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第一篇 高等数学1

第一章 函数、极限、连续1

第一节 函数1

一．考点分析1

二．常考题型分析及解题方法与技巧2

题型（一） 求复合函数的表达式2

题型（二） 求函数f（x）的表达式3

第二节 极限9

一．考点分析9

二．常考题型分析及解题方法与技巧10

题型（一） 求数列的极限10

题型（二） 求未定式函数的极限19

题型（三） 关于函数极限的杂题27

题型（四） 确定无穷小量的阶29

题型（五） 极限式中常数的确定30

第三节 连续33

一．考点分析33

二．常考题型分析及解题方法与技巧34

题型（一） 分段函数连续性的讨论34

题型（二） 分段函数中常数的确定38

第二章 导数与微分42

一．考点分析42

二．常考题型分析及解题方法与技巧43

题型（一） 利用定义求导数43

题型（二） 求各类函数的导数和微分46

题型（三） 求高阶导数48

第三章 不定积分51

一．考点分析51

二．常考题型分析及解题方法与技巧51

题型（一） 运用第一换元法（凑微分法）积分51

题型（二） 运用第二换元法（变量置换法）积分53

题型（三） 运用分部积分法积分56

题型（四） 分式有理函数的积分59

题型（五） 简单无理函数的积分61

题型（六） 三角有理式的积分63

题型（七） 含反三角函数的积分68

题型（八） 抽象函数的积分69

题型（九） 分段函数的积分70

第四章　定积分及广义积分72

第一节　定积分72

一．考点分析72

二．常考题型分析及解题方法与技巧73

题型（一） 定积分的计算73

题型（二） 有关积分限函数的命题85

题型（三） 定积分等式的证明88

题型（四） 定积分不等式的证明94

第二节　广义积分99

一．考点分析99

二．常考题型分析及解题方法与技巧100

题型（一） 广义积分的计算100

题型（二） 广义积分敛散性的判断103

第五章　中值定理106

一．考点分析106

二．常考题型分析及解题方法与技巧106

题型（一） 有关闭区间上连续函数的命题的证明106

题型（二） 有关中值定理的命题的证明107

第六章　一元微积分的应用117

第一节　导数的应用117

一．考点分析117

二．常考题型分析及解题方法与技巧117

题型（一） 判断函数的增减性117

题型（二） 求函数的极值与最值118

题型（三） 关于方程根的讨论123

题型（四） 求作函数的图形126

题型（五） 有关不等式的证明128

第二节　定积分的应用133

一．考点分析133

二．常考题型分析及解题方法与技巧134

题型（一） 求平面图形的面积134

题型（二） 求平面曲线的长度135

题型（三） 求体积136

题型（四） 求旋转体的侧面积138

题型（五） 求变力所作的功、引力及液体的静压力138

第七章　向量代数与空间解析几何140

一．考点分析140

二．常考题型分析及解题方法与技巧140

题型（一） 向量的运算140

题型（二） 求空间直线方程142

题型（三） 求平面方程144

题型（四） 求切线切面方程146

题型（五） 求直线、平面间夹角与距离147

题型（六） 求投影方程148

题型（七） 求曲面方程149

第八章　多元函数微分学150

一．考点分析150

二．常考题型分析及解题方法与技巧151

题型（一） 有关二元函数概念与性质的命题151

题型（二） 求二重极限153

题型（三） 求简单显函数的偏导数154

题型（四） 求复合函数的偏导数及全微分155

题型（五） 求隐函数的偏导数及全微分158

题型（六） 关于微分恒等式的证明160

题型（七） 求函数的方向导数与梯度161

题型（八） 求多元函数的极值162

第九章　重积分166

一．考点分析166

二．常考题型分析及解题方法与技巧166

题型（一） 有关二重积分概念及其性质的命题166

题型（二） 交换积分次序167

题型（三） 二重积分的计算170

题型（四） 有关二重积分等式的证明173

题型（五） 有关二重积分不等式的证明173

题型（六） 三重积分的计算174

题型（七） 重积分的应用181

第十章　曲线曲面积分184

一．考点分析184

二．常考题型分析及解题方法与技巧185

题型（一） 曲线积分的计算185

题型（二） 曲面积分的计算191

题型（三） 向量场的散度和旋度的计算196

第十一章　无穷级数197

一．考点分析197

二．常考题型分析及解题方法与技巧198

题型（一） 常数项级数敛散性的判定198

题型（二） 求一般函数项级数的收敛域203

题型（三） 求幂级数的收敛半径与收敛区间205

题型（四） 求幂级数的和函数207

题型（五） 求函数的幂级数展开式210

题型（六） 数项级数求和212

题型（七） 求函数的付立叶级数214

第十二章　常微分方程与差分方程初步218

一．考点分析218

二．常考题型分析及解题方法与技巧221

题型（一） 一阶微分方程的求解221

题型（二） 可降阶的高阶微分方程的求解227

题型（三） 高阶线性微分方程的求解228

题型（四） 一阶常系数线性微分方程组的求解231

题型（五） 一阶差分方程的求解232

第十三章　微积分在经济中的应用234

一．考点分析234

二．常考题型分析及解题方法与技巧234

第二篇　线性代数238

第一章　行列式238

一．考点分析238

二．常考题型分析及解题方法与技巧239

题型（一） 有关行列式概念和基本性质的命题239

题型（二） 三阶行列式的计算240

题型（三） 四、五阶行列式的计算241

题型（四） n阶行列式的计算242

第二章　矩阵245

一．考点分析245

二．常考题型分析及解题方法与技巧246

题型（一） 有关矩阵概念和基本性质的命题246

题型（二） 求矩阵的相关量247

题型（三） 求解矩阵方程250

题型（四） 求解关于逆矩阵的命题251

题型（五） 求解关于矩阵秩的命题254

第三章　向量256

一．考点分析256

二．常考题型分析及解题方法与技巧257

题型（一） 关于向量概念和基本性质的命题257

题型（二） 关于线性组合的命题259

题型（三） 关于向量组线性相关性的命题261

题型（四） 关于极大线性无关组的命题263

题型（五） 求解正交向量组264

第四章　线性方程组266

一．考点分析266

二．常考题型分析及解题方法与技巧266

题型（一） 关于线性方程组的解的基本概念的命题266

题型（二） 含有参数的线性方程组解的讨论269

题型（三） 有关线性方程组命题的证明271

题型（四） 杂题274

第五章　矩阵的特征值和特征向量275

一．考点分析275

二．常考题型分析及解题方法与技巧276

题型（一） 关于矩阵的特征值和特征向量概念和性质的命题276

题型（二） 求解矩阵的特征值和特征向量280

题型（三） 求解矩阵的特征值和特征向量的逆命题282

题型（四） 杂题283

第六章　二次型286

一．考点分析286

二．常考题型分析及解题方法与技巧286

题型（一） 判断二次型或矩阵的正定性286

题型（二） 化二次型为标准形287

题型（三） 求解二次型中所含参数和正交变换289

第三篇　概率论与数理统计初步291

第一章　随机事件及其概率291

一．考点分析291

二．常考题型分析及解题方法与技巧292

题型（一） 利用事件之间的关系计算概率292

题型（二） 古典概型与几何概型的概率计算293

题型（三） 利用条件概率与乘法公式计算概率294

题型（四） 利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率295

第二章　随机变量及其概率分布298

一．考点分析298

二．常考题型分析及解题方法与技巧302

题型（一） 求解一维随机变量的分布函数和分布密度302

题型（二） 求解一维随机变量函数的分布律和分布密度305

题型（三） 求解二维随机变量的分布函数和分布密度307

题型（四） 求解二维随机变量函数的分布律和分布密度309

第三章　随机变量的数字特征313

一．考点分析313

二．常考题型分析及解题方法与技巧313

题型（一） 求解一维随机变量的数字特征313

题型（二） 求解一维随机变量函数的数字持征315

题型（三） 求解二维随机变量的数字特征316

第四章　大数定律和中心极限定理319

一．考点分析319

二．常考题型分析及解题方法与技巧319

题型（一） 估算事件的概率319

题型（二） 试验n值的确定320

题型（三） 杂题321

第五章　数理统计初步323

一．考点分析323

二．常考题型分析及解题方法与技巧326

题型（一） 求参数的估计量326

题型（二） 求置信区间328

题型（三） 假设检验329

第四篇　模拟试题及参考答案330

数学一　模拟试题330

模拟试题（Ⅰ）330

模拟试题（Ⅱ）331

模拟试题（Ⅲ）332

数学二　模拟试题334

模拟试题（Ⅰ）334

模拟试题（Ⅱ）335

模拟试题（Ⅲ）336

数学三　模拟试题338

模拟试题（Ⅰ）338

模拟试题（Ⅱ）339

模拟试题（Ⅲ）341

数学四 模拟试题342

模拟试题（Ⅰ）342

模拟试题（Ⅱ）344

模拟试题（Ⅲ）345

参考答案348