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第1章 引论1

1.1数值计算研究的对象和特点1

1.2数值计算的误差2

1.2.1误差的来源与分类2

1.2.2误差与有效数字3

1.2.3函数值和算术运算的误差估计5

1.2.4计算机的浮点数表示及其舍入误差6

1.3误差定性分析与避免误差危害8

1.3.1病态问题与条件数8

1.3.2算法及其计算复杂性9

1.3.3数值方法的稳定性9

1.3.4避免误差危害的若干原则10

1.4向量、矩阵和连续函数的范数12

1.4.1向量和连续函数的内积12

1.4.2向量的范数13

1.4.3矩阵的范数15

1.4.4连续函数的范数20

习题一21

第2章 非线性方程求根23

2.1方程求根与二分法23

2.1.1引言23

2.1.2方程求根的二分法24

2.2迭代法及其收敛性26

2.2.1简单迭代法26

2.2.2局部收敛性与收敛阶29

2.3迭代加速收敛的方法31

2.3.1史蒂芬森加速迭代31

2.3.2埃特金加速收数法33

2.4牛顿迭代法34

2.4.1牛顿迭代法及其收敛34

2.4.2算法与算例35

2.4.3牛顿下山法37

2.4.4重根情形38

2.5割线法与抛物线法40

2.5.1割线法40

2.5.2抛物线法41

2.6非线性方程组的牛顿迭代法41

2.7 MATLAB程序代码与算例43

习题二45

第3章 解线性方程组的数值解法48

3.1引言48

3.2高斯消元和三角分解49

3.2.1高斯变换与高斯矩阵49

3.2.2高斯顺序消去法50

3.2.3矩阵的三角分解53

3.2.4高斯主元消去法55

3.3常用的直接三角分解方法57

3.3.1杜里特尔分解法57

3.3.2选主元的三角分解法60

3.3.3对称正定矩阵的乔里斯基分解、平方根法61

3.3.4三对角方程组的追赶法64

3.4方程组的性态和直接法的误差分析65

3.4.1病态方程组和矩阵的条件数65

3.4.2条件数的应用：方程组的解的误差估计67

3.5解线性方程组的迭代法71

3.5.1基本迭代72

3.5.2迭代法的收敛性75

3.6 MATLAB程序代码与算例83

习题三87

第4章 插值法92

4.1插值问题与插值多项式92

4.2拉格朗日插值93

4.2.1插值多项式的存在唯一性93

4.2.2线性插值与二次插值93

4.2.3 n次拉格朗日插值多项式95

4.2.4插值余项与误差估计96

4.3均差与牛顿插值公式98

4.3.1均差及其性质98

4.3.2牛顿插值100

4.4差分与牛顿前后插值公式102

4.4.1差分及其性质102

4.4.2等距节点插值公式104

4.5埃尔米特插值106

4.5.1埃尔米特插值多项式106

4.5.2重节点均差109

4.5.3牛顿形式的埃尔米特插值多项式110

4.6分段低次插值112

4.6.1多项式插值的收敛性问题112

4.6.2分段线性插值113

4.6.3分段三次埃尔米特插值114

4.7三次样条插值116

4.7.1三次样条函数116

4.7.2三弯矩方程117

4.7.3三次样条插值的收敛性120

4.8 MATLAB程序代码与算例120

习题四123

第5章 函数逼近及与曲线拟合126

5.1正交多项式126

5.1.1勒让德正交多项式128

5.1.2切比雷夫正交多项式130

5.1.3其他正交多项式131

5.2函数逼近132

5.2.1最佳平方逼近概念及其计算132

5.2.2利用勒让德正交多项式求最佳平方逼近多项式135

5.3最佳一致逼近多项式136

5.3.1基本概念及其理论136

5.3.2最佳一致逼近多项式的求法139

5.4曲线拟合的最小二乘法143

5.4.1一般最小二乘问题143

5.4.2矛盾方程组与最小二乘法147

5.4.3用正交函数作最小二乘拟合148

5.5 MATLAB程序代码与算例150

习题五153

第6章 数值积分与数值微分156

6.1数值积分基本概念156

6.1.1数值积分的基本思想156

6.1.2求积公式的代数精度157

6.1.3插值型求积公式158

6.1.4求积公式的收敛性与稳定性159

6.2牛顿—柯特斯公式160

6.2.1牛顿—柯特斯公式的建立160

6.2.2误差分析163

6.3复化求积公式164

6.3.1复化梯形公式164

6.3.2复化辛普森公式165

6.4龙贝格算法167

6.4.1变步长求积公式167

6.4.2龙贝格算法169

6.4.3理查森外推算法172

6.5高斯求积公式173

6.5.1高斯型求积公式的概念与性质173

6.5.2高斯—勒让德求积公式179

6.5.3高斯—切比雷夫求积公式181

6.6数值微分182

6.6.1机械求导法182

6.6.2中点求导法的加速183

6.6.3插值型的求导公式184

6.7 MATLAB程序代码与算例187

习题六189

第7章 代数特征值问题计算方法192

7.1幂法与反幂法192

7.1.1幂法192

7.1.2幂法的加速收敛方法195

7.1.3反幂法199

7.2正交变换及矩阵分解201

7.2.1 Givens变换和豪斯霍尔德变换201

7.2.2矩阵的QR分解204

7.2.3约化矩阵为Hessenberg形206

7.3 QR算法208

7.4 MATLAB程序代码与算例211

习题七213

第8章 常微分方程的数值解法216

8.1引言216

8.2欧拉方法217

8.2.1欧拉方法217

8.2.2隐式公式的计算219

8.2.3单步法的局部截断误差与阶219

8.3 R-K方法220

8.3.1 R-K法的基本思想220

8.3.2二阶R-K方法221

8.3.3四阶R-K方法222

8.3.4变步长的R-K方法223

8.4单步法的收敛性与稳定性224

8.4.1收敛性224

8.4.2稳定性226

8.5线性多步法228

8.5.1线性多步法的一般公式229

8.5.2 Adams方法229

8.6常微分方程组和高阶微分方程数值解232

8.6.1一阶常微分方程组的四阶R-K公式233

8.6.2高阶微分方程的数值解法234

8.7微分方程边值问题的数值解法235

8.8 MATLAB程序代码与算例237

习题八241

习题答案244

参考文献250