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目 录1

第一章绪论1

§1关于素质教育1

§2美与真2

§3数学是思维的工具3

§4数学的特点4

§5数学提供了有特色的思考方式5

§6数学教育中的弊病与应对5

6.1数学教育中的弊病5

6.2数学教育中的应对6

§7初等数学回顾7

§8学习原则8

§9数学与就业11

§10 当前数学科学发展的主要趋势12

初中文凭，独步中华——华罗庚13

第二章数学与人类文明15

§1 自然数是万物之母15

1.1三个层次15

1.2古希腊的数学16

2.1宇宙的和谐17

§2数学与自然科学17

2.2物理学21

2.3生命的奥秘22

§3 数学与人文科学24

3.1数学与西方宗教24

3.2数学与西方政治25

3.3 人口论28

3.4统计方法28

3.5诺贝尔经济学奖与数学30

3.6选票分配问题31

风骨超常伦——伽利略33

一个叛逆的宇宙设计师——哥白尼33

宇宙的秩序——开普勒34

第三章透视画与射影几何36

§1 绘画与透视36

1.1绘画体系36

1.2一个标准，两种风格37

1.3黄金分割37

1.4希腊的数学精神与裸体艺术41

1.5新的时代，新的艺术42

1.6引入第三维43

1.7郑板桥画竹44

1.8数学的引入45

1.9艺术家丢勒47

1.10数学定理47

1.11名画挂在什么地方49

1.12对透视体系的议论49

1.13完美的结合，艺术的顶峰50

1.14从艺术中诞生的科学53

性灵出万象——达·芬奇54

2.1点列与线束的透视关系55

§2射影几何浅窥55

2.2椭圆、双曲线和抛物线作为圆周的投影57

2.3无穷远点的引入57

2.4射影平面58

2.5交比60

2.6调和比62

2.7含无穷远点的交比62

2.8四条直线的交比63

2.9对偶原理63

2.10三个美妙的定理64

直觉主义的先驱——帕斯卡66

第四章音乐之声与傅里叶分析67

§1 音乐——听觉的艺术67

1.1送往天外的音乐67

1.2多维艺术68

§2音律的确定68

2.1乐音体系68

2.2古希腊音律的确定69

2.3古代中国对音律的贡献70

2.4十二平均律72

§3数学与音乐的进一步联系74

3.1梅森的定律74

3.2黄金分割与作曲74

3.3伟大的傅里叶75

§4简谐振动与傅里叶分析76

4.1简谐振动76

4.2弹簧的振动76

4.3傅里叶的定理79

4.4调幅与调频82

4.6科学与艺术84

4.5声学特性与艺术情趣84

此时无声胜有声——傅里叶85

第五章漫步数学史86

§1 学点数学发展史86

1.1为什么要学点数学史？86

1.2四个质不同的时期87

1.320世纪以来数学科学发展的主要趋势90

§2 数学文明的发祥91

2.1埃及——几何的故乡91

2.2巴比伦——代数的源头92

2.3 印度——阿拉伯数字的诞生地94

第六章现代文明的发源地——希腊96

§1演绎数学的发样97

1.1数学精神的诞生97

1.2泰勒斯的贡献98

§2 毕达哥拉斯学派98

2.1自然数是万物之母98

2.2毕达哥拉斯学派对数学的主要贡献99

2.3第一次数学危机103

2.4第一次数学危机的消除105

2.5几何作主导106

§3希腊的几何学107

3.1亚历山大时期107

3.2欧几里得的《几何原本》107

3.3正多边形作图108

3.4五种正多面体108

3.5多面体与宇宙观111

3.6圆锥曲线112

§4 亚历山大时期的数学112

4.1数学在新时期的特点——同哲学断了交，同工程结了盟112

4.2主要数学成果概述113

§5阿基米德的平衡法116

5.1穷竭法116

5.2阿基米德的平衡法116

§6 柏拉图与亚里士多德论数学118

6.1赏心而不悦目119

6.2自然界是一个真实的世界119

练习题120

独占鳌头两千年——欧几里得121

第七章大哉，中华——中国数学史122

1.2《九章算术》123

§1 两汉时期的数学123

1.1《周髀算经》与勾股定理123

§2 魏晋、南北朝时期的数学127

2.1刘徽的数学成就127

2.2百鸡问题128

2.3祖冲之父子的贡献129

2.4中国古代的代数131

§3 宋元时期的数学131

3.1贾宪三角和增乘开方法131

3.2秦九韶与大衍求一术132

3.3天元术与四元术133

3.4高阶等差级数与内插法134

3.5古代数学发展的停滞136

割圆人间细，方盖宇宙精——刘徽136

领先世界一千年——祖冲之137

第八章文艺复兴后的数学138

§1 数学的新进展138

1.1阿拉伯的数学138

1.2对数的认识138

1.3符号体系139

§2 新数学的诞生140

2.1解析几何的诞生140

2.2微积分产生的主要因素140

2.3积分学早期史140

§3第二次数学危机147

3.1英雄世纪147

3.2第二次数学危机147

3.3柯西的功绩149

3.4外尔斯特拉斯的规划150

3.5有理数151

3.6戴德金分划154

3.7实数的性质155

3.8实数集合的有序化156

3.9实数集合的连续性157

我站在巨人们的肩上——牛顿158

微积分的创始者，数理逻辑的奠基人——莱布尼茨159

数学分析的奠基人——柯西160

大器晚成——外尔斯特拉斯161

1.1欧氏几何的历史地位162

1.2几何学在数学教育中的地位162

第九章来自几何学的思想162

§1 欧氏几何回顾162

1.3演绎法的基本特色163

1.4欧氏几何的内容164

1.5几何学的进一步发展165

§2非欧几何167

2.1非欧几里得几何的诞生167

2.2黎曼的非欧几何168

2.3从宇宙飞船上看地球168

2.5双曲几何的模型169

2.4球面几何169

§3几何学的分类171

3.1三种几何学的异同171

3.2非欧几何诞生的意义172

3.3爱尔兰根纲领173

§4解析几何173

4.1管卡儿的两个概念174

4.2解析几何的伟大意义175

4.3解析几何解决的主要问题175

4.4老子的哲学177

几何学中的哥白尼——罗巴切夫斯基178

深邃的几何学家——B．黎曼179

第十章数学方法漫谈（1）180

§1 演绎法181

§2 类比法182

2.1描述182

2.2说理182

2.3发现新定理184

2.4蘑菇是丛生的187

2.5类比推理与人工智能187

3.1归纳与数学归纳法188

§3 归纳与数学归纳法188

3.2等周定理的证明191

3.3归纳思维的新进展192

练习题193

分析的化身——欧拉194

第十一章数学方法漫谈（2）195

§1笛卡儿的研究方法195

1.1笛卡儿的方法论195

1.2如何化繁为简196

1.3特殊化与一般化196

1.4更上一层楼198

1.5猜测199

1.6类比是认识高维空间的必由之路200

§2孙子定理与插值理论200

2.1孙子定理200

2.2插值理论204

2.3求和公式205

§3 小结205

一宵奇梦定终生——笛卡儿206

1.2带余数除法208

1.1整除208

§1 带余数除法208

第十二章辗转相除法208

1.3带余数除法的重要性209

§2辗转相除法211

2.1最大公因数211

2.2辗转相除法（欧几里得算法）212

§3正多边形作图213

3.1正五边形作图213

3.2两个定理213

3.3高斯定理214

4.1不定方程研究什么215

§4不定方程215

4.2可解的充要条件216

4.3通解公式216

4.4二元一次不定方程的非负解217

练习题219

少些，但要成熟——高斯220

第十三章天文与数学221

§1 日月星辰与我们221

1.1问题221

1.2为什么要学点天文学？221

1.3如何制定精确的日历？222

§2连分数223

2.1一种奇特的分数——连分数223

2.2简单连分数224

2.3渐近分数224

§3历法的制定226

3.1天下共有几种历法？226

3.2为什么四年一闰，而百年又少一闰？226

3.3公历的改革227

3.5二十四节气228

3.4农历的月大月小、闰年闰月228

3.6闰月放在哪儿？229

3.7干支纪年230

3.8国际公历是如何来的？231

3.9公历的纪元233

练习题234

第十四章无限的世界235

§1进入无限235

1.1有限与无限236

1.2是奇特，还是矛盾？236

1.5跨越断层237

1.3实无限与潜无限237

1.4对无限认识的三个阶段237

1.6 关键思想——一一对应238

§2 从自然数集到有理数集240

§3线段与正方形242

3.1线段与直线间的一一对应242

3.2十进小数243

3.3线段与正方形的一一对应243

§4 有更大的无限集吗？244

3.5正确的对应244

3.4遗留的问题244

4.1不同的势的存在245

4.2实数集是不可数的245

4.3存在性证明247

4.4代数数247

4.5无限的算术249

4.6结语250

练习题250

我们必须知道，我们必将知道——希尔伯特251

无限的拓荒者——康托尔251

第十五章几何三大难题253

§1 问题的提出和解决253

1.1数学的心脏253

1.2希腊古典时期数学发展的路线253

1.3几何作图三大问题254

1.4问题的来源254

1.5“规”和“矩”的规矩254

1.6问题的解决255

§2 放弃“规矩”之后255

2.1帕普斯的方法255

2.2阿基米德的方法256

2.4达·芬奇的化圆为方257

§3从几何到代数257

3.1用直尺圆规可以作什么图257

2.3时钟也会三等分任意角257

3.2域的定义259

3.3可构造数域260

3.4进一步的讨论261

§4几个代数定理263

4.1根与系数的关系263

3.5可作图的数都是代数数263

4.2 3次方程的根265

§5几何作图三大问题的解267

5.1倍积问题267

5.2三等分任意角267

5.3化圆为方268

练习题268

第十六章回顾与展望269

§1 第三次数学危机269

1.1对数学基础的探讨269

1.2什么是悖论？269

1.3悖论与艺术270

2.1逻辑主义271

§2数学基础271

2.2直觉主义272

2.3形式主义272

§3哥德尔的不完全性定理273

§4新的黄金时代274

§5数学家及其活动与数学社团的成立275

5.1数学家及其活动275

5.2数学社团的成立276

6.1菲尔兹奖277

§6 两个大奖：菲尔兹奖和沃尔夫奖277

6.2沃尔夫奖279

§7希尔伯特问题与20世纪的数学279

§8七加一数学奖问题280

8.1克莱数学促进会280

8.2千禧年悬赏数学问题简介281

8.3另一个价值百万的数学之谜281

自在如神之笔，凌云迈往之气——庞加莱282

永远的不完全——哥德尔283

参考书目284