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第1篇 高等数学2

1.1函数、极限、连续2

1.1.1求几类与复合函数有关的函数表示式2

题型1.1.1.1已知f（x）和？（x），求[？（x）]或？[f（x）]2

题型1.1.1.2求分段点相同的两分段函数的复合函数3

题型1.1.1.3已知f（x），f[？（x）]，求？（x）3

题型1.1.1.4已知？（x）和f[？（x）]，求f（x）3

1.1.2函数的奇偶性3

题型1.1.2.1判别（证明）函数的奇偶性3

题型1.1.2.2奇、偶函数性质的应用5

1.1.3讨论函数的有界性和周期性5

题型1.1.3.1判定有限开区间内连续函数的有界性5

题型1.1.3.2判定无穷区间内连续函数的有界性6

题型1.1.3.3讨论函数的周期性6

1.1.4理解极限概念7

题型1.1.4.1正确理解极限定义中的“ε、N”，“ε、δ”，“ε、X”语言的含义7

题型1.1.4.2正确区别无穷大量与无界变量7

1.1.5求未定式极限8

题型1.1.5.1求0/0型或∞/∞型极限8

题型1.1.5.2求0·∞型极限11

题型1.1.5.3求∞-∞型极限11

题型1.1.5.4求幂指函数（00型，∞0型’l∞型）极限12

1.1.6求数列极限14

题型1.1.6.1求数列通项为n项和的极限14

题型1.1.6.2求由递推关系式给出的数列极限15

1.1.7求几类特殊子函数形式的函数极限17

题型1.1.7.1求须先考察左、右极限的函数极限17

题型1.1.7.2求含根式差的函数极限19

题型1.1.7.3求含或可化为含指数函数差的函数极限19

题型1.1.7.4求含lnf（x）的函数极限，其中limx→□f（x）=120

题型1.1.7.5求含有界变量因子的函数极限20

1.1.8求含参变量的函数极限lim？n→∞（n，x）20

题型1.1.8.1求lim？n→∞（n，x），其中？（n，x）为或可化为F（x）g（n）指数函数型20

题型1.1.8.2求lim？n→∞（n，x），其中？（n，x）为或可化为g（n）F（x）幂函数型21

题型1.1.8.3求lim？t→t0（t，x），其中？（t，x）可化为g（n）F（x）型或F（x）g（t）型21

题型1.1.8.4求lim？n→∞（n，x）或lim？t→t0（t，x），其中？（n，x）=F（n，x）g（x，n）或？（t，x）=F（t，x）g（t，x）22

1.1.9已知一极限求其待定常数或含未知函数的另一极限22

题型1.1.9.1由含未知函数的一（些）极限，求含该函数的另一极限22

题型1.1.9.2已知极限式的极限，求其待定常数23

1.1.10比较和确定无穷小量的阶25

题型1.1.10.1比较无穷小量的阶26

题型1.1.10.2确定无穷小量为几阶无穷小量26

1.1.11讨论函数的连续性及间断点的类型27

题型1.1.11.1判别函数的连续性27

题型1.1.11.2讨论分段函数的连续性28

题型1.1.11.3判别函数间断点的类型29

1.1.12连续函数性质的两点应用30

题型1.1.12.1证明存在ξ∈[a，b]，使含ξ的等式成立31

题型1.1.12.2证明方程实根的存在性32

习题1.132

1.2一元函数微分学35

1.2.1导数定义的三点应用35

题型1.2.1.1判断函数在某点的可导性35

题型1.2.1.2利用导数定义求某些函数的极限38

题型1.2.1.3利用导数定义讨论函数性质39

1.2.2讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性39

题型1.2.2.1讨论分段函数的可导性39

题型1.2.2.2讨论分段函数的导函数的连续性40

题型1.2.2.3讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性41

1.2.3讨论含绝对值函数的可导性41

题型1.2.3.1讨论绝对值函数|f（x）|的可导性41

题型1.2.3.2讨论函数f（x）=|？（x）|g（x）的可导性41

1.2.4求一元函数的导数和微分42

题型1.2.4.1求复合函数的导数42

题型1.2.4.2求反函数的导数43

题型1.2.4.3求隐函数的导数43

题型1.2.4.4求分段函数的一阶、二阶导数44

题型1.2.4.5求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数44

题型1.2.4.6求由参数方程所确定的函数的导数45

题型1.2.4.7求某些简单函数的高阶导数46

题型1.2.4.8求一元函数的微分48

1.2.5利用函数的连续性、可导性确定其待定常数49

题型1.2.5.1利用函数的连续性确定其待定常数49

题型1.2.5.2根据函数的可导性确定其待定常数50

1.2.6利用微分中值定理的条件及其结论解题50

1.2.7利用罗尔定理证明中值等式52

题型1.2.7.1证明中值等式f′（ξ））=0或f″（ξ）=052

题型1.2.7.2证明存在ξ∈（a，b），使cf′（ξ）=bg′（ξ），其中c，b为常数53

题型1.2.7.3证明存在ξ∈（a，b），使k（ξ）f′（ξ）+h（ξ）f（ξ）=Q（ξ）53

题型1.2.7.4证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）g′（ξ）+f′（ξ）g（ξ）=054

题型1.2.7.5证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=0（g（ξ）≠0）54

题型1.2.7.6证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）f（ξ）=055

题型1.2.7.7证明存在ξ∈（a，b），使nf（ξ）+ξf′（ξ）=0（n为正整数）55

题型1.2.7.8证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）/（ξ）=f″（ξ）/（ξ），即f（ξ）g″（ξ）-f″（ξ）g（ξ）=056

题型1.2.7.9证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）[f（ξ）-bξ]=b56

题型1.2.7.10证明与定积分有关的中值等式57

1.2.8拉格朗日中值定理的应用58

题型1.2.8.1证明与函数改变量（增量）有关的中值（不）等式59

题型1.2.8.2证明函数与其导数的关系59

题型1.2.8.3求解与函数差值有关的问题60

题型1.2.8.4证明多个中值所满足的中值等式60

题型1.2.8.5求中值的极限位置61

1.2.9利用柯西中值定理证明中值等式62

题型1.2.9.1证明两函数差值（增量）比的中值等式62

题型1.2.9.2证明两函数导数比的中值等式62

1.2.10泰勒定理的两点应用63

题型1.2.10.1证明与高阶导数有关的中值（不）等式63

题型1.2.10.2计算按常规方法不好求的未定式极限65

1.2.11利用导数证明不等式65

题型1.2.11.1证明函数不等式66

题型1.2.11.2证明数值不等式69

1.2.12讨论函数的性态70

题型1.2.12.1证明函数在区间I上是一个常数70

题型1.2.12.2证明（判别）函数的单调性70

题型1.2.12.3讨论函数是否取得极值71

题型1.2.12.4利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点72

题型1.2.12.5求曲线凹凸区间与拐点72

题型1.2.12.6求函数的单调区间、极值、最值75

题型1.2.12.7求曲线的渐近线77

1.2.13利用函数性态讨论方程的根78

题型1.2.13.1讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数78

题型1.2.13.2讨论含参数的方程实根的存在性及其个数78

1.2.14函数性态与函数图形79

题型1.2.14.1利用函数性态作函数图形79

题型1.2.14.2利用函数的图形，确定其导函数的图形81

题型1.2.14.3利用导函数的图形，确定原来函数的性态81

1.2.15一元函数微分学的应用82

题型1.2.15.1求平面曲线的切线方程和法线方程82

题型1.2.15.2求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题83

题型1.2.15.3求解与两曲线相切的有关问题84

题型1.2.15.4求解与平面曲线的曲率有关的问题84

习题1.285

1.3一元函数积分学88

1.3.1原函数与不定积分的关系88

题型1.3.1.1原函数的概念及其判定88

题型1.3.1.2求分段函数的原函数或不定积分89

题型1.3.1.3利用积分运算与微分运算的互逆关系求解与原函数有关的问题89

1.3.2各类被积函数不定积分的算法91

题型1.3.2.1求被积函数为f（x）/g（x）的不定积分，其中f（x）=g′（x）或f′（x）=1/g（x）91

题型1.3.2.2计算被积表达式中出现或可化为f（？（x））和？′（x）dx乘积的不定积分91

题型1.3.2.3计算被积函数仅为一类函数或为两类不同函数乘积的不定积分92

题型1.3.2.4计算简单无理函数的不定积分93

题型1.3.2.5求∫1/（ax+b）kf（1/（ax+b）k-1）dx，其中k≠1为正实数96

题型1.3.2.6求被积函数的分母为或可化为相差常数的两函数乘积的积分96

题型1.3.2.7求三角函数的不定积分97

题型1.3.2.8求被积函数含复合对数函数或复合反三角函数为因子函数的积分98

题型1.3.2.9有理分式函数∫P（x）Q（x）dx（其中P（x），Q（x）为多项式）的积分算法98

1.3.3利用定积分性质计算定积分100

题型1.3.3.1利用其几何意义计算定积分100

题型1.3.3.2计算对称区间上的定积分101

题型1.3.3.3计算周期函数的定积分102

题型1.3.3.4利用定积分的常用计算公式计算定积分103

题型1.3.3.5计算被积函数含函数导数的积分104

题型1.3.3.6比较和估计定积分的大小105

题型1.3.3.7求解含积分值为常数的函数方程106

题型1.3.3.8计算几类须分子区间积分的定积分106

题型1.3.3.9计算含参数的定积分108

题型1.3.3.10计算需换元计算的定积分108

题型1.3.3.11求由定积分表示的变量极限109

1.3.4求解与变限积分有关的问题109

题型1.3.4.1计算含变限积分的极限109

题型1.3.4.2求变限积分的导数111

题型1.3.4.3求变限积分的定积分113

题型1.3.4.4讨论变限积分函数的性态114

1.3.5证明定积分等式115

题型1.3.5.1证明定积分的变换公式115

题型1.3.5.2证明含定积分的中值等式116

1.3.6证明定积分不等式117

题型1.3.6.1证明积分限相等时不等式两端成为零的积分不等式117

题型1.3.6.2证明∫baf（x）dx（或|∫baf（x）dx|）≤k（或≥k），k为常数118

题型1.3.6.3证明题设中有二阶导数大（或小）于等于零的定积分不等式118

1.3.7计算反常积分119

题型1.3.7.1计算无穷区间上的反常积分119

题型1.3.7.2判别无界函数的反常积分的敛散性，如收敛计算其值122

题型1.3.7.3判别混合型反常积分的敛散性，如收敛计算其值123

1.3.8定积分的应用124

题型1.3.8.1已知曲线方程，求其所围平面图形的面积124

题型1.3.8.2已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积）反求该曲线125

题型1.3.8.3计算平面曲线的弧长126

题型1.3.8.4计算平行截面面积已知的立体体积126

题型1.3.8.5求旋转体体积127

题型1.3.8.6求旋转体的侧（表）面积129

题型1.3.8.7求解几何应用与最值问题相结合的应用题129

题型1.3.8.8计算变力所做的功130

题型1.3.8.9计算液体的侧压力131

题型1.3.8.10计算细杆对质点的引力131

题型1.3.8.11计算函数在区间上的平均值132

习题1.3132

1.4向量代数和空间解析几何135

1.4.1向量代数及其简单应用135

题型1.4.1.1用坐标表达式进行向量运算135

题型1.4.1.2计算向量的数量积、向量积、混合积136

题型1.4.1.3利用向量运算证明（确定）向量关系137

1.4.2求平面方程138

题型1.4.2.1求过已知点的平面方程138

题型1.4.2.2求过已知直线的平面方程139

题型1.4.2.3根据平面在坐标轴上的相对位置求其方程140

题型1.4.2.4求过两平面交线的平面方程140

1.4.3求直线方程141

题型1.4.3.1求过已知点的直线方程141

题型1.4.3.2求过已知点且与已知直线相交的直线方程142

题型1.4.3.3求与两直线相交的直线方程143

题型1.4.3.4求直线在平面上的投影直线方程143

1.4.4讨论直线与平面的位置关系144

题型1.4.4.1讨论平面间的位置关系144

题型1.4.4.2讨论直线与直线的位置关系145

题型1.4.4.3讨论直线与平面的位置关系146

1.4.5求点到平面或到直线的距离147

题型1.4.5.1求点到平面的距离147

题型1.4.5.2求点到直线的距离148

1.4.6求二次曲面方程和空间曲线在坐标面上的投影方程149

题型1.4.6.1求坐标面上曲线绕坐标轴旋转所得的旋转曲面方程149

题型1.4.6.2求空间曲线绕坐标轴旋转所得的曲面方程150

题型1.4.6.3求母线平行于坐标轴的柱面方程151

题型1.4.6.4求空间曲线在坐标面上的投影方程152

1.4.7求解空间解析几何与线性代数、微积分相结合的综合题152

习题1.4154

1.5多元函数微分法及其应用156

1.5.1正确理解二元函数连续、可偏导及可微之间的关系156

题型1.5.1.1依定义判别二元函数在某点是否连续、可偏导及可微156

题型1.5.1.2判别二元函数连续、可偏导、可微之间的关系157

1.5.2计算多元函数的偏导数和全微分158

题型1.5.2.1利用隐函数存在定理确定隐函数158

题型1.5.2.2求抽象复合函数的偏导数158

题型1.5.2.3计算隐函数的导数161

题型1.5.2.4作变量代换将偏导数满足的方程变形163

题型1.5.2.5求方向导数和梯度164

题型1.5.2.6求二元函数的全微分165

1.5.3多元函数微分学的应用166

题型1.5.3.1已知空间曲线的参数方程，求其切线或法平面方程166

题型1.5.3.2已知空间曲线为两曲面的交线，求其切线或法平面方程167

题型1.5.3.3已知空间曲面方程，求其切平面或法线方程168

题型1.5.3.4求二元函数的极值和最值169

题型1.5.3.5求二（多）元函数的条件极值171

习题1.5172

1.6多元函数积分学174

1.6.1利用区域的对称性化简多元函数的积分174

题型1.6.1.1计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分174

题型1.6.1.2计算积分区域关于直线y=x对称的二重积分176

题型1.6.1.3计算积分区域具有轮换对称性的三重积分176

题型1.6.1.4计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分177

题型1.6.1.5计算平面积分曲线关于y=x对称的第一类曲线积分178

题型1.6.1.6计算空间积分曲线（曲面）具有轮换对称性的第一类曲线（曲面）积分178

题型1.6.1.7计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分178

题型1.6.1.8计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分180

1.6.2交换积分次序及转换二次积分180

题型1.6.2.1交换二次积分的积分次序180

题型1.6.2.2转换二次积分182

1.6.3计算二重积分183

题型1.6.3.1计算被积函数分区域给出的二重积分183

题型1.6.3.2计算圆域或部分圆域上的二重积分184

1.6.4计算三重积分185

题型1.6.4.1计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分185

题型1.6.4.2计算积分区域为旋转体的三重积分186

题型1.6.4.3计算积分区域由球面或球面与锥面所围成的三重积分186

题型1.6.4.4计算被积函数至少缺两个变量的三重积分187

题型1.6.4.5计算易求出其截面区域上的二重积分的三重积分188

1.6.5计算曲线积分189

题型1.6.5.1计算第一类平面曲线积分189

题型1.6.5.2求解平面上与路径无关的第二类曲线积分有关问题190

题型1.6.5.3计算平面上与路径有关的第二类曲线积分193

题型1.6.5.4计算空间第二类曲线积分195

1.6.6计算曲面积分196

题型1.6.6.1计算第一类曲面积分196

题型1.6.6.2计算第二类曲面积分199

题型1.6.6.3已知第二类曲面积分的值，求被积式中的未知函数205

1.6.7多元函数积分学的应用206

题型1.6.7.1计算空间曲线的弧长206

题型1.6.7.2求曲面面积206

题型1.6.7.3计算立体体积207

题型1.6.7.4求质量、重心及转动惯量209

题型1.6.7.5计算变力沿曲线所做的功210

题型1.6.7.6计算物体对质点的引力212

题型1.6.7.7计算向量场的散度与流量（通量）213

题型1.6.7.8计算向量场的旋度与环流量214

习题1.6215

1.7级数218

1.7.1判别三类常数项级数的敛散性218

题型1.7.1.1判别正项级数的敛散性218

题型1.7.1.2判别交错级数的敛散性222

题型1.7.1.3判别任意项级数的敛散性224

1.7.2证明常数项级数的敛散性226

题型1.7.2.1证明一般项为或可化为相邻两项代数和的级数的敛散性226

题型1.7.2.2已知一级数收敛，证明相关级数收敛226

题型1.7.2.3已知一般项有极限，证明该级数的敛散性227

题型1.7.2.4证明（判别）一般项为（含）定积分的级数的敛散性227

题型1.7.2.5证明一般项用递推关系式给出的级数的敛散性228

题型1.7.2.6已知函数高阶可导，证明由该函数值组成的级数的敛散性228

1.7.3幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法229

1.7.4求幂级数与数项级数的和231

题型1.7.4.1求∞∑n=1P（n）xn的和函数，P（n）为n的多项式231

题型1.7.4.2求∞∑n=01/Q（n）xn的和函数，Q（n）n的多项式232

题型1.7.4.3求含阶乘因子的幂级数的和函数234

题型1.7.4.4求数项级数的和236

1.7.5将简单函数间接展开成幂级数239

题型1.7.5.1求反三角函数的幂级数展开式239

题型1.7.5.2将对数函数展成幂级数239

题型1.7.5.3将有理分式函数展成幂级数240

题型1.7.5.4将三角函数展成幂级数240

题型1.7.5.5利用幂级数展开式求函数的高阶导数240

1.7.6傅里叶级数241

题型1.7.6.1将周期函数展为傅里叶级数241

题型1.7.6.2求傅里叶系数245

题型1.7.6.3求傅里叶级数的和函数在某点的值245

习题1.7246

1.8常微分方程248

1.8.1求解一阶线性微分方程248

题型1.8.1.1求解可分离变量的微分方程248

题型1.8.1.2求解齐次方程249

题型1.8.1.3求解一阶线性方程249

题型1.8.1.4求解几类可化为一阶线性方程的方程250

题型1.8.1.5求解方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0252

题型1.8.1.6求解由变量的增量关系给出的一阶方程254

题型1.8.1.7求满足某种性质的一阶微分方程的特解254

1.8.2求解线性微分方程255

题型1.8.2.1利用线性微分方程解的结构和性质求解有关问题256

题型1.8.2.2求解可降阶的二阶微分方程256

题型1.8.2.3求解高阶常系数齐次线性方程257

题型1.8.2.4求解二阶常系数非齐次线性方程259

题型1.8.2.5求解欧拉方程262

题型1.8.2.6求解含变限积分的方程263

题型1.8.2.7求解可化为一阶线性微分的函数方程263

1.8.3已知特解反求其常系数线性方程264

题型1.8.3.1已知特解反求其齐次方程264

题型1.8.3.2已知特解反求其非齐次方程264

1.8.4用微分方程求解几何和物理中的简单应用题265

习题1.8269

第2篇 线性代数272

2.1计算行列式272

2.1.1计算数字型行列式272

题型2.1.1.1计算非零元素主要在一条或两条对角线上的行列式272

题型2.1.1.2计算非零元素在三条线上的行列式273

题型2.1.1.3计算行（列）和相等的行列式274

题型2.1.1.4计算范德蒙行列式275

题型2.1.1.5求代数余子式线性组合的值276

题型2.1.1.6计算n阶可逆矩阵的所有代数余子式的和277

2.1.2计算抽象矩阵的行列式277

题型2.1.2.1求由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值278

题型2.1.2.2计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式278

题型2.1.2.3计算含零子块的四分块矩阵的行列式279

题型2.1.2.4证明方阵的行列式等于零，或不等于零279

2.1.3克莱姆法则的应用280

习题2.1282

2.2矩阵283

2.2.1证明矩阵的可逆性283

题型2.2.1.1已知一矩阵等式，证明有关矩阵可逆，并求其逆矩阵283

题型2.2.1.2证明矩阵A可逆，且A-1=B284

题型2.2.1.3证明和（差）矩阵可逆285

题型2.2.1.4求矩阵的逆矩阵，该矩阵含一（些）矩阵的逆矩阵285

题型2.2.1.5证明方阵为不可逆矩阵286

2.2.2矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法286

2.2.3求解与伴随矩阵有关的问题287

题型2.2.3.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式288

题型2.2.3.2求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵289

题型2.2.3.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩289

题型2.2.3.4求伴随矩阵289

2.2.4计算n阶矩阵的高次幂289

题型2.2.4.1计算能分解为一列向量与一行向量相乘的矩阵的高次幂289

题型2.2.4.2计算能相似对角化的矩阵的高次幂290

题型2.2.4.3计算能分解为两可交换矩阵之和的矩阵的高次幂291

题型2.2.4.4计算其平方等于原矩阵或单位矩阵倍数的矩阵高次幂292

2.2.5求矩阵的秩293

题型2.2.5.1求元素具体给定的矩阵的秩293

题型2.2.5.2求含抽象矩阵或含待定常数的矩阵的秩293

题型2.2.5.3已知矩阵的秩，求其待定常数296

2.2.6分块矩阵乘法运算的应用举例296

2.2.7求解矩阵方程297

题型2.2.7.1求解含单位矩阵加项的矩阵方程298

题型2.2.7.2求解只含一个未知矩阵的矩阵方程299

题型2.2.7.3求解含多个未知矩阵的矩阵方程300

题型2.2.7.4求与已知矩阵可交换的所有矩阵303

题型2.2.7.5已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式303

2.2.8初等变换与初等矩阵的关系的应用303

题型2.2.8.1用初等矩阵表示相应的初等变换303

题型2.2.8.2利用初等矩阵的逆矩阵的性质计算矩阵304

习题2.2305

2.3向量307

2.3.1判别向量组线性相关与线性无关307

题型2.3.1.1用线性相关性定义做选择题、填空题307

题型2.3.1.2判别分量已知的向量组的线性相关性308

题型2.3.1.3证明几类向量组的线性相关性309

题型2.3.1.4已知向量组的线性相关性，求其待定常数313

2.3.2判定向量能否由向量组线性表示314

题型2.3.2.1判定分量已知的向量能否由向量组线性表示314

题型2.3.2.2判断一抽象向量能否由向量组线性表示315

题型2.3.2.3判别一向量组能否由另一向量组线性表示316

2.3.3两向量组等价的判别方法及常用证法316

2.3.4向量组的秩与极大线性无关组319

题型2.3.4.1求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组319

题型2.3.4.2将向量用极大线性无关组线性表示320

题型2.3.4.3证明抽象向量组的秩有关问题321

题型2.3.4.4证某向量组为一极大无关组322

2.3.5向量空间323

题型2.3.5.1求解空间的基、标准正交基（规范正交基）323

题型2.3.5.2求过渡矩阵325

题型2.3.5.3求向量在某组基下的坐标326

习题2.3328

2.4线性方程组329

2.4.1判定线性方程组解的情况329

题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况329

题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况331

2.4.2由其解反求方程组或其参数332

题型2.4.2.1已知AX=0的解的情况，反求A中参数333

题型2.4.2.2已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数333

题型2.4.2.3已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵334

2.4.3证明一组向量为基础解系335

2.4.4基础解系和特解的简便求法336

2.4.5求解含参数的线性方程组337

题型2.4.5.1求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组338

题型2.4.5.2求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组338

题型2.4.5.3求解参数仅出现在常数项的线性方程组339

题型2.4.5.4求含参数的方程组满足一定条件的通解340

2.4.6求抽象线性方程组的通解340

题型2.4.6.1 A没有具体给出，求AX=0的通解340

题型2.4.6.2已知AX=b的特解，求其通解341

题型2.4.6.3利用线性方程组的向量形式求（证明）其解343

2.4.7求两线性方程组的非零公共解344

题型2.4.7.1求两齐次线性方程组的非零公共解344

题型2.4.7.2证明两齐次线性方程组有非零公共解346

题型2.4.7.3讨论两方程组同解的有关问题346

习题2.4348

2.5矩阵的特征值、特征向量351

2.5.1求矩阵的特征值、特征向量351

题型2.5.1.1求元素给出的矩阵的特征值、特征向量351

题型2.5.1.2证明（判别）抽象矩阵的特征值、特征向量352

2.5.2由特征值和（或）特征向量反求其矩阵354

题型2.5.2.1由特征值和（或）特征向量反求矩阵的待定常数354

题型2.5.2.2已知特征值、特征向量，反求其矩阵355

题型2.5.2.3计算Anβ，其中β为列向量，A为方阵357

2.5.3求相关联矩阵的特征值、特征向量357

2.5.4判别同阶方阵是否相似359

题型2.5.4.1判别或证明方阵是否可对角化359

题型2.5.4.2判别两同阶方阵是否相似361

2.5.5相似矩阵性质的简单应用362

2.5.6与两矩阵相似有关的计算362

题型2.5.6.1矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1 AP=diag（λ1，λ2，…，λn），其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值362

题型2.5.6.2 A为实对称矩阵，求A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1 AQ=QTAQ=diag（λ1，λ2，…，λn），其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值363

题型2.5.6.3 A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵A364

题型2.5.6.4已知矩阵A和可逆矩阵P满足一等式，求矩阵B，使P-1AP=B365

习题2.5365

2.6二次型367

2.6.1化二次型为标准形367

题型2.6.1.1化二次型为标准形367

题型2.6.1.2已知二次型的标准形，确定该二次型374

2.6.2判别或证明实二次型（实对称矩阵）的正定性375

题型2.6.2.1判别或证明具体二次型（或实对称矩阵）的正定性376

题型2.6.2.2判别或证明抽象的二次型（或实对称矩阵）的正定性378

题型2.6.2.3确定参数的取值范围使二次型或其矩阵正定379

题型2.6.2.4证明与正定矩阵相关联的矩阵的正定性380

2.6.3合同矩阵381

题型2.6.3.1判别两实对称矩阵合同381

题型2.6.3.2讨论矩阵等价、相似及合同的关系382

习题2.6383

第3篇 概率论与数理统计386

3.1随机事件和概率386

3.1.1随机事件间的关系及运算386

题型3.1.1.1描绘随机试验的样本空间386

题型3.1.1.2用式子表示事件关系及其运算386

题型3.1.1.3利用事件运算的性质或图示法简化事件算式387

题型3.1.1.4求满足一定条件的事件关系387

3.1.2直接计算随机事件的概率387

题型3.1.2.1计算古典型概率387

题型3.1.2.2计算几何型概率389

题型3.1.2.3计算伯努利概型中事件的概率390

3.1.3间接计算随机事件的概率391

题型3.1.3.1计算和、差、积事件的概率391

题型3.1.3.2求与包含关系有关的事件的概率393

题型3.1.3.3计算与互斥事件有关的事件的概率394

题型3.1.3.4求与条件概率有关的事件的概率394

题型3.1.3.5求与他事件有关的单个事件的概率394

题型3.1.3.6判别或证明事件概率不等式394

3.1.4几个计算概率公式的实际应用395

题型3.1.4.1用加法公式求解实际应用题395

题型3.1.4.2用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题395

题型3.1.4.3用全概公式和逆概（贝叶斯）公式求解实际应用题396

题型3.1.4.4利用抽签原理计算事件概率399

3.1.5判别事件的独立性400

题型3.1.5.1判别（证明）两事件相互独立400

题型3.1.5.2判别（证明）n（n＞2）个事件相互独立401

习题3.1402

3.2一维随机变量及其分布405

3.2.1分布列、概率密度及分布函数性质的应用405

题型3.2.1.1判别分布列、概率密度及分布函数406

题型3.2.1.2证明某实函数为某随机变量的分布函数407

题型3.2.1.3利用分布的性质，确定待定常数或所满足的条件407

题型3.2.1.4求随机变量落在某点或某区间上的概率408

3.2.2求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数410

题型3.2.2.1求概率分布（分布律）及其分布函数410

题型3.2.2.2求连续型随机变量的分布函数或其取值411

题型3.2.2.3求概率密度413

3.2.3利用常见分布计算有关事件的概率413

题型3.2.3.1利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率413

题型3.2.3.2利用超几何分布计算事件的概率416

题型3.2.3.3利用几何分布计算事件的概率416

题型3.2.3.4利用泊松分布计算事件的概率417

题型3.2.3.5利用均匀分布计算事件的概率418

题型3.2.3.6利用指数分布计算事件的概率418

题型3.2.3.7利用正态分布计算事件的概率420

题型3.2.3.8利用相关分布与二项分布相结合计算事件的概率423

3.2.4随机变量函数的分布423

题型3.2.4.1已知一离散型随机变量的分布，求其函数（另一离散型随机变量）的分布423

题型3.2.4.2已知一连续型随机变量的分布，求其函数（另一连续型随机变量）的分布425

题型3.2.4.3已知一连续型随机变量的分布，求其函数（离散型随机变量）的分布428

题型3.2.4.4讨论随机变量函数分布的性质428

习题3.2429

3.3二维随机变量的联合概率分布432

3.3.1求二维随机变量的分布432

题型3.3.1.1求二维离散型随机变量的联合分布律432

题型3.3.1.2求二维随机变量的边缘分布435

题型3.3.1.3由联合分布、边缘分布求条件分布439

题型3.3.1.4由条件分布反求联合分布、边缘分布442

题型3.3.1.5已知分区域定义的联合密度，求其分布函数443

3.3.2随机变量的独立性444

题型3.3.2.1判别两随机变量的独立性444

题型3.3.2.2利用独立性确定联合分布中的待定常数447

3.3.3计算二维随机变量取值的概率448

题型3.3.3.1计算两离散型随机变量运算后取值的概率448

题型3.3.3.2求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率449

题型3.3.3.3求与max（X，Y）或（和）min（X，Y）有关的概率450

题型3.3.3.4求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率451

3.3.4求二维随机变量函数的分布451

题型3.3.4.1已知（X，Y）的联合分布律，求Z=g（X，Y）的分布律451

题型3.3.4.2求两随机变量之和的分布452

题型3.3.4.3已知X，Y的分布，求max（X，Y）或（和）min（X，Y）的分布456

习题3.3458

3.4随机变量的数字特征461

3.4.1求一维随机变量的数字特征461

题型3.4.1.1求随机变量的数学期望与方差461

题型3.4.1.2求随机变量函数的数学期望与方差465

题型3.4.1.3计算随机变量的矩467

3.4.2求二维随机变量的数字特征467

题型3.4.2.1求（X，Y）的函数g（X，Y）的数学期望和方差467

题型3.4.2.2计算协方差和相关系数470

3.4.3计算两类分布的数字特征476

题型3.4.3.1计算正态分布的数字特征476

题型3.4.3.2计算Z=max（X，Y）或（和）W=min（X，Y）的数字特征477

3.4.4讨论随机变量相关性与独立性的关系480

题型3.4.4.1确定两随机变量相关与不相关480

题型3.4.4.2讨论相关性与独立性的关系481

3.4.5已知数字特征，求分布中的待定常数482

3.4.6求解两类综合应用题483

题型3.4.6.1求解与数字特征有关的实际应用题483

题型3.4.6.2求解概率论与其他数学分支的综合应用题485

习题3.4486

3.5大数定律和中心极限定理489

3.5.1用切比雪夫不等式估计事件的概率489

3.5.2大数定律成立的条件和结论491

题型3.5.2.1利用三个大数定律成立的条件解题493

题型3.5.2.2求随机变量序列依概率的收敛值494

3.5.3两个中心极限定理的简单应用496

题型3.5.3.1利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似计算事件概率496

题型3.5.3.2已知随机变量取值的概率，估计取值范围497

题型3.5.3.3应用列维-林德伯格中心极限定理的条件、结论解题498

题型3.5.3.4近似计算n个随机变量之和取值的概率499

题型3.5.3.5已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n499

习题3.5500

3.6数理统计初步502

3.6.1求解与统计量分布有关的问题502

题型3.6.1.1求解与统计量分布有关的基本概念问题502

题型3.6.1.2求统计量的分布及其分布参数504

题型3.6.1.3求统计量取值的概率509

题型3.6.1.4求统计量的数字特征511

题型3.6.1.5求经验分布函数512

3.6.2参数估计513

题型3.6.2.1求总体分布中未知参数的矩估计量（值）513

题型3.6.2.2求未知参数的极（最）大似然估计量（值）516

题型3.6.2.3判别估计量的无偏性、有效性和一致性（相合性）519

题型3.6.2.4求正态总体参数的置信区间及其有关参数523

3.6.3假设检验528

题型3.6.3.1计算简单情形下的两类错误概率529

题型3.6.3.2对单个正态总体参数进行假设检验529

题型3.6.3.3对两个正态总体参数进行假设检验531

题型3.6.3.4用检验方法及其结论做填空题与选择题532

习题3.6533

习题答案与提示536