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前言2

第一部分　数理逻辑2

第1章　命题逻辑2

本章学习目标2

1.1　命题和命题联结词2

1.1.1 命题2

序2

1.1.2　命题联结词3

1.2　命题公式与解释7

1.2.1　命题公式7

1.2.2　命题公式的解释9

1.3.1　真值表10

1.3　真值表与等价公式10

1.3.2　命题公式的分类11

1.3.3　等价公式12

1.3.4　代入规则和替换规则15

1.4　对偶定理19

1.5　范式20

1.5.1　合取范式和析取范式20

1.5.2　主析取范式和主合取范式22

1.6　公式的蕴涵27

1.6.1　蕴涵的概念27

1.6.2　蕴涵式的证明方法28

1.7　其他联结词与最小联结词组29

1.7.1　其他联结词29

1.6.3　基本蕴涵式29

1.7.2　最小联结词组32

1.8　命题逻辑推理理论33

1.8.1　命题逻辑推理理论33

1.8.2　推理规则35

1.8.3　判断有效结论的常用方法36

本章小结39

习题一40

第2章　谓词逻辑43

本章学习目标43

2.1 谓词逻辑命题的符号化43

2.1.1　个体词与谓词43

2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化45

2.1.2　量词45

2.2　谓词逻辑公式与解释47

2.2.1 谓词逻辑的合式公式47

2.2.2　谓词的约束和替换49

2.2.3　谓词逻辑公式的解释50

2.3　谓词逻辑公式的等价与蕴涵52

2.3.1　谓词逻辑的等价公式52

2.3.2　谓词逻辑的蕴涵公式55

2.3.3　多个量词的使用56

2.4　前束范式57

2.5　谓词逻辑的推理理论59

本章小结63

习题二63

3.1.1 集合的基本概念68

3.1　集合的概念与表示68

3.1.2　集合的表示68

第二部分　集合论68

第3章　集合68

本章学习目标68

3.1.3　集合之间的关系69

3.2　集合的运算72

3.2.1　集合的交运算72

3.2.2　集合的并运算73

3.2.3　集合的补74

3.2.4　集合的对称差75

3.3　包含排斥原理76

本章小结79

习题三79

4.1　序偶与笛卡儿积82

4.1.1 有序n元组82

第4章　关系82

本章学习目标82

4.1.2　笛卡儿积的概念83

4.1.3　笛卡儿积的性质83

4.2　二元关系及其表示85

4.2.1　二元关系的概念85

4.2.2　二元关系的表示86

4.3　关系的运算88

4.3.1 关系的交、并、差、补运算88

4.3.2　关系的复合运算89

4.3.3　关系的逆运算92

4.4　关系的性质93

4.4.1 自反性和反自反性93

4.4.2　对称性和反对称性94

4.4.3　传递性94

4.4.4　关系性质的判定95

4.5　关系的闭包100

4.6　等价关系与集合的划分105

4.6.1 等价关系105

4.6.2　等价类106

4.6.3　集合的划分106

4.7.1 相容关系109

4.7　相容关系109

4.7.2　覆盖110

4.8　偏序关系112

4.8.1 偏序关系112

4.8.2　哈斯图113

4.8.3　全序关系114

4.8.4 良序关系116

本章小结117

习题四117

第5章　函数120

本章学习目标120

5.1　函数的概念120

5.2　函数的性质121

5.3.1　复合函数124

5.3　复合函数和逆函数124

5.3.2　逆函数125

5.4　置换127

本章小结128

习题五128

第6章　集合的基数130

本章学习目标130

6.1　基数的概念130

6.2　可数集和不可数集132

6.2.1　可数集132

6.2.2　不可数集134

6.3　基数的比较134

习题六136

本章小结136

第三部分　图论140

第7章　图140

本章学习目标140

7.1 图的基本概念140

7.1.1　图论的发展140

7.1.2　图的基本概念141

7.2　通路与回路146

7.3　图的连通性148

7.3.1　无向图的连通性148

7.3.2　有向图的连通性150

7.4　图的矩阵表示153

7.4.1 图的邻接矩阵153

7.4.2　图的关联矩阵155

7.4.3 有向图的可达矩阵156

7.5　图的应用158

7.5.1　带权图的最短通路158

7.5.2　带权图的关键路径161

本章小结162

习题七163

第8章　欧拉图与哈密尔顿图166

本章学习目标166

8.1　欧拉图166

8.1.1　欧拉图的定义166

8.1.2　欧拉图的判定167

8.1.3　求欧拉回路的算法168

8.1.4　欧拉图的应用169

8.2　哈密尔顿图170

8.2.1　哈密尔顿图170

8.2.2　哈密尔顿图的判定170

本章小结171

习题八172

第9章　特殊图173

本章学习目标173

9.1　树173

9.1.1　无向树173

9.1.2　生成树与最小生成树175

9.1.3　有向树与根树177

9.2　二部图180

9.3.1 平面图的定义182

9.3 平面图182

9.3.2　欧拉公式183

9.3.3　库拉托夫斯基定理185

9.3.4 平面图的对偶图186

本章小结188

习题九188

第四部分　代数系统192

第10章　代数结构192

本章学习目标192

10.1　二元运算及其性质192

10.1.1 二元运算192

10.1.2　二元运算的性质194

10.2　代数系统196

10.3.1　半群198

10.3　群的定义198

10.3.2　群199

10.3.3　群的性质200

10.4　子群202

10.4.1　子群202

10.4.2　子群的判定203

10.5　阿贝尔群和循环群204

10.5.1 阿贝尔群204

10.5.2　循环群205

10.6　置换群与伯恩赛德定理206

10.6.1　置换群206

10.6.2　伯恩赛德定（Burnside）209

10.7.1 陪集211

10.7　陪集与拉格朗日定理211

10.7.2　正规子群和商群213

10.7.3　拉格朗日定理214

10.8　群的同态与同构215

本章小结217

习题十218

第11章　格与布尔代数221

本章学习目标221

11.1　格的定义和性质221

11.1.1　格的定义221

11.1.2　格的对偶原理222

11.1.3　格的性质222

11.1.4　子格和格的同态225

11.2　分配格和有补格227

11.2.1　模格227

11.2.2　分配格227

11.2.3　有界格229

11.2.4　有补格229

11.3　布尔代数230

11.3.1 布尔代数的定义及性质230

11.3.2　布尔代数的同构与同态231

11.3.3　布尔代数的表示理论234

本章小结235

习题十一236

参考文献238