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第一章 复数与复变函数1

1复数及其几何表示1

1.1复数在平面上的几何表示1

1.2复数的运算2

1.3复球面及无穷大6

2复变函数7

2.1区域与曲线7

2.2复变函数的概念9

2.3复变函数的极限10

2.4复变函数的连续性12

习题一12

第二章 解析函数14

1解析函数的概念14

1.1复变函数的导数14

1.2解析函数的概念16

2函数解析的充要条件17

3初等函数21

3.1指数函数21

3.2对数函数22

3.3幂函数24

3.4三角函数24

3.5反三角函数25

3.6双曲函数与反双曲函数26

习题二27

第三章 复变函数的积分29

1复变函数积分的概念29

1.1积分的定义与计算29

1.2积分的性质33

2柯西积分定理34

2.1柯西-古萨特基本定理34

2.2复合闭路定理35

2.3原函数37

3柯西积分公式40

4解析函数的高阶导数42

5解析函数与调和函数的关系46

习题三49

第四章 级数52

1复级数52

1.1复数项级数52

1.2复变函数项级数54

2泰勒级数59

3洛朗级数63

3.1洛朗级数及其收敛圆环63

3.2洛朗展开定理64

习题四72

第五章 留数74

1孤立奇点74

1.1孤立奇点的类型74

1.2函数的零点与极点的关系77

1.3函数在无穷远点的性态80

2留数83

2.1留数的定义及留数定理83

2.2函数在极点的留数85

2.3无穷远点的留数88

3留数在定积分计算中的应用90

3.1形如？ 2π 0 R（cos θ， sin θ） dθ的积分90

3.2形如？+∞ -∞ R（x）dx的积分92

3.3形如？+∞ -∞ R（x） e iax dx（a〉0）的积分93

3.4综合举例96

习题五99

第六章 共形映射101

1导数的几何意义与共形映射101

1.1曲线的切向量101

1.2导数的几何意义102

1.3共形映射的概念104

2分式线性映射104

2.1分式线性映射的三种特殊形式105

2.2分式线性映射的性质106

2.3唯一决定分式线性映射的条件109

2.4两个典型区域间的映射111

3几个初等函数所构成的映射114

3.1幂函数w=z n（n≥2为整数）114

3.2指数函数w=e116

习题六118

第七章 傅里叶变换120

1傅里叶级数120

2傅里叶积分与傅里叶变换125

2.1傅里叶积分公式126

2.2傅里叶变换126

3单位脉冲函数（δ函数）130

3.1 δ函数的引入及物理描述130

3.2弱极限与δ函数的性质132

3.3 δ函数的傅氏变换133

4傅氏变换的性质136

4.1基本性质136

4.2卷积与卷积定理140

5序列的傅里叶变换143

习题七147

第八章 拉普拉斯变换150

1拉普拉斯变换的概念150

1.1拉普拉斯变换的定义150

1.2拉普拉斯变换存在定理152

2拉氏变换的性质153

2.1拉氏变换的基本性质153

2.2拉氏变换的卷积定理159

3拉普拉斯逆变换161

3.1反演积分公式161

3.2利用留数计算反演积分162

4常微分方程的拉氏变换解法163

习题八167

第九章 应用问题选读169

1快速傅氏变换应用软件的使用169

1.1离散傅氏变换169

1.2快速傅氏变换应用软件的使用170

2离散信号的z变换172

3线性时不变系统的数学描述174

3.1连续线性时不变系统174

3.2离散线性时不变系统175

4相关函数与能量谱密度177

4.1相关函数的概念与性质177

4.2相关函数与能量谱密度的关系179

5平面场的复势181

5.1用复变函数表示平面向量场182

5.2平面流速场的复势182

5.3静电场的复势185

6辐角原理及其应用187

6.1对数留数187

6.2辐角原理188

6.3儒歇定理189

习题九191

部分习题参考答案192

附录1傅氏变换简表201

附录2拉氏变换简表204

附录3 FFT子程序209

参考文献212