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第一章 函数与代数的基本知识1

第一节 函数的基本概念1

第二节 初等函数及其图形4

1.2.1 基本初等函数4

1.2.2 基本初等函数的图形与性质5

第三节 双曲函数8

1.3.1 定义8

1.3.2 双曲函数的图形8

1.3.3 反双曲函数8

第四节 二次方程11

1.4.1 二次方程的图形11

1.4.2 二次及三次以上高次方程的求解13

1.4.3 二项式定理16

第五节 复变函数17

1.5.1 什么是复数17

1.5.2 复数在平面上的表示18

1.5.3 复数的指数形式及其与三角形式的关系19

1.5.4 几个重要的初等复变函数20

第二章 微分方法23

第一节 极限23

2.1.1 极限的概念23

2.1.2 极限的运算规则25

2.1.3 谈谈无穷小量与无穷大量25

第二节 导数与偏导数26

2.2.1 导数与微分26

2.2.2 基本导数公式28

2.2.3 高阶导数与Leibniz公式32

2.2.4 偏导数与全微分33

2.2.5 复变函数的导数35

2.2.6 极大、极小与隐微分法37

2.2.7 积分号下求微分39

2.2.8 Lagrange乘数法41

2.2.9 Newton—Raphson法43

第三章 积分方法46

第一节 不定积分46

3.1.1 不定积分的概念46

3.1.2 基本积分公式47

第二节 定积分50

3.2.1 定积分的概念50

3.2.2 定积分的几何意义51

第三节 重积分56

3.3.1 重积分的概念56

3.3.2 重积分的计算56

第四节 线积分60

3.4.1 线积分的概念60

3.4.2 线积分的计算61

3.4.3 Green公式与Stockes公式64

第五节 椭圆积分66

3.5.1 第一类椭圆积分66

3.5.2 第二类椭圆积分67

第六节 一些重要的积分方法与技巧69

3.6.1 分项法69

3.6.2 代换法70

3.6.3 分部积分法71

3.6.4 坐标变换法72

3.6.5 约化公式积分法73

3.6.6 复变函数导入法75

3.6.7 参数微分法76

3.6.8 数值积分法77

第四章 矢量分析与场论81

第一节 矢量运算81

4.1.1 矢量的加减与数乘81

4.1.2 矢量在直角坐标系中的表示及其微分与积分运算82

4.1.3 矢量的点乘84

4.1.4 矢量的叉乘86

第二节 方向导数与梯度88

4.2.1 方向导数88

4.2.2 梯度89

第三节 矢量场的通量、散度与旋度90

4.3.1 通量90

4.3.2 散度与Gauss定理91

4.3.3 环量、旋度与Stockes定理96

第四节 Hamilton算符及其演算公式98

4.4.1 Hamilton算符与Laplace算符98

4.4.2 几个重要的演算公式99

第五节 梯度、散度、旋度及？2u在正交曲线坐标系中的表示104

4.5.1 坐标的曲线微分104

4.5.2 梯度、散度、旋度及？2u在正交曲面坐标系中的表示105

第五章 级数展开与留数定理110

第一节 实数域上的常用级数及其应用110

5.1.1 Taylor级数及其应用110

5.1.2 Fourier级数及其应用125

5.1.3 Bernoulli级数及其应用127

第二节 复数域上的级数展开130

5.2.1 Cauchy定理与Cauchy积分公式130

5.2.2 复数域上的Taylor级数展开132

5.2.3 复数域上的Laurent级数展开132

第三节 留数定理及其应用133

5.3.1 关于孤立奇点的某些概念133

5.3.2 留数的概念134

5.3.3 留数的计算135

5.3.4 留数定理在实函数积分计算中的应用138

第六章 Laplace变换145

第一节 Laplace变换的概念与性质145

6.1.1 Laplace变换的概念145

6.1.2 Laplace变换表147

6.1.3 Laplace变换的性质149

第二节 Laplace变换的反演153

6.2.1 有理分式反演法154

6.2.2 利用Laplace变换的性质求反演154

6.2.3 应用普遍反演公式求反演156

第七章 常微分方程160

第一节 某些一阶常微分方程160

7.1.1 可分离变量的一阶微分方程160

7.1.2 齐次方程的求解162

7.1.3 一阶线性微分方程163

7.1.4 全微分方程164

第二节 一些二阶常微分方程165

7.2.1 d2y/dx2=f（x）或d2y/dx2=f（x,dy/dx）型微分方程165

7.2.2 d2y/dx2=f（y）或d2y/dx2=f（y,dy/dx）型微分方程166

7.2.3 二阶线性微分方程170

第三节 常微分方程的差分近似及其应用175

7.3.1 微分方程的差分表示175

7.3.2 差分方程在参数测定中的应用176

第八章 数学物理方程180

第一节 土壤学中常见的数学物理方程180

8.1.1 土壤表面化学中的Poisson-Boltzmann方程180

8.1.2 不考虑外力场时土壤中物质扩散的基本方程182

8.1.3 受到外电场作用下的土壤电荷离子扩散的基本方程183

8.1.4 土壤中的热传导方程187

8.1.5 土壤中液态水运动的基本方程189

8.1.6 同时包含扩散、机械弥散和质流时的土壤溶质运移基本方程191

第二节 数学物理方程的定解条件194

8.2.1 初始条件194

8.2.2 边界条件195

第三节 分离变数法求解偏微分方程197

第四节 积分变换法求解偏微分方程205

主要参考文献219