合律83

4.3 关于交换律的讨论84

4.4 正项级数的重排88

4.5 绝对收敛级数的重排90

4.6 关于条件收敛级数重排的说明91

习题十二91

第一章小结92

第二章 函数项级数94

第一节 收敛域94

习题一96

第二节 一致收敛97

2.1 一致收敛的概念97

2.2 收敛级数一致收敛的条件101

2.3 优级数判敛法103

习题二106

2.4 狄利克雷判敛法106

第三节 极限函数与和函数的连续性109

3.1 极限函数的连续性109

习题三109

3.2 和函数的连续性111

习题四113

第四节 积分号下取极限、逐项积分与逐项微分113

4.1 积分号下取极限113

4.2 逐项积分115

4.3 逐项微分118

习题五121

第二章小结122

第三章 幂级数124

第一节 收敛域124

1.1 收敛半径125

1.2 收敛半径的求法129

习题一132

第二节 一致收敛性及有关的性质133

2.1 一致收敛性133

2.3 逐项微分与逐项积分134

2.2 和函数的连续性134

习题二141

第三节 幂级数的乘法142

习题三146

第四节 泰勒级数146

4.1 将函数展成幂级数146

4.2 一些初等函数的泰勒级数151

习题四160

4.3 一般的泰勒级数161

习题五162

第五节 一些数值的计算162

5.1 一般原理162

5.2 π的计算163

5.3 三角函数值的计算164

5.4 对数的计算165

习题六168

第六节 解微分方程(举例)169

第三章小结176

习题七176

第四章 傅里叶级数179

第一节 傅里叶系数179

1.1 周期函数179

1.2 基本三角函数系182

1.3 傅里叶系数183

第二节 傅里叶级数的收敛性190

2.1 均方误差、贝塞耳不等式190

习题一190

2.2 分段连续与分段可微函数196

习题二202

2.3 狄利克雷积分202

2.4 收敛定理205

2.5 例题210

习题三215

2.6 傅里叶级数的一致收敛性216

习题四218

3.1 偶函数与奇函数219

第三节 只含正弦与只含余弦的级数219

3.2 只含余弦与只含正弦的傅里叶级数221

习题五223

第四节 任意区间的情形223

4.1 在区间［-l，ι］上的傅里叶级数223

4.2 一般的说明226

习题六228

第五节 弦的自由振动229

5.1 弦的自由振动问题229

5.2 用傅里叶方法求解230

习题七236

第六节 傅里叶积分与傅里叶变换简介237

6.1 傅里叶积分237

6.2 偶函数和奇函数的傅里叶积分239

6.3 傅里叶变换240

6.4 例题241

习题八243

第四章小结243