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1 函数的极限与连续1

1.1 函数1

1.1.1 变量与常用数集1

1.1.2 函数的基本概念2

1.1.3 函数的几种基本性态7

1.1.4 初等函数9

习题1.116

1.2 数列的极限17

1.2.1 数列定义17

1.2.2 数列的极限17

习题1.220

1.3 函数的极限21

1.3.1 自变量x无限增大时的函数极限21

1.3.2 自变量x趋于有限值时的函数极限23

1.3.3 子极限27

1.3.4 极限不存在的情形28

1.3.5 极限的性质30

习题1.331

1.4 无穷小量与无穷大量32

1.4.1 无穷小量32

1.4.2 无穷大量35

1.4.3 无穷大量与无穷小量之间的关系36

习题1.436

1.5 极限运算法则37

1.5.1 极限的四则运算法则37

1.5.2 复合函数的极限运算法则43

习题1.544

1.6 极限存在准则及两个重要极限45

1.6.1 准则Ⅰ（夹逼准则）45

1.6.2 准则Ⅱ（单调有界准则）48

习题1.651

1.7 无穷小量的比较52

习题1.756

1.8 函数的连续性57

1.8.1 函数连续性的概念57

1.8.2 函数的间断点59

1.8.3 连续函数的运算法则62

1.8.4 初等函数的连续性64

习题1.865

1.9 闭区间上连续函数的性质66

1.9.1 最大值与最小值定理66

1.9.2 有界性定理67

1.9.3 零点存在定理与介值定理68

习题1.969

总复习题169

2 一元函数微分学71

2.1 导数的概念71

2.1.1 导数的概念71

2.1.2 导数的几何意义77

2.1.3 函数的可导性与连续性之间的关系78

习题2.179

2.2 导数的运算法则与基本公式79

2.2.1 求导的四则运算法则80

2.2.2 反函数与复合函数的求导法则82

2.2.3 求导的基本公式84

2.2.4 初等函数的导数85

习题2.287

2.3 高阶导数88

习题2.392

2.4 隐函数与参数方程确定的函数的导数92

2.4.1 隐函数的导数93

2.4.2 参数方程确定的函数的导数95

2.4.3 相关变化率97

习题2.498

2.5 函数的微分及其应用99

2.5.1 微分的概念99

2.5.2 微分的几何意义102

2.5.3 微分的运算法则102

2.5.4 微分在近似计算中的应用104

习题2.5105

总复习题2105

3 微分中值定理与导数的应用107

3.1 微分中值定理107

3.1.1 罗尔定理107

3.1.2 拉格朗日中值定理109

3.1.3 柯西中值定理112

习题3.1113

3.2 洛必达法则113

3.2.1 0/0型未定式114

3.2.2 ∞/∞型未定式117

3.2.3 其他类型未定式117

习题3.2119

3.3 泰勒公式120

3.3.1 泰勒多项式120

3.3.2 泰勒中值定理121

习题3.3126

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性126

3.4.1 函数的单调性126

3.4.2 曲线的凹凸性与拐点129

习题3.4132

3.5 函数的极值及最大值与最小值133

3.5.1 函数的极值133

3.5.2 函数的最大值与最小值136

习题3.5138

3.6 函数图形的描绘139

3.6.1 曲线的渐近线139

3.6.2 函数图形的描绘141

习题3.6143

3.7 曲率144

3.7.1 弧微分144

3.7.2 曲率与曲率半径146

习题3.7151

总复习题3151

4 不定积分153

4.1 不定积分的概念与性质153

4.1.1 原函数153

4.1.2 不定积分154

4.1.3 基本积分公式155

4.1.4 不定积分的性质156

习题4.1158

4.2 不定积分的换元积分法158

4.2.1 第一类换元积分法159

4.2.2 第二类换元积分法163

习题4.2168

4.3 不定积分的分部积分法169

习题4.3173

4.4 有理函数和可化为有理函数的积分173

4.4.1 有理函数的积分173

4.4.2 三角有理函数的积分177

习题4.4178

4.5 积分表的使用179

4.5.1 被积函数的类型能直接从积分表中查找到179

4.5.2 被积函数的类型不能直接从积分表中查找到，需要先进行转换，再查表179

习题4.5180

总复习题4180

5 定积分182

5.1 定积分的概念与性质182

5.1.1 引例182

5.1.2 定积分的概念184

5.1.3 定积分的几何意义185

5.1.4 定积分的性质186

习题5.1190

5.2 微积分基本定理191

5.2.1 变上限积分函数及其导数191

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式192

习题5.2195

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法196

5.3.1 定积分的换元积分法196

5.3.2 定积分的分部积分法200

习题5.3202

5.4 反常积分203

5.4.1 无穷区间上的反常积分203

5.4.2 无界函数的反常积分205

习题5.4206

总复习题5207

6 定积分的应用209

6.1 定积分的元素法209

6.2 定积分在几何上的应用210

6.2.1 平面图形的面积210

6.2.2 体积214

6.2.3 平面曲线的弧长216

习题6.2218

6.3 定积分在物理上的应用220

6.3.1 变力沿直线做功220

6.3.2 侧压力221

6.3.3 引力222

习题6.3223

总复习题6223

参考答案225

附录Ⅰ 预备知识234

附录Ⅱ 一些常用的中学数学公式242

附录Ⅲ 几种常用的曲线（a＞0）244

附录Ⅳ 基本积分表247

附录Ⅴ MATLAB软件简介（上）258

参考文献283