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基础篇3

第一章 微分流形3

1.1 微分流形3

1.1.1 微分流形3

1.1.2 微分流形的例子3

1.2 向量场与张量场5

1.2.1 向量丛5

1.2.2 张量场7

1.3 外形式与外微分8

1.3.1 外微分算子8

1.3.2 de Rham定理9

1.4 向量丛和联络10

1.4.1 量丛的联络10

1.4.2 联络的曲率11

习题12

第二章 芬斯勒度量14

2.1 芬斯勒度量14

2.1.1 芬斯勒度量14

2.1.2 芬斯勒度量的例子16

2.2 嘉当挠率21

2.2.1 嘉当挠率21

2.2.2 Deicke定理22

2.3 希尔伯特形式和喷射25

2.3.1 希尔伯特形式25

2.3.2 喷射27

2.4 测地线28

2.4.1 测地线28

2.4.2 测地系数29

2.4.3 测地完备性31

习题33

第三章 联络与曲率35

3.1 联络35

3.1.1 陈联络35

3.1.2 Berwald度量和Landsberg度量38

3.2 曲率39

3.2.1 陈联络的曲率形式39

3.2.2 旗曲率和Ricci曲率41

3.3 Bianchi恒等式42

3.3.1 共变微分42

3.3.2 Bianchi恒等式45

3.3.3 其他公式47

3.4 Legendre变换48

3.4.1 对偶空间的对偶模48

3.4.2 Legendre变换50

习题52

第四章 S曲率53

4.1 体积测度53

4.1.1 Busemann-Hausdorff体积元53

4.1.2 射影球丛SM诱导的体积元56

4.2 S曲率58

4.2.1 畸变58

4.2.2 S曲率和E曲率59

4.3 迷向S曲率62

4.3.1 迷向S曲率和迷向E曲率62

4.3.2 迷向S曲率的Randers度量63

4.3.3 测地流66

习题68

第五章 黎曼曲率70

5.1 弧长的第二变分70

5.1.1 第二变分70

5.1.2 曲率与拓扑初步73

5.2 数量旗曲率75

5.2.1 Schur定理76

5.2.2 常数旗曲率78

5.3 整体刚性结果81

5.3.1 特殊旗曲率条件81

5.3.2 非正旗曲率流形84

5.4 导航术86

5.4.1 导航问题86

5.4.2 Randers度量与导航术91

5.4.3 Ricci曲率和爱因斯坦度量96

习题104

研究篇107

第六章 射影变换107

6.1 射影等价107

6.1.1 射影等价107

6.1.2 射影不变量109

6.2 射影平坦度量113

6.2.1 射影平坦度量113

6.2.2 常旗曲率的射影平坦度量115

6.3 具有殆迷向S曲率的射影平坦度量125

6.3.1 具有殆迷向S曲率的Randers度量125

6.3.2 具有殆迷向S曲率的射影平坦度量129

6.4 射影等价的特殊芬斯勒度量132

6.4.1 射影等价的Randers度量132

6.4.2 （α,β）度量的射影等价135

6.4.3 二次（α,β）度量的射影等价139

习题141

第七章 比较定理143

7.1 芬斯勒流形的体积比较定理143

7.1.1 指数映射的Jacobi143

7.1.2 距离函数和比较定理148

7.1.3 体积比较定理150

7.2 Berger-Kazdan比较定理160

7.2.1 Kazdan不等式160

7.2.2 可反芬斯勒流形的刚性165

7.2.3 Berger-Kazdan比较定理170

习题174

第八章 芬斯勒流形的基本群176

8.1 芬斯勒流形的基本群176

8.1.1 基本群与覆盖空间176

8.1.2 代数模和几何模179

8.1.3 基本群的增长183

8.2 基本群的熵和有限性189

8.2.1 基本群的熵189

8.2.2 第一Betti数192

8.2.3 基本群的有限性196

8.3 Gromov预紧性定理202

8.3.1 广义度量空间202

8.3.2 δ-Gromov-Hausdorff收敛性207

8.3.3 芬斯勒流形的预紧性213

习题215

第九章 极小浸入与调和映射216

9.1 等距浸入216

9.1.1 芬斯勒子流形216

9.1.2 体积变分219

9.1.3 紧致极小子流形的不存在性223

9.2 极小子流形的刚性224

9.2.1 Minkowski空间的极小曲面224

9.2.2 （α,β）空间中的极小曲面228

9.2.3 特殊Minkowski-（α,β）空间的极小曲面231

9.3 调和映射236

9.3.1 散度公式236

9.3.2 调和映射239

9.3.3 复合映射243

9.4 调和映射的第二变分246

9.4.1 第二变分246

9.4.2 应力－能量张量249

9.5 复芬斯勒流形的调和映射251

9.5.1 复芬斯勒流形251

9.5.2 复芬斯勒流形的调和映射255

9.5.3 全纯映射261

习题263

第十章 爱因斯坦度量266

10.1 射影刚性和m次根度量266

10.1.1 爱因斯坦度量的射影刚性266

10.1.2 m次根爱因斯坦度量269

10.2 Ricci刚性和Douglas爱因斯坦度量271

10.2.1 Ricci刚性271

10.2.2 Douglas（α,β）度量272

10.3 爱因斯坦（α,β）度量276

10.3.1 多项式（α,β）度量276

10.3.2 Kropina度量278

习题287

第十一章 其他有关论题289

11.1 共形变换289

11.1.1 共形变换289

11.1.2 共形平坦度量292

11.1.3 共形平坦（α,β）度量297

11.2 共形向量场299

11.2.1 共形向量场299

11.2.2 Randers流形的共形向量场306

11.3 一类临界芬斯勒度量312

11.3.1 爱因斯坦－希尔伯特泛函312

11.3.2 某些特殊的ε临界度量316

11.4 芬斯勒Laplacian的第一特征值318

11.4.1 芬斯勒Laplacian和带权Ricci曲率318

11.4.2 Lichnerowicz-Obata型估计321

11.4.3 Li-Yau－杨－钟型估计326

11.4.4 Mckean型估计330

习题331

附录 Maple计算程序332

参考文献343

索引353