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第1章 n阶行列式1

知识点考点精要1

1.排列与逆序1

2.n阶行列式的定义1

3.行列式的性质1

4.行列式按行(列)展开定理2

5.拉普拉斯展开定理2

6.范德蒙行列式2

7.克莱姆法则3

典型题真题精解4

1.基本概念(题1.1～题1.11)4

2.基本性质(题1.12～题1.24)7

3.行列式的计算方法(题1.25～题1.100)13

(1)降阶法(题1.25～题1.35)13

(2)三角行列式法(题1.36～题1.54)17

(3)应用范德蒙行列式法(题1.55～题1.61)27

(4)升阶法(题1.62～题1.65)30

(5)递推法(题1.66～题1.77)34

(6)归纳法(题1.78～题1.81)41

(7)多项式法(题1.82～题1.88)43

(8)分解法(题1.89～题1.95)45

(9)换元法(题1.96～题1.100)49

4.克莱姆(Cramer)法则及应用(题1.101～题1.107)52

第2章 矩阵及其运算57

知识点考点精要57

1.矩阵的概念57

2.几种特殊矩阵57

(1)n阶单位矩阵57

(2)矩阵的减法58

(1)矩阵的加法58

(3)数与矩阵相乘58

(4)矩阵的乘法58

(4)上(下)三角矩阵58

(3)对称矩阵58

(2)n阶对角矩阵58

3.矩阵的运算58

(5)矩阵的转置59

(6)方阵的行列式59

(7)共轭矩阵59

4.逆矩阵59

5.分块矩阵60

6.矩阵的初等变换61

典型题真题精解62

1.矩阵的线性运算及乘法(方)运算(题2.1～题2.53)62

2.逆矩阵及其求法(题2.54～题2.92)82

3.矩阵方程的求解(题2.93～题2.109)97

(1)分块矩阵的乘法(题2.110～题2.117)104

4.分块矩阵及其运算(题2.110～题2.136)104

(2)分块矩阵求逆(题2.118～题2.129)109

(3)分块矩阵的行列式(题2.130～题2.136)116

第3章 向量组的线性相关性与矩阵的秩121

知识点考点精要121

1.n维向量121

2.向量组的线性相关性121

3.矩阵的秩122

4.向量组的秩122

典型题真题精解123

1.向量的线性运算与线性表示(题3.1～题3.7)123

2.向量组线性相(无)关性的概念与判定(题3.8～题3.20)126

3.线性相(无)关与线性表示(题3.21～题3.40)133

4.证明向量组线性相(无)关(题3.41～题3.46)142

5.向量组间的等价、极大无关组及秩(题3.47～题3.79)144

6.矩阵的秩(题3.80～题3.102)157

第4章 线性方程组165

知识点考点精要165

1.线性方程组的几种形式165

2.线性方程组解的判别定理165

3.线性方程组解的性质及结构166

(1)解的性质166

(2)基础解系166

(3)解的结构166

4.线性方程组解的求法166

(1)Cramer法则166

(2)初等变换法166

典型题真题精解167

1.解的存在性及存在条件(题4.1～题4.20)167

2.基础解系(题4.21～题4.37)176

(1)齐次线性方程组(题4.38～题4.46)184

3.线性方程组求解及讨论(题4.38～题4.64)184

(2)非齐次线性方程组(题4.47～题4.64)191

4.线性方程组的同解性(题4.65～题4.79)205

5.线性方程组理论的应用(题4.80～题4.97)213

第5章 相似矩阵与二次型222

知识点考点精要222

1.相似矩阵222

(1)矩阵的特征值和特征向量222

(2)矩阵的相似222

(3)实对称阵的对角化223

2.二次型224

(1)二次型及其矩阵表示224

(2)二次型的标准形、规范形225

(3)正定二次型225

1.方阵的特征值、特征向量及特征多项式(题5.1～题5.48)226

典型题真题精解226

2.矩阵的相似及对角化(题5.49～题5.81)243

3.正交阵与实对称阵的对角化(题5.82～题5.100)259

4.二次型的标准化，规范化及其秩，正、负惯性指数的确定(题5.101～题5.134)269

5.正定二次型、正定阵的判定及其应用(题5.135～题5.183)288

第6章 线性空间与线性变换308

知识点考点精要308

1.线性空间308

(1)定义308

(2)性质308

(3)基、维数308

(4)坐标309

(5)基变换与坐标变换309

(6)线性空间的同构309

(2)性质310

(3)线性变换的象及核310

2.线性变换310

(1)定义310

(7)子空间310

(4)线性变换的运算311

(5)线性变换的矩阵表示式311

(6)线性变换与坐标311

(7)线性变换的特征值及特征向量311

典型题真题精解312

1.线性空间、基和维数(题6.1～题6.15)312

2.子空间(题6.16～题6.34)318

3.坐标及坐标变换、线性空间的同构(题6.35～题6.49)326

4.线性变换(题6.50～题6.62)333

5.线性变换的矩阵(题6.63～题6.79)338

附录 2004年硕士研究生考试线性代数试题及解答348