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第1章 应用与方法概述1

1.1 什么是偏微分方程1

1.2 求解并解释偏微分方程5

第2章 傅里叶级数14

2.1 周期函数14

2.2 傅里叶级数22

2.3 以任意数为周期的函数的傅里叶级数33

2.4 半幅展开：余弦级数和正弦级数44

2.5 均方逼近和帕塞瓦尔恒等式47

2.6 傅里叶级数的复数形式52

2.7 受迫振动59

2.8 傅里叶级数表示定理的证明67

2.9 一致收敛性和傅里叶级数74

2.10 狄利克雷判别法和傅里叶级数收敛性82

第3章 直角坐标中的偏微分方程90

3.1 物理学和工程技术中的偏微分方程90

3.2 建模：弦振动和波动方程94

3.3 一维波动方程的求解：分离变量法99

3.4 达朗贝尔方法108

3.5 一维热传导方程116

3.6 棒中的热传导：各种边界条件125

3.7 二维波动方程和热传导方程132

3.8 直角坐标中的拉普拉斯方程140

3.9 泊松方程：特征函数展开法145

3.10 诺伊曼条件和罗宾条件153

3.11 最大值原理159

第4章 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程164

4.1 各个坐标系中的拉普拉斯算子164

4.2 圆形膜的振动：对称情况168

4.3 圆形膜的振动：一般情况175

4.4 圆域中的拉普拉斯方程182

4.5 圆柱体中的拉普拉斯方程192

4.6 亥姆霍兹方程和泊松方程195

4.7 贝塞尔方程和贝塞尔函数199

4.8 贝塞尔级数展开209

4.9 贝塞尔函数的积分公式和渐近式219

第5章 球面坐标中的偏微分方程227

5.1 问题和方法概述227

5.2 对称狄利克雷问题230

5.3 球面调和函数和一般狄利克雷问题236

5.4 亥姆霍兹方程及其对泊松方程、热传导方程和波动方程的应用244

5.5 勒让德微分方程249

5.6 勒让德多项式和勒让德级数展开256

5.7 相伴勒让德函数和相伴勒让德级数展开265

第6章 施图姆-刘维尔理论及其在工程技术中的应用270

6.1 正交函数270

6.2 施图姆-刘维尔理论276

6.3 悬链287

6.4 四阶施图姆-刘维尔理论292

6.5 梁的弹性振动和屈曲298

6.6 双调和算子307

6.7 圆盘的振动312

第7章 傅里叶变换及其应用322

7.1 傅里叶积分表示322

7.2 傅里叶变换329

7.3 傅里叶变换法341

7.4 热传导方程和高斯核349

7.5 狄利克雷问题和泊松积分公式357

7.6 傅里叶余弦变换和正弦变换361

7.7 半无限区间上的问题366

7.8 广义函数370

7.9 非齐次热传导方程386

7.10 杜阿梅尔原理395

第8章 拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用402

8.1 拉普拉斯变换402

8.2 拉普拉斯变换的进一步性质412

8.3 拉普拉斯变换法421

8.4 汉克尔变换及其应用427

第9章 有限差分数值方法433

9.1 热传导方程的有限差分法433

9.2 波动方程的有限差分法441

9.3 拉普拉斯方程的有限差分法447

9.4 拉普拉斯方程的迭代法453

第10章 抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用457

10.1 抽样定理457

10.2 偏微分方程与抽样定理465

10.3 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换468

10.4 傅里叶变换与离散傅里叶变换475

第11章 量子力学引论480

11.1 薛定谔方程480

11.2 氢原子486

11.3 海森伯格不定性原理492

11.4 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式498

12.1 格林定理和恒等式509

第12章 格林函数和共形映射509

12.2 调和函数和格林恒等式520

12.3 格林函数526

12.4 圆盘和上半平面的格林函数535

12.5 解析函数540

12.6 利用共形映射求解狄利克雷问题557

12.7 格林函数与共形映射566

12.8 诺伊曼函数和诺伊曼问题的解575

附录A 常微分方程：概念和方法的回顾581

附录B 变换表635

参考文献642

部分习题答案644

索引680