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第一篇 必修内容3

第一章 微积分的基础和研究对象3

1微积分的基础——集合、实数和极限3

1.1从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起3

1.2极限、实数、集合在微积分中的作用5

1.3实数系的建立及邻域概念6

2微积分的研究对象——函数8

2.1变量相依关系的数学模型——函数9

2.2逆向思维一例——反函数11

2.3基本初等函数13

2.4复合函数15

2.5初等函数的含义16

2.6 MM能力培养18

阅读材料（1）数学思想方法简介21

悖论浅谈21

阅读材料（2）数学家简介23

（一）数学之神——阿基米德23

（二）双目失明的数学家——欧拉25

习题一26

第二章 微积分的直接基础——极限30

1从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列极限31

1.1数列的概念31

1.2数列极限的定性描述32

1.3数列极限的定量描述34

1.4数列极限中蕴含的辩证思想38

2函数极限38

2.1自变量x无限趋近于有限数x0时的情形39

2.2左极限和右极限41

2.3自变量x的绝对值无限增大时的情形42

2.4函数极限的性质43

2.5无穷大量与无穷小量44

2.6极限的四则运算46

2.7两个重要的极限公式48

3极限应用的一个例子——连续函数49

3.1连续函数的概念50

3.2连续函数求极限的法则52

3.3初等函数的连续性53

3.4闭区间上连续函数的性质56

阅读材料（1）数学思想方法简介59

数学思维59

阅读材料（2）数学家简介61

我国古代伟大数学家——祖冲之61

习题二62

第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分67

1函数的局部变化率——导数68

1.1抽象导数概念的两个现实原型68

1.2导数概念71

1.3求导过程的哲学分析75

1.4左导数和右导数75

1.5函数的连续性与可导性之间的关系77

1.6高阶导数的概念77

2求导数的方法——法则与公式78

2.1求导法则78

2.2基本初等函数的求导公式84

3局部改变量的估值问题——微分及其运算87

3.1微分87

3.2微分公式和法则89

3.3微分在近似计算中的应用91

阅读材料（1）数学思想方法简介92

数学抽象92

阅读材料（2）数学家简介95

科学巨擘——牛顿95

习题三98

第四章 导数的应用问题——洛必达法则、函数的性质和图像102

1联结局部与整体的纽带——中值定理103

1.1费马定理103

1.2中值定理（拉格朗日）104

2计算不定式极限的一般方法——洛必达法则106

2.1两个基本类型不定式106

2.2其他类型的不定式108

3用导数研究函数的性质——单调性、极值和最大最小值110

3.1函数的单调性110

3.2函数的极值111

3.3函数的最大值和最小值113

4利用导数研究函数的图像——曲线的绘制115

4.1曲线的弯曲方向——凹凸性115

4.2利用导数绘制函数的图像116

阅读材料（1）数学思想方法简介118

数学构造法118

阅读材料（2）数学家简介121

业余数学家之王——费马121

习题四122

第五章 微分的逆运算问题——不定积分125

1逆向思维又一例——原函数与不定积分126

1.1原函数与不定积分的概念126

1.2基本积分公式128

1.3不定积分的线性运算法则130

2矛盾转化法——换元积分法与分部积分法131

2.1换元积分法131

2.2分部积分法136

阅读材料（1）数学思想方法简介139

关系映射反演方法139

阅读材料（2）数学家简介141

符号大师——莱布尼茨141

习题五142

第六章 求总量的问题——定积分145

1特殊和式的极限——定积分的概念146

1.1抽象定积分概念的两个现实原型146

1.2定积分的概念148

1.3求定积分过程中的辩证思维149

1.4可积条件150

1.5定积分的性质150

2计算定积分的一般方法——微积分基本定理153

2.1微积分基本定理153

2.2定积分的换元积分法和分部积分法155

3定积分的拓展——非正常积分157

4定积分魅力的显示——在若干学科中的应用159

4.1微元法159

4.2在几何学中的应用160

4.3在物理学中的应用——变力做功163

阅读材料（1）数学思想方法简介163

数学模型方法163

阅读材料（2）数学家简介166

微积分学在中国的最早传播人——李善兰166

习题六167

第七章 偶然中蕴含必然的问题——概率统计初步169

1研究偶然现象的基本元素——随机事件170

1.1随机现象及其描述170

1.2事件的关系及运算172

2偶然中的必然——概率174

2.1概率的定义174

2.2条件概率178

2.3全概率公式和贝叶斯公式180

3随机现象的函数化——随机变量183

3.1随机变量的概念183

3.2离散型随机变量184

3.3连续型随机变量186

4随机现象平均特征的描述——期望值193

4.1期望值的概念193

4.2期望值的性质195

5随机现象离散程度的描述——方差196

5.1方差的概念196

5.2标准差的概念198

5.3方差的性质198

6收集、整理和分析数据的方法——数理统计199

6.1总体和样本199

6.2统计量和统计量的分布200

7由部分推断总体的方法——统计推断201

7.1参数估计201

7.2假设检验204

8建立线性函数的实验方法——一元线性回归分析206

8.1一元线性回归方程的建立206

8.2回归方程的显著性研究207

阅读材料（1）数学思想方法简介208

观察与实验208

阅读材料（2）数学家简介211

早期研究平均值的科学家——帕斯卡211

习题七212

第二篇 选修内容221

第八章 处理线性关系的数学问题——线性代数概述221

1一种特殊数——行列式222

1.1行列式的定义222

1.2行列式的性质225

2线性方程组的解法228

2.1克拉默法则228

2.2消元法230

3应用广泛的数表——矩阵233

3.1矩阵的概念233

3.2矩阵的运算234

3.3矩阵的应用240

阅读材料（1）数学思想方法简介243

数学美学方法243

阅读材料（2）数学家简介246

数学王子——高斯246

习题八248

第九章 含变化率的方程问题——微分方程浅说251

1微分方程初识——一般概念252

1.1例子252

1.2一般概念254

1.3微分方程及其解的几何解释254

2特殊类型微分方程的解法——初等积分法256

2.1分离变量法256

2.2可化为可分离变量的微分方程259

2.3一阶线性微分方程263

3几个有趣的实例——若干应用模型265

3.1单种群模型与人口问题265

3.2遗体死亡年代测定问题267

3.3刑事侦察中死亡时间的鉴定问题268

3.4学习过程模型269

阅读材料（1）数学思想方法简介269

数学推理和数学证明269

阅读材料（2）数学家简介272

数学领域里的一座高耸的金字塔——拉格朗日272

习题九273

第十章 一元微积分的推广——二元微积分概要275

1二元函数微积分的预备知识275

1.1解析几何的思想方法276

1.2空间直角坐标系277

1.3空间曲面与代数方程279

1.4空间曲线与代数方程282

1.5用代数方法研究二次曲面282

2二元函数的极限与连续性284

2.1二元函数的概念284

2.2二元函数的极限286

2.3二元函数的连续性287

3偏导数与全微分287

3.1偏导数及其计算287

3.2全微分289

4复合函数微分法292

5二元函数的极值293

6二重积分的概念与计算295

6.1二重积分的概念与性质295

6.2二重积分的计算297

阅读材料（1）数学思想方法简介301

数学与创造301

阅读材料（2）数学家简介303

（一）追求新几何的数学家——笛卡儿303

（二）自学成才的数学大师——华罗庚305

习题十307

附录一 部分习题参考答案309

附录二 两个数表324

（一）三角函数公式表324

（二）标准正态分布函数值表324

参考文献327