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第一章 基本概念和一阶偏微分方程1

1.1 记号和基本概念1

1.1.1 记号1

1.1.2 基本概念4

1.1.3 定解条件和定解问题6

1.1.4 偏微分方程小史7

1.1.5 本课程的打算8

1.2 一阶偏微分方程9

1.2.1 拟线性方程的Cauchy问题10

1.2.2 完全非线性方程的Cauchy问题14

1.2.3 全积分和包面22

1.3 幂级数和Cauchy-Kovalev8kaya定理29

1.3.1 实解析函数和优函数30

1.3.2 常微分方程的实解析解31

1.3.3 Cauchy-Kovalevskaya定理33

1.4 差分方程和微分方程的差分格式38

1.4.1 差分格式和导数39

1.4.2 差分法与偏微分方程数值解法42

1.4.3 差分法与数值解法小结48

1.4.4 一阶方程数值解法举例49

第二章 定解问题的导出和二阶线性偏微分方程的分类及化简51

2.1 变分问题和微分方程与变分原理和定解问题51

2.1.1 泛函和变分问题51

2.1.2 定解问题56

2.2 二阶线性偏微分方程的分类和化简58

2.2.1 二阶常系数线性偏微分方程的分类和化简58

2.2.2 二阶变系数线性偏微分方程的分类和有关的坐标变换62

2.2.3 两自变量的变系数二阶线性偏微分方程的化简66

第三章 二阶常系数线性偏微分方程的求解方法72

3.1 叠加原理和齐次化原理72

3.1.1 定解问题的分解73

3.1.2 齐次化（Duhamel）原理73

3.2 Fourier级数和分离变量法80

3.3 Fourier积分和积分变换94

3.3.1 Fourier积分定理96

3.3.2 Fourier变换及其性质98

3.3.3 Laplace变换及其性质105

第四章 波动方程112

4.1 波动方程的建立112

4.1.1 弦振动方程（一维波动方程）的建立112

4.1.2 膜振动方程（二维波动方程）的建立114

4.1.3 弹性介质中的振动方程（三维波动方程）的建立117

4.2 弦振动方程的Cauchy问题与半无界弦的初边值问题120

4.2.1 弦振动方程的Cauchy问题120

4.2.2 半无界弦的初边值问题（延拓法）124

4.3 三维和二维波动方程的Cauchy问题129

4.3.1 三维波动方程的Cauchy问题（球平均法）129

4.3.2 二维波动方程的Cauchy问题（降维法）133

4.3.3 依赖区域，决定区域和影响区域以及二维波动和三维波动的区别135

4.3.4 波动方程Cauchy问题的惟一性和稳定性，能量积分138

4.4 波动方程在有界区域上的初边值问题146

4.4.1 弦振动方程的初边值问题146

4.4.2 有界区间上弦振动方程解的物理意义152

4.4.3 多维波动方程在有界区域上的初边值问题153

4.4.4 有界区域上波动方程初边值问题的惟一性和稳定性158

4.5 波动方程数值解举例160

第五章 热传导方程164

5.1 热传导方程的建立164

5.2 有界区域上初边值问题的分离变量法166

5.3 热传导方程的Cauchy问题和半空间上的初边值问题170

5.3.1 热传导方程的Cauchy问题170

5.3.2 热传导方程在半空间上的初边值问题176

5.4 极值原理与惟一性和稳定性177

5.4.1 极值原理178

5.4.2 有界区域上初边值问题的惟一性182

5.4.3 有界区域上初边值问题的稳定性（最大模或最大值估计）183

5.4.4 Cauchy问题的惟一性和稳定性185

5.4.5 能量积分189

5.5 热传导方程数值解举例192

第六章 位势方程195

6.1 位势方程的引入，定解问题的提法和基本解195

6.2 极值原理和位势方程的惟一性和稳定性198

6.3 Green公式和调和函数的性质202

6.3.1 Green公式203

6.3.2 Green函数207

6.3.3 调和函数的性质212

6.4 Newton位势和非齐次位势方程的特解215

6.5 Perron方法219

6.6 Laplace方程数值解举例223

参考文献226