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第1章 计算机数学语言概述1

1.1 数学问题计算机求解概述1

1.1.1 为什么要学习计算机数学语言1

1.1.2 数学问题的解析解与数值解4

1.1.3 数学运算问题软件包发展概述4

1.1.4 常规计算机语言的局限性6

1.2 计算机数学语言简介7

1.2.1 计算机数学语言的出现7

1.2.2 有代表性的计算机数学语言8

1.2.3 开放式免费科学运算语言简介8

1.3 关于本书及相关内容9

1.3.1 本书框架设计及内容安排9

1.3.2 MATLAB语言学习方法与资源10

1.3.3 本课程与其他相关课程的关系10

1.4 习题11

参考文献12

第2章 MATLAB语言程序设计基础13

2.1 MATLAB程序设计语言基础14

2.1.1 MATLAB语言的变量与常量14

2.1.2 数据结构14

2.1.3 MATLAB的基本语句结构16

2.1.4 冒号表达式与子矩阵提取17

2.2 基本数学运算17

2.2.1 矩阵的代数运算17

2.2.2 矩阵的逻辑运算19

2.2.3 矩阵的比较运算20

2.2.4 解析结果的化简与变换20

2.2.5 基本数论运算21

2.3 MATLAB语言的流程结构23

2.3.1 循环结构23

2.3.2 条件转移结构24

2.3.3 开关结构25

2.3.4 试探结构26

2.4 函数编写与调试26

2.4.1 MATLAB语言函数的基本结构27

2.4.2 可变输入输出个数的处理30

2.4.3 匿名函数与inline（）函数30

2.4.4 伪代码与代码保密处理31

2.5 二维图形绘制31

2.5.1 二维图形绘制基本语句31

2.5.2 多纵轴曲线的绘制34

2.5.3 其他二维图形绘制语句34

2.5.4 隐函数绘制及应用35

2.5.5 图形修饰37

2.5.6 数据文件的读取与存储38

2.6 三维图形表示39

2.6.1 三维曲线绘制39

2.6.2 三维曲面绘制40

2.6.3 等高线绘制43

2.6.4 三维隐函数图绘制45

2.6.5 三维图形视角设置45

2.6.6 三维曲面的旋转47

2.7 四维图形绘制48

2.8 习题50

参考文献52

第3章 微积分问题的计算机求解53

3.1 极限问题的解析解53

3.1.1 单变量函数的极限54

3.1.2 区间函数的极限运算55

3.1.3 多变量函数的极限56

3.2 函数导数的解析解57

3.2.1 函数的导数和高阶导数57

3.2.2 参数方程的导数59

3.2.3 多元函数的偏导数60

3.2.4 隐函数的偏导数61

3.2.5 多元函数的Jacobi矩阵62

3.2.6 Hess偏导数矩阵63

3.3 积分问题的解析解63

3.3.1 不定积分的推导64

3.3.2 定积分与无穷积分计算65

3.3.3 多重积分问题的MATLAB求解65

3.4 函数的级数展开与级数求和问题求解66

3.4.1 Taylor幂级数展开66

3.4.2 Fourier级数展开69

3.4.3 级数求和的计算72

3.4.4 序列求积问题73

3.5 曲线积分与曲面积分的计算74

3.5.1 曲线积分及MATLAB求解74

3.5.2 曲面积分与MATLAB语言求解76

3.6 数值微分问题78

3.6.1 数值微分算法78

3.6.2 中心差分方法及其MATLAB实现79

3.6.3 二元函数的梯度计算80

3.7 数值积分问题81

3.7.1 由给定数据进行梯形求积82

3.7.2 单变量数值积分问题求解84

3.7.3 广义数值积分问题求解86

3.7.4 积分函数的数值求解87

3.7.5 双重积分问题的数值解88

3.7.6 三重定积分的数值求解91

3.7.7 多重积分数值求解91

3.8 习题92

参考文献96

第4章 线性代数问题的计算机求解97

4.1 特殊矩阵的输入97

4.1.1 数值矩阵的输入98

4.1.2 符号矩阵的输入102

4.1.3 稀疏矩阵的输入103

4.2 矩阵基本分析103

4.2.1 矩阵基本概念与性质103

4.2.2 逆矩阵与广义逆矩阵110

4.2.3 矩阵的特征值问题113

4.3 矩阵的基本变换与分解116

4.3.1 矩阵的相似变换与正交矩阵116

4.3.2 矩阵的三角分解和Cholesky分解117

4.3.3 矩阵的相伴变换、对角变换和Jordan变换120

4.3.4 矩阵的奇异值分解124

4.4 矩阵方程的计算机求解126

4.4.1 线性方程组的计算机求解126

4.4.2 Lyapunov方程的计算机求解129

4.4.3 Sylvester方程的计算机求解132

4.4.4 Riccati方程的计算机求解133

4.4.5 一类线性不等式的求解134

4.5 非线性运算与矩阵函数求值135

4.5.1 面向矩阵元素的非线性运算135

4.5.2 矩阵函数求值136

4.5.3 一般矩阵函数的运算139

4.6 习题141

参考文献144

第5章 积分变换与复变函数问题的计算机求解145

5.1 Laplace变换及其反变换145

5.1.1 Laplace变换及反变换的定义与性质145

5.1.2 Laplace变换的计算机求解146

5.1.3 Laplace变换问题的数值求解149

5.2 Fourier变换及其反变换151

5.2.1 Fourier变换及反变换定义与性质151

5.2.2 Fourier变换的计算机求解152

5.2.3 Fourier正弦和余弦变换153

5.2.4 离散Fourier正弦、余弦变换155

5.2.5 快速Fourier变换156

5.3 其他积分变换问题及求解157

5.3.1 Mellin变换157

5.3.2 Hankel变换及求解158

5.4 z变换及其反变换159

5.4.1 z变换及反变换定义与性质159

5.4.2 z变换的计算机求解160

5.4.3 双边z变换161

5.4.4 有理函数z反变换的数值求解161

5.5 复变函数问题的计算机求解162

5.5.1 复数矩阵及其变换162

5.5.2 复变函数的映射163

5.5.3 Riemann面绘制163

5.5.4 留数的概念与计算165

5.5.5 有理函数的部分分式展开167

5.5.6 基于部分分式展开的Laplace反变换170

5.5.7 封闭曲线积分问题计算171

5.6 差分方程的求解173

5.6.1 一般差分方程的解析求解方法173

5.6.2 线性时变差分方程的数值解法175

5.6.3 线性时不变差分方程的解法176

5.6.4 一般非线性差分方程的数值求解方法177

5.7 习题177

参考文献180

第6章 代数方程与最优化问题的计算机求解181

6.1 代数方程的求解181

6.1.1 代数方程的图解法181

6.1.2 多项式型方程的准解析解法183

6.1.3 一般非线性方程数值解186

6.1.4 求解多解方程的全部解187

6.2 无约束最优化问题求解190

6.2.1 解析解法和图解法191

6.2.2 基于MATLAB的数值解法192

6.2.3 全局最优解与局部最优解193

6.2.4 利用梯度求解最优化问题195

6.2.5 带有变量边界约束的最优化问题求解196

6.3 有约束最优化问题的计算机求解197

6.3.1 约束条件与可行解区域197

6.3.2 线性规划问题的计算机求解198

6.3.3 二次型规划的求解201

6.3.4 一般非线性规划问题的求解201

6.4 混合整数规划问题的计算机求解205

6.4.1 整数线性规划问题的求解205

6.4.2 整数规划问题的穷举方法206

6.4.3 一般非线性整数规划问题与求解207

6.4.4 0-1规划问题求解210

6.5 线性矩阵不等式问题求解212

6.5.1 线性矩阵不等式的一般描述212

6.5.2 Lyapunov不等式213

6.5.3 线性矩阵不等式问题分类215

6.5.4 线性矩阵不等式问题的MATLAB求解216

6.5.5 基于YALMIP工具箱的最优化求解方法217

6.6 多目标优化问题求解219

6.6.1 多目标优化模型219

6.6.2 无约束多目标函数的最小二乘求解220

6.6.3 多目标问题转换为单目标问题求解220

6.6.4 多目标优化问题的Pareto解集223

6.6.5 极小极大问题求解224

6.6.6 目标规划问题求解226

6.7 动态规划及其在路径规划中的应用227

6.7.1 图的矩阵表示方法227

6.7.2 有向图的路径寻优227

6.7.3 无向图的路径最优搜索230

6.7.4 绝对坐标节点的最优路径规划算法与应用231

6.8 习题231

参考文献236

第7章 微分方程问题的计算机求解237

7.1 常系数线性微分方程的解析解方法237

7.1.1 线性常系数微分方程解析解的数学描述237

7.1.2 微分方程的解析解方法238

7.1.3 线性状态空间方程的解析解241

7.1.4 特殊非线性微分方程的解析解241

7.2 微分方程问题的数值解法242

7.2.1 微分方程问题算法概述242

7.2.2 四阶定步长Runge-Kutta算法及MATLAB实现244

7.2.3 一阶微分方程组的数值解245

7.2.4 微分方程数值解的验证249

7.3 微分方程转换249

7.3.1 单个高阶常微分方程处理方法249

7.3.2 高阶常微分方程组的变换方法250

7.3.3 矩阵微分方程的变换与求解方法254

7.4 特殊微分方程的数值解257

7.4.1 刚性微分方程的求解257

7.4.2 隐式微分方程求解259

7.4.3 微分代数方程的求解262

7.4.4 切换微分方程的求解264

7.4.5 随机线性微分方程的求解265

7.5 延迟微分方程求解268

7.5.1 典型延迟微分方程的数值求解268

7.5.2 变时间延迟微分方程的求解270

7.5.3 中立型延迟微分方程的求解272

7.6 边值问题的计算机求解273

7.6.1 线性方程边值问题的打靶算法274

7.6.2 非线性方程边值问题的打靶算法276

7.6.3 一般边值微分方程的求解方法277

7.7 偏微分方程求解入门280

7.7.1 偏微分方程组求解280

7.7.2 二阶偏微分方程的数学描述281

7.7.3 偏微分方程的求解界面应用举例283

7.8 基于Simulink的微分方程框图求解289

7.8.1 Simulink简介290

7.8.2 Simulink相关模块290

7.8.3 微分方程的Simulink建模与求解292

7.9 习题297

参考文献300

第8章 数据插值、函数逼近问题的计算机求解301

8.1 插值与数据拟合301

8.1.1 一维数据的插值问题301

8.1.2 已知样本点的定积分计算305

8.1.3 二维网格数据的插值问题306

8.1.4 二维散点分布数据的插值问题308

8.1.5 高维插值问题311

8.1.6 基于样本数据点的离散最优化问题求解312

8.2 样条插值与数值微积分问题求解313

8.2.1 样条插值的MATLAB表示313

8.2.2 基于样条插值的数值微积分运算316

8.3 由已知数据拟合数学模型318

8.3.1 多项式拟合319

8.3.2 函数线性组合的曲线拟合方法320

8.3.3 最小二乘曲线拟合322

8.3.4 多变量函数的最小二乘函数拟合324

8.4 已知函数的有理式逼近方法325

8.4.1 给定函数的连分式展开及基于连分式的有理近似325

8.4.2 有理式拟合—Padé近似327

8.5 特殊函数及曲线绘制330

8.5.1 Γ-函数330

8.5.2 β-函数331

8.5.3 Bessel函数331

8.5.4 Legendre函数333

8.5.5 Mittag-Leffler函数334

8.6 信号分析与数字信号处理基础337

8.6.1 信号的相关分析337

8.6.2 滤波技术与滤波器设计339

8.7 习题342

参考文献344

第9章 概率论与数理统计问题的计算机求解345

9.1 概率分布与伪随机数生成345

9.1.1 概率密度函数与分布函数概述345

9.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数346

9.1.3 概率问题的求解352

9.1.4 随机数与伪随机数353

9.2 统计量分析355

9.2.1 随机变量的均值与方差355

9.2.2 随机变量的矩356

9.2.3 多变量随机数的协方差分析357

9.2.4 多变量正态分布的联合概率密度函数及分布函数358

9.2.5 基于Monte Carlo法的数学问题求解359

9.3 数理统计分析方法及计算机实现360

9.3.1 参数估计与区间估计360

9.3.2 多元线性回归与区间估计362

9.3.3 非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计363

9.4 统计假设检验366

9.4.1 统计假设检验的概念及步骤366

9.4.2 假设检验问题求解367

9.5 方差分析与主成分分析369

9.5.1 方差分析369

9.5.2 主成分分析373

9.6 习题375

参考文献378

第10章 数学问题的非传统解法379

10.1 集合论、模糊集与模糊推理379

10.1.1 经典可枚举集合论问题及MATLAB求解379

10.1.2 模糊集合与隶属度函数381

10.1.3 模糊推理系统及其MATLAB求解385

10.2 粗糙集理论与应用389

10.2.1 粗糙集理论简介389

10.2.2 粗糙集的基本概念389

10.2.3 信息决策系统390

10.2.4 粗糙集数据处理问题的MATLAB求解392

10.2.5 粗糙集约简的MATLAB程序界面394

10.3 人工神经网络及其在数据拟合中的应用395

10.3.1 神经网络基础知识395

10.3.2 径向基网络结构与应用403

10.3.3 神经网络界面405

10.4 进化算法及其在最优化问题中的应用408

10.4.1 遗传算法的基本概念及MATLAB实现408

10.4.2 遗传算法在求解最优化问题中的应用举例409

10.4.3 遗传算法在有约束最优化问题中的应用414

10.4.4 粒子群优化算法与求解416

10.4.5 其他全局优化算法418

10.4.6 求取精确的全局最优解419

10.4.7 基于遗传算法的混合整数规划求解419

10.5 小波变换及其在数据处理中的应用420

10.5.1 小波变换及基小波波形420

10.5.2 小波变换技术在信号处理中的应用424

10.5.3 小波问题的程序界面427

10.6 分数阶微积分学问题求解及应用428

10.6.1 分数阶微积分的定义429

10.6.2 不同分数阶微积分定义的关系与性质430

10.6.3 分数阶微积分的计算方法431

10.6.4 分数阶线性微分方程的求解方法437

10.6.5 基于框图的非线性分数阶微分方程近似解法441

10.6.6 分数阶传递函数模型与分析446

10.7 习题451

参考文献453

MATLAB函数名索引455

术语索引461