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基础篇3

第1章 概论3

1.1 偏微分方程的基本概念3

1.1.1 偏微分方程简介3

1.1.2 定解条件和定解问题4

1.1.3 定解问题的适定性5

1.1.4 叠加原理5

1.2 数学模型的建立6

1.2.1 波动问题6

1.2.2 输运问题8

1.2.3 稳定场问题10

1.2.4 三类问题的定解条件11

1.3 方程的分类及特征的概念14

小结18

中英文词汇对照18

习题119

第2章 分离变量法21

2.1 两端固定的弦自由振动问题21

2.2 有限长杆上的热传导问题27

2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题29

2.3.1 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题30

2.3.2 圆域上拉普拉斯方程的边值问题33

2.4 非齐次方程的解法36

2.4.1 两端固定弦的强迫振动36

2.4.2 有热源的有限长杆上的热传导39

2.4.3 泊松方程41

2.5 非齐次边界条件的齐次化42

2.6 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论47

小结48

中英文词汇对照50

习题250

第3章 行波法54

3.1 一阶线性偏微分方程的特征线法54

3.2 一维波动方程的初值问题56

3.2.1 一维齐次波动方程的通解57

3.2.2 一维齐次波动方程的初值问题58

3.2.3 解的物理意义58

3.3 半无界弦问题60

3.3.1 端点固定61

3.3.2 端点自由62

3.4 三维波动方程的初值问题63

3.4.1 三维波动方程的球对称解63

3.4.2 三维波动方程的泊松公式63

3.4.3 泊松公式的物理意义66

3.5 齐次化原理69

小结71

中英文词汇对照74

习题374

第4章 积分变换法76

4.1 傅里叶变换76

4.1.1 傅里叶变换的定义76

4.1.2 傅里叶变换的性质78

4.1.3 傅里叶变换求解定解问题举例80

4.2 拉普拉斯变换84

4.2.1 拉普拉斯变换的定义84

4.2.2 拉普拉斯变换的性质86

4.2.3 拉普拉斯变换解题举例88

小结91

中英文词汇对照92

习题492

第5章 格林函数法94

5.1 拉普拉斯方程边值问题的提法94

5.1.1 内问题94

5.1.2 外问题96

5.2 格林公式96

5.2.1 格林公式96

5.2.2 调和函数的积分表达式97

5.2.3 调和函数的性质99

5.3 格林函数101

5.3.1 格林函数的引入101

5.3.2 格林函数的性质103

5.4 两种特殊区域的格林函数及拉普拉斯方程的第一边值问题的解103

5.4.1 上半空间的格林函数104

5.4.2 球形区域内的格林函数106

小结109

中英文词汇对照110

习题5110

第6章 贝塞尔函数112

6.1 贝塞尔方程与贝塞尔函数112

6.2 贝塞尔函数的性质117

6.2.1 整数阶贝塞尔函数117

6.2.2 贝塞尔函数的递推公式117

6.2.3 半奇数阶贝塞尔函数118

6.2.4 贝塞尔函数的零点119

6.3 傅里叶-贝塞尔级数121

6.3.1 贝塞尔函数的正交性121

6.3.2 傅里叶-贝塞尔级数124

6.4 贝塞尔函数在分离变量法中的应用126

6.5 虚宗量的贝塞尔函数130

小结133

中英文词汇对照134

习题6134

第7章 勒让德多项式136

7.1 勒让德方程及其求解136

7.2 勒让德多项式及其性质137

7.2.1 勒让德多项式137

7.2.2 罗德里格斯公式140

7.2.3 勒让德多项式的递推公式140

7.3 傅里叶-勒让德级数141

7.3.1 勒让德函数的正交性141

7.3.2 傅里叶-勒让德级数143

7.4 勒让德多项式在分离变量法中的应用144

7.5 连带的勒让德多项式146

小结148

中英文词汇对照148

习题7149

仿真篇153

第8章 数学物理方程的计算机仿真求解153

8.1 偏微分方程工具箱的功能153

8.1.1 偏微分方程工具箱简介153

8.1.2 PDE Toolbox求解的基本方程类型153

8.1.3 定解问题的设置最简单的办法154

8.1.4 用GUI解PDE问题的主要使用模式154

8.1.5 PDE Toolbox菜单154

8.2 典型方程的仿真求解158

8.2.1 求解椭圆型方程158

8.2.2 求解双曲型方程163

8.3 常用仿真语句168

8.3.1 求解方程的仿真语句168

8.3.2 动画图形显示语句169

习题8169

第9章 特殊函数的计算机仿真应用170

9.1 连带勒让德函数、勒让德函数、球函数170

9.1.1 连带勒让德函数170

9.1.2 勒让德多项式171

9.1.3 球函数171

9.1.4 勒让德多项式的母函数172

9.2 贝塞尔函数173

9.2.1 贝塞尔函数173

9.2.2 球贝塞尔函数176

9.2.3 平面波用柱面波形式展开178

9.2.4 定解问题的图形显示178

9.3 其他特殊函数180

习题9180

应用篇183

第10章 数学物理方程在其他学科中的应用183

10.1 在人口问题中的应用183

10.2 在传染病动力学中的应用185

10.3 在城市交通问题中的应用187

10.4 在生物医药问题中的应用189

10.5 在石油开采问题中的应用191

10.6 在两相问题中的应用193

10.7 在水声物理中的应用195

10.7.1 波动方程195

10.7.2 各向均匀的球面波197

10.7.3 一般球面波198

10.7.4 球面振速已知的球面波201

参考答案203

参考文献208

附录A 傅里叶变换简表209

附录B 拉普拉斯变换简表211