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第1章 数学语言与证明方法1

1.1 常用的数学符号1

1.1.1 集合符号1

1.1.2 运算符号2

1.1.3 逻辑符号2

1.2 集合及其运算3

1.2.1 集合及其表示法3

1.2.2 集合之间的包含与相等4

1.2.3 集合的幂集5

1.2.4 集合的运算6

1.2.5 基本集合恒等式及其应用8

1.3 证明方法概述11

1.3.1 直接证明法和归谬法12

1.3.2 分情况证明法和构造性证明法12

1.3.3 数学归纳法14

1.4 递归定义16

习题17

第2章 命题逻辑22

2.1 命题逻辑基本概念22

2.1.1 命题与联结词22

2.1.2 命题公式及其分类28

2.2 命题逻辑等值演算33

2.2.1 等值式与等值演算33

2.2.2 联结词完备集37

2.3 范式39

2.3.1 析取范式与合取范式39

2.3.2 主析取范式与主合取范式42

2.4 推理49

2.4.1 推理的形式结构49

2.4.2 推理的证明51

2.4.3 归结证明法57

2.4.4 对证明方法的补充说明60

习题60

第3章 一阶逻辑66

3.1 一阶逻辑基本概念66

3.1.1 命题逻辑的局限性66

3.1.2 个体词、谓词与量词66

3.1.3 一阶逻辑命题符号化68

3.1.4 一阶逻辑公式与分类71

3.2 一阶逻辑等值演算75

3.2.1 一阶逻辑等值式与置换规则75

3.2.2 一阶逻辑前束范式79

习题81

第4章 关系86

4.1 关系的定义及其表示86

4.1.1 有序对与笛卡儿积86

4.1.2 二元关系的定义87

4.1.3 二元关系的表示89

4.2 关系的运算90

4.2.1 关系的基本运算90

4.2.2 关系的幂运算93

4.3 关系的性质96

4.3.1 关系性质的定义和判别96

4.3.2 关系的闭包100

4.4 等价关系与偏序关系104

4.4.1 等价关系104

4.4.2 等价类和商集104

4.4.3 集合的划分105

4.4.4 偏序关系107

4.4.5 偏序集与哈斯图108

习题112

第5章 函数116

5.1 函数的定义及其性质116

5.1.1 函数的定义116

5.1.2 函数的像与完全原像118

5.1.3 函数的性质119

5.2 函数的复合与反函数122

5.2.1 函数的复合122

5.2.2 反函数124

习题128

第6章 图132

6.1 图的基本概念132

6.1.1 无向图与有向图132

6.1.2 顶点的度数与握手定理134

6.1.3 简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图136

6.1.4 子图、补图138

6.1.5 图的同构139

6.2 图的连通性141

6.2.1 通路与回路141

6.2.2 无向图的连通性与连通度141

6.2.3 有向图的连通性及其分类144

6.3 图的矩阵表示144

6.3.1 无向图的关联矩阵144

6.3.2 有向无环图的关联矩阵145

6.3.3 有向图的邻接矩阵146

6.3.4 有向图的可达矩阵147

6.4 几种特殊的图149

6.4.1 二部图149

6.4.2 欧拉图152

6.4.3 哈密顿图154

6.4.4 平面图157

习题166

第7章 树及其应用173

7.1 无向树173

7.1.1 无向树的定义及其性质173

7.1.2 生成树176

7.2 根树及其应用177

7.2.1 根树及其分类177

7.2.2 最优树与哈夫曼算法178

7.2.3 最佳前缀码179

7.2.4 根树的周游及其应用181

习题182

第8章 组合计数基础185

8.1 基本计数规则186

8.1.1 加法法则186

8.1.2 乘法法则186

8.1.3 分类处理与分步处理187

8.2 排列与组合187

8.2.1 集合的排列与组合188

8.2.2 多重集的排列与组合191

8.3 二项式定理与组合恒等式193

8.3.1 二项式定理193

8.3.2 组合恒等式194

8.3.3 非降路径问题198

8.4 多项式定理与多项式系数201

8.4.1 多项式定理201

8.4.2 多项式系数202

习题203

第9章 容斥原理206

9.1 容斥原理及其应用206

9.1.1 容斥原理的基本形式206

9.1.2 容斥原理的应用207

9.2 对称筛公式及其应用210

9.2.1 对称筛公式210

9.2.2 棋盘多项式与有限制条件的排列212

习题215

第10章 递推方程与生成函数217

10.1 递推方程及其应用217

10.1.1 递推方程的定义及实例217

10.1.2 常系数线性齐次递推方程的求解219

10.1.3 常系数线性非齐次递推方程的求解222

10.1.4 递推方程的其他解法224

10.1.5 递推方程与递归算法228

10.2 生成函数及其应用233

10.2.1 牛顿二项式定理与牛顿二项式系数233

10.2.2 生成函数的定义及其性质234

10.2.3 生成函数的应用236

10.3 指数生成函数及其应用241

10.4 Catalan数与Stirling数243

习题248

第11章 初等数论251

11.1 素数251

11.2 最大公约数与最小公倍数254

11.3 同余257

11.4 一次同余方程与中国剩余定理259

11.4.1 一次同余方程259

11.4.2 中国剩余定理260

11.4.3 大整数算术运算262

11.5 欧拉定理和费马小定理263

习题264

第12章 离散概率268

12.1 随机事件与概率、事件的运算268

12.1.1 随机事件与概率268

12.1.2 事件的运算270

12.2 条件概率与独立性271

12.2.1 条件概率271

12.2.2 独立性273

12.2.3 伯努利概型与二项概率公式273

12.3 离散型随机变量274

12.3.1 离散型随机变量及其分布律274

12.3.2 常用分布275

12.3.3 数学期望276

12.3.4 方差278

12.4 概率母函数280

习题282

第13章 初等数论和离散概率的应用286

13.1 密码学286

13.1.1 恺撒密码286

13.1.2 RSA公钥密码287

13.2 产生伪随机数的方法289

13.2.1 产生均匀伪随机数的方法289

13.2.2 产生离散型伪随机数的方法290

13.3 算法的平均复杂度分析292

13.3.1 排序算法292

13.3.2 散列表的检索和插入295

13.4 随机算法298

13.4.1 随机快速排序算法298

13.4.2 多项式恒零测试299

13.4.3 素数测试301

13.4.4 蒙特卡罗法和拉斯维加斯法302

习题303

第14章 代数系统306

14.1 二元运算及其性质306

14.1.1 二元运算与一元运算的定义306

14.1.2 二元运算的性质308

14.2 代数系统311

14.2.1 代数系统的定义与实例311

14.2.2 代数系统的分类312

14.2.3 子代数系统与积代数系统313

14.2.4 代数系统的同态与同构314

14.3 几个典型的代数系统315

14.3.1 半群与独异点315

14.3.2 群317

14.3.3 环与域323

14.3.4 格与布尔代数325

习题330

参考文献335