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第一篇 高等数学1

第一章 函数 极限 连续1

考点与要求1

1函数1

内容精讲1

一、定义1

二、重要性质、定理、公式4

例题分析5

一、求分段函数的复合函数5

二、求反函数的表达式6

三、关于函数有界（无界）的讨论7

2极限8

内容精讲8

一、定义8

二、重要性质、定理、公式9

三、计算极限的一些有关方法10

例题分析13

一、求函数的极限13

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限19

三、含有|x|，e1-x的x→0时的极限，含有取整函数[x]的x趋于整数时的极限22

四、无穷小的比较23

五、数列的极限24

六、极限运算定理的正确运用28

3函数的连续与间断31

内容精讲31

一、定义31

二、重要性质、定理、公式32

例题分析32

一、讨论函数的连续与间断32

二、在连续条件下求参数34

三、连续函数的零点问题34

自测题35

自测题答案与提示38

第二章 一元函数微分学44

考点与要求44

1导数与微分，导数的计算44

内容精讲44

一、定义44

二、重要性质、定理、公式45

例题分析48

一、按定义求一点处的导数48

二、已知f （x）在某点2=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f （x）在x =x0处的导数50

三、绝对值函数的导数57

四、由极限式表示的函数的可导性58

五、导数与微分、增量的关系59

六、求导数的计算题59

2导数的应用62

内容精讲62

一、定义62

二、重要性质、定理、公式与方法63

例题分析65

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论65

二、渐近线69

三、曲率与曲率圆70

四、最大值、最小值问题70

3中值定理、不等式与零点问题71

内容精讲71

一、重要定理71

二、重要方法73

例题分析74

一、不等式的证明74

二、f （x）的零点与f′（x）的零点问题79

三、复合函数ψ（x， f （x），f′（x））的零点81

四、复合函数ψ（x， f （x）， f′ （x）， f ″（x））的零点82

五、“双中值”问题83

六、零点的个数问题84

七、证明存在某ξ满足某不等式85

八、f′（x）与f （x）的一些极限性质的关系86

自测题87

自测题答案与提示90

第三章 一元函数积分学99

考点与要求99

1不定积分与定积分的概念、性质、理论99

内容精讲99

一、定义99

二、重要性质、定理、公式100

例题分析102

一、分段函数的不定积分与定积分102

二、定积分与原函数的存在性105

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分105

2不定积分与定积分的计算109

内容精讲109

一、基本积分公式109

二、基本积分方法109

例题分析112

一、简单有理分式的积分112

二、三角函数的有理分式的积分113

三、简单无理式的积分114

四、两种不同类型的函数相乘的积分115

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分117

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分118

七、含参变量带绝对值号的定积分120

3反常积分及其计算121

内容精讲121

一、定义121

二、重要性质、定理、公式122

例题分析124

一、反常积分的计算124

二、关于奇、偶函数的反常积分126

三、关于反常积分敛散性的判定127

4定积分的应用128

内容精讲128

一、基本方法128

二、重要几何公式与物理应用129

例题分析131

一、几何应用131

二、物理应用133

5定积分的证明题137

内容精讲137

例题分析138

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等138

二、由积分定义的函数求极限139

三、积分不等式的证明140

四、零点问题146

自测题148

自测题答案与提示152

第四章 向量代数与空间解析几何163

考点与要求163

1向量代数163

内容精讲163

一、与向量有关的基本概念163

二、向量的运算及性质164

例题分析165

一、向量的运算165

二、向量运算的应用及向量的位置关系167

2平面与直线168

内容精讲168

一、平面方程168

二、直线方程169

三、平面与直线间的位置关系169

例题分析170

一、建立平面方程170

二、建立直线方程172

三、与平面和直线的位置关系有关的问题174

3空间曲面与曲线176

内容精讲176

一、旋转面及其方程176

二、柱面及其方程177

三、常见的二次曲面及图形177

四、空间曲线及其方程178

五、空间曲线的投影179

例题分析179

一、建立柱面方程179

二、建立旋转面方程180

三、建立空间曲线的投影曲线方程182

自测题182

自测题答案与提示184

第五章 多元函数微分学187

考点与要求187

1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分187

内容精讲187

一、多元函数187

二、二元函数的极限与连续188

三、二元函数的偏导数与全微分188

例题分析190

一、讨论二重极限190

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性192

三、讨论二元函数的可微性194

2多元函数的微分法197

内容精讲197

一、复合函数的偏导数与全微分198

二、隐函数的偏导数与全微分199

例题分析200

一、求复合函数的偏导数与全微分200

二、求隐函数的偏导数与全微分208

3极值与最值214

内容精讲214

一、无条件极值214

二、条件极值215

例题分析215

一、无条件极值问题215

二、条件极值（最值）问题218

三、多元函数的最大（小）值问题219

4方向导数与梯度及多元微分在几何上的应用225

内容精讲225

一、方向导数225

二、梯度225

三、曲面的切平面与法线226

四、曲线的切线和法平面226

例题分析227

一、有关方向导数与梯度227

二、有关曲面的切平面和曲线的切线230

自测题233

自测题答案与提示236

第六章 多元函数积分学244

考点与要求244

1重积分244

内容精讲244

一、二重积分244

二、三重积分247

例题分析250

一、计算二重积分250

二、累次积分交换次序及计算261

三、与二重积分有关的综合题263

四、与二重积分有关的积分不等式问题266

五、计算三重积分269

六、三重积分的累次积分273

2曲线积分274

内容精讲274

一、对弧长的线积分（第一类线积分）274

二、对坐标的线积分（第二类线积分）275

例题分析277

一、对弧长的线积分（第一类线积分）277

二、对坐标的线积分279

3曲面积分289

内容精讲289

一、对面积的面积分（第一类面积分）289

二、对坐标的面积分（第二类面积分）290

例题分析292

一、对面积的面积分292

二、对坐标的面积分295

4场论初步302

内容精讲302

一、梯度302

二、通量302

三、散度303

四、旋度303

例题分析303

一、梯度、旋度、散度的计算303

5多元积分的应用304

内容精讲304

例题分析306

一、几何应用306

二、求物理量307

自测题311

自测题答案与提示316

第七章 无穷级数326

考点与要求326

1常数项级数326

内容精讲326

一、级数的概念与性质326

二、级数的判敛准则327

例题分析329

一、正项级数敛散性的判定329

二、交错级数敛散性的判定334

三、任意项级数敛散性判定337

四、有关常数项级数的证明题与综合题342

2幂级数348

内容精讲348

一、函数项级数及收敛域与和函数348

二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域348

三、幂级数的性质349

四、函数的幂级数展开349

例题分析350

一、求函数项级数的收敛域350

二、将函数展开为幂级数355

三、级数求和358

3傅里叶级数364

内容精讲364

一、三角函数及其正交性364

二、傅里叶级数364

三、收敛性定理364

四、周期为2π的函数的傅里叶展开365

五、周期为2ι的函数的傅里叶展开365

例题分析366

一、有关收敛定理的问题366

二、将函数展开为傅里叶级数367

自测题369

自测题答案与提示373

第八章 微分方程381

考点与要求381

1微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法381

内容精讲381

一、定义381

二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法382

例题分析384

一、识别类型，对号入座，按类型求解384

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题386

三、积分方程化为微分方程求解387

四、偏微分方程化为常微分方程求解389

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解391

2二阶及高阶线性微分方程392

内容精讲392

一、定义392

二、重要性质、定理、公式392

例题分析394

一、识别类型，对号入座，按类型求解394

二、用变量代换解微分方程397

三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解399

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式400

五、已知方程的解求方程400

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系402

七、欧拉方程求解403

3微分方程的应用403

内容精讲403

一、几何问题403

二、变化率问题404

三、牛顿第二定律或运动等问题405

四、微元法建立微分方程406

自测题407

自测题答案与提示409

第二篇 线性代数416

第一章 行列式416

考点与要求416

内容精讲416

例题分析419

一、数字型行列式的计算420

二、抽象型行列式的计算427

三、行列式|A|是否为零的判定429

四、关于代数余子式求和430

自测题432

自测题答案与提示433

第二章 矩阵436

考点与要求436

内容精讲436

1矩阵的概念及运算436

一、矩阵的概念436

二、矩阵的运算437

三、矩阵的运算规则438

四、特殊矩阵439

2可逆矩阵439

一、可逆矩阵的概念439

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件439

三、逆矩阵的运算性质440

四、求逆矩阵的方法440

3初等变换、初等矩阵440

一、定义440

二、初等矩阵与初等变换的性质441

4矩阵的秩441

一、矩阵秩的概念442

二、矩阵秩的公式442

5分块矩阵442

一、分块矩阵的概念442

二、分块矩阵的运算443

例题分析444

一、矩阵的概念及运算444

二、特殊方阵的幂448

三、伴随矩阵的相关问题452

四、可逆矩阵的相关问题456

五、初等变换、初等矩阵460

六、矩阵秩的计算463

七、矩阵方程的求解466

自测题469

自测题答案与提示471

第三章 向量473

考点与要求473

内容精讲473

1向量组的线性相关性473

2极大线性无关组、秩475

3向量空间477

例题分析479

一、线性相关性的判别479

二、向量的线性表示482

三、向量组线性无关的证明484

四、秩和极大线性无关组488

五、向量空间495

自测题499

自测题答案与提示501

第四章 线性方程组503

考点与要求503

内容精讲503

1克莱姆法则503

2齐次线性方程组504

3非齐次线性方程组505

例题分析507

一、线性方程组的基本概念题507

二、线性方程组的求解512

三、基础解系519

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A521

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系524

六、两个方程组的公共解526

七、同解方程组528

八、线性方程组的有关杂题531

自测题534

自测题答案与提示536

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵538

考点与要求538

内容精讲538

1特征值、特征向量538

一、特征值，特征向量538

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵538

三、特征值的性质538

四、求特征值、特征向量的方法539

2相似矩阵、矩阵的相似对角化539

一、相似矩阵539

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件539

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件540

3实对称矩阵的相似对角化540

一、实对称阵540

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化540

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤541

例题分析541

一、特征值，特征向量的求法541

二、两个矩阵有相同的特征值的证明546

三、关于特征向量547

四、矩阵是否相似于对角阵的判别549

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数552

六、由特征值、特征向量反求A553

七、矩阵相似及相似标准形556

八、相似对角阵的应用562

自测题568

自测题答案与提示570

第六章 二次型574

考点与要求574

内容精讲574

1二次型的概念、矩阵表示574

一、二次型概念574

二、二次型的矩阵表示574

2化二次型为标准形、规范形、575

合同二次型575

一、二次型的标准形，规范形575

二、化二次型为标准形，规范形576

三、合同矩阵，合同二次型576

3正定二次型、正定矩阵577

例题分析578

一、二次型的矩阵表示578

二、化二次型为标准形579

三、合同矩阵、合同二次型585

四、正定性的判别588

五、正定二次型的证明594

六、综合杂题595

自测题598

自测题答案与提示600

第三篇 概率论与数理统计602

第一章 随机事件和概率602

考点与要求602

1事件、样本空间、事件间的关系与运算602

内容精讲602

例题分析605

2概率、条件概率、独立性和五大公式606

内容精讲606

例题分析608

3古典概型与伯努利概型613

内容精讲613

例题分析614

自测题616

自测题答案与提示618

第二章 随机变量及其概率分布624

考点与要求624

1随机变量及其分布函数624

内容精讲624

例题分析625

2离散型随机变量和连续型随机变量626

内容精讲626

例题分析627

3常用分布629

内容精讲629

例题分析631

4随机变量函数的分布635

内容精讲635

例题分析635

自测题637

自测题答案与提示639

第三章 多维随机变量及其分布644

考点与要求644

1二维随机变量及其分布644

内容精讲644

例题分析647

2随机变量的独立性652

内容精讲652

例题分析652

3二维均匀分布和二维正态分布656

内容精讲656

例题分析657

4两个随机变量函数Z=g（X，Y）660

的分布660

内容精讲660

例题分析661

自测题667

自测题答案与提示669

第四章 随机变量的数字特征677

考点与要求677

1随机变量的数学期望和方差677

内容精讲677

例题分析679

2矩、协方程差和相关系数686

内容精讲686

例题分析687

自测题695

自测题答案与提示697

第五章 大数定律和中心极限定理703

考点与要求703

内容精讲703

例题分析704

自测题706

自测题答案与提示707

第六章 数理统计的基本概念710

考点与要求710

1总体、样本、统计量和样本数字特征710

内容精讲710

例题分析711

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布713

内容精讲713

例题分析716

自测题720

自测题答案与提示721

第七章 参数估计726

考点与要求726

1点估计726

内容精讲726

例题分析727

2估计量的求法和区间估计731

内容精讲731

例题分析734

自测题737

自测题答案与提示739

第八章 假设检验744

考点与要求744

内容精讲744

例题分析746

自测题749

自测题答案与提示750