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历史介绍1

第一章 算术基本定理11

1.1引言11

1.2整除性12

1.3最大公约数12

1.4素数14

1.5算术基本定理15

1.6素数倒数的级数16

1.7欧几里得算法17

1.8两个以上的数的最大公约数18

第一章习题18

第二章 数论函数与迪利克雷乘积21

2.1引言21

2.2麦比乌斯函数μ（n）21

2.3欧拉函数？（n）22

2.4？与μ的相互关系23

2.5？（n）的一个乘积公式24

2.6数论函数的迪利克雷乘积25

2.7迪利克雷逆函数与麦比乌斯反转公式27

2.8Mangoldt函数A（n）28

2.9积性函数29

2.10积性函数与迪利克雷乘积30

2.11完全积性函数的逆函数32

2.12柳维尔函数λ（n）33

2.13除数函数σα（n）33

2.14广义卷积35

2.15形式幂级数36

2.16数论函数的Bell级数37

2.17Bell级数与迪利克雷乘积38

2.18数论函数的导数39

2.19塞尔伯格等式40

第二章习题40

第三章 数论函数的平均值46

3.1引言46

3.2大0符号，函数的渐近等式47

3.3欧拉求和公式48

3.4几个基本渐近公式49

3.5d（n）的平均阶50

3.6除数函数σα（n）的平均阶53

3.7？（n）的平均阶54

3.8对于由原点可见的格点分布的应用55

3.9μ（n）与Λ（n）的平均阶57

3.10迪利克雷乘积的部分和57

3.11对μ（n）与Λ（n）的应用58

3.12迪利克雷乘积的部分和的另一个等式61

第三章习题62

第四章素数分布的几个基本定理66

4.1引言66

4.2切比雪夫函数ψ(x）与g（x）67

4.3联系g(x）与π（x）的关系式68

4.4素数定理的几个等价形式71

4.5π（n）与Pn的一些不等式73

4.6Shapiro Tauberian定理76

4.7Shapiro定理的应用78

4.8部分和Σp≤x（1/P）的一个渐近公式80

4.9麦比乌斯函数的部分和81

4.10素数定理初等证明的简短概要87

4.11塞尔伯格渐近公式88

第四章习题89

第五章 同余95

5.1同余的定义与基本性质95

5.2剩余类与完全剩余系98

5.3一次同余式99

5.4简化剩余系与欧拉-费马定理101

5.5模P的多项式同余式，拉格朗日定理102

5.6拉格朗日定理的应用103

5.7一次同余式组，中国剩余定理104

5.8中国剩余定理的应用105

5.9模是素数方幂的多项式同余式107

5.10交叉分类原理109

5.11简化剩余系的分解性111

第五章习题113

第六章 有限Abel群及其特征115

6.1定义115

6.2群和子群的例子116

6.3群的基本性质116

6.4子群的结构117

6.5有限Abel群的特征119

6.6特征群121

6.7特征的正交关系式121

6.8迪利克雷特征123

6.9含有迪利克雷特征的和125

6.10对于实的非主特征X，L（1，X）不等于零127

第六章习题129

第七章 算术级数里素数的迪利克雷定理131

7.1引言131

7.2形如4n-1和4n＋1的素数的迪利克雷定理132

7.3迪利克雷定理的证明方案133

7.4引理7.4的证明135

7.5引理7.5的证明135

7.6引理7.6的证明137

7.7引理7.8的证明137

7.8引理7.7的证明137

7.9算术级数里素数的分布139

第七章习题140

第八章 周期数论函数与高斯和141

8.1模k的周期函数141

8.2周期数论函数的有限傅立叶级数的存在性142

8.3拉马努然和及其推广144

8.4和Sk（n）的乘法性质146

8.5与迪利克雷特征相伴的高斯和148

8.6具有非零高斯和的迪利克雷特征150

8.7诱导模与本原特征151

8.8诱导模的进一步的性质152

8.9特征的前导子154

8.10本原特征与可分的高斯和154

8.11迪利克雷特征的有限傅立叶级数155

8.12本原特征部分和波利亚不等式156

第八章习题158

第九章 二次剩余与二次互反律161

9.1二次剩余161

9.2勒让德符号及其性质162

9.3（-1/P）与（2/P）的值164

9.4高斯引理165

9.5二次互反律168

9.6互反律的应用170

9.7雅可比符号172

9.8对丢番图方程的应用175

9.9高斯和与二次互反律176

9.10二次高斯和的互反律179

9.11二次互反律的另一个证明185

第九章习题185

第十章 原根188

10.1数的次数mod m，原根188

10.2原根与简化剩余系189

10.3对α≥3，模2α的原根不存在190

10.4对奇素数P，模P的原根存在190

10.5原根与二次剩余192

10.6模Pα的原根存在192

10.7模2Pα的原根存在194

10.8其他情况下原根不存在194

10.9模m的原根的个数195

10.10指数的计算197

10.11原根与迪利克雷特征200

10.12模Pα的实值迪利克雷特征202

10.13模Pα的本原迪利克雷特征203

第十章习题205

第十一章 迪利克雷级数与欧拉乘积207

11.1引言207

11.2迪利克雷级数绝对收敛的半平面208

11.3由迪利克雷级数定义的函数209

11.4迪利克雷级数的乘积211

11.5欧拉乘积213

11.6迪利克雷级数收敛的半平面215

11.7迪利克雷级数的解析性质217

11.8具有非负系数的迪利克雷级数219

11.9迪利克雷级数表示为迪利克雷级数的指数220

11.10迪利克雷级数的平均值公式222

11.11迪利克雷级数系数的一个积分公式224

11.12迪利克雷级数部分和的一个积分公式225

第十一章习题229

第十二章 函数ζ（S）和L（s，X）232

12.1引言232

12.2 Gamma 函数的性质233

12.3胡尔维茨zeta函数的积分表示234

12.4胡尔维茨zeta函数的围道积分表示236

12.5胡尔维茨zeta函数的解析开拓237

12.6ζ（s）与L（s，X）的解析开拓238

12.7ζ（s，a）的胡尔维茨公式239

12.8黎曼zeta函数的函数方程242

12.9胡尔维茨zeta函数的函数方程243

12.10L-函数的函数方程244

12.11求ζ（-n，a）的值246

12.12伯努利数与伯努利多项式的性质248

12.13L（0，X）的公式250

12.14用有限和逼近ζ（s，a）251

12.15︳ζ（s，a）︳的不等式253

12.16︳ζ（s）︳与︳L（s，X）︳的不等式255

第十二章习题256

第十三章 素数定理的解析证明261

13.1证明的方案261

13.2引理263

13.3ψ1（x）/x2的围道积分表示266

13.4直线σ＝1附近︳ζ（s）︳与︳ζ'（s）︳的上界268

13.5在直线σ＝1上ζ（s）不为零269

13.6|1/ζ（s)|与|ζ'（s）/ζ（s）|的不等式271

13.7素数定理证明的完成272

13.8ζ（s）的无零点区域275

13.9黎曼假设277

13.10对除数函数的应用277

13.11对欧拉函数的应用280

13.12特征和的波利亚不等式的推广283

第十三章习题284

第十四章 分拆288

14.1引言288

14.2分拆的几何表示291

14.3分拆的生成函数291

14.4欧拉五边形数定理294

14.5欧拉五边形数定理的组合证明297

14.6p（n）的欧拉递推公式298

14.7p（n）的上界299

14.8雅可比三重积等式301

14.9雅可比等式的推论303

14.10生成函数的对数微分304

14.11拉马努然的分拆等式306

第十四章习题307

附录“哥德巴赫猜想”研究综览311

特殊符号索引318

编辑手记320