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第1章 函数的极限与连续1

1.1　函数1

1.1.1　变量与常用数集1

1.1.2　函数的基本概念3

1.1.3　函数的几种基本特性6

1.1.4　初等函数9

习题1.113

1.2　函数的极限及其性质15

1.2.1　函数极限的概念15

1.2.2　极限不存在的情形20

1.2.3　极限的性质21

习题1.223

1.3　子极限与数列的极限24

1.3.1　子极限24

1.3.2　数列的极限25

习题1.328

1.4　无穷小与无穷大29

1.4.1　无穷小29

1.4.2　无穷大31

1.4.3　无穷大与无穷小之间的关系32

习题1.433

1.5　极限运算法则34

1.5.1　极限的四则运算法则34

1.5.2　复合函数的极限运算法则39

习题1.541

1.6　极限存在准则及两个重要极限43

1.6.1　准则Ⅰ（夹逼准则）43

1.6.2　准则Ⅱ（单调有界准则）45

习题1.651

1.7　无穷小的比较52

习题1.756

1.8　函数的连续性57

1.8.1　函数连续性的概念57

1.8.2　连续函数的运算法则59

1.8.3　初等函数的连续性62

1.8.4 函数的间断点63

习题1.867

1.9　闭区间上连续函数的性质69

1.9.1　最大值与最小值定理69

1.9.2　有界性定理70

1.9.3　零点存在定理与介值定理70

习题1.972

总复习题一72

第2章　一元函数微分学75

2.1　导数的概念75

2.1.1　几个引例75

2.1.2　导数的定义76

2.1.3 函数的可导性与连续性之间的关系82

2.1.4　导数的几何意义83

习题2.183

2.2　导数的运算法则与基本公式85

2.2.1　求导的四则运算法则85

2.2.2　反函数与复合函数的求导法则88

习题2.292

2.3　隐函数与参数式函数的导数93

2.3.1　隐函数的导数94

2.3.2　参数式函数的导数95

2.3.3　极坐标方程所确定的函数的导数96

2.3.4　相关变化率97

习题2.398

2.4　高阶导数99

2.4.1　高阶导数99

2.4.2　隐函数的二阶导数103

2.4.3　参数式函数的二阶导数104

习题2.4104

2.5　一元函数的微分及其应用105

2.5.1　微分的概念105

2.5.2　微分的几何意义108

2.5.3　微分的运算法则109

2.5.4　微分的应用110

习题2.5112

总复习题二114

第3章　微分中值定理与导数的应用116

3.1　微分中值定理116

3.1.1　罗尔定理116

3.1.2　拉格朗日中值定理118

3.1.3　柯西中值定理120

习题3.1121

3.2　洛必达法则122

3.2.1　0/0型未定式123

3.2.2　∞／∞型未定式125

3.2.3　其他如0·∞、∞-∞、00、1∞、∞0等未定式126

习题3.2127

3.3　泰勒公式128

3.3.1　泰勒多项式128

3.3.2　泰勒中值定理130

习题3.3135

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性136

3.4.1　函数的单调性136

3.4.2 曲线的凹凸性与拐点138

习题3.4142

3.5　函数的极值、最大值和最小值143

3.5.1　函数的极值143

3.5.2　函数的最大值与最小值147

习题3.5149

3.6　函数图形的描绘151

3.6.1　渐近线151

3.6.2　函数图形的描绘153

习题3.6156

3.7 曲率156

3.7.1　弧微分156

3.7.2　曲率与曲率半径158

习题3.7162

3.8　导数在经济上的应用162

3.8.1　边际与边际分析162

3.8.2　弹性与弹性分析164

习题3.8165

总复习题三166

第4章　不定积分169

4.1　不定积分的概念与性质169

4.1.1　原函数169

4.1.2　不定积分170

4.1.3　不定积分的性质171

4.1.4　基本积分公式172

习题4.1173

4.2　不定积分的换元积分法175

4.2.1　第一类换元积分法175

4.2.2　第二类换元积分法178

习题4.2183

4.3　不定积分的分部积分法184

习题4.3189

4.4　有理函数和可化为有理函数的积分190

4.4.1　有理函数的积分190

4.4.2　三角有理函数的积分192

习题4.4194

4.5　积分表的使用195

习题4.5197

总复习题四197

第5章　定积分199

5.1　定积分的概念与性质199

5.1.1　引例199

5.1.2　定积分的概念201

5.1.3　定积分的几何意义202

5.1.4　定积分的性质203

习题5.1205

5.2　微积分基本定理206

5.2.1　积分上限的函数及其导数207

5.2.2　牛顿—莱布尼茨公式209

习题5.2210

5.3　定积分的换元积分法与分部积分法212

5.3.1　定积分的换元积分法212

5.3.2　分部积分法215

习题5.3217

5.4　反常积分219

5.4.1　无穷限的反常积分219

5.4.2　无界函数的反常积分221

习题5.4223

5.5　反常积分的审敛法，Г函数224

5.5.1　无穷限反常积分的审敛法224

5.5.2　无界函数的反常积分的审敛法227

5.5.3　Г函数228

习题5.5229

总复习题五230

第6章　定积分的应用232

6.1　定积分的元素法232

6.2　定积分在几何上的应用233

6.2.1　平面图形的面积233

6.2.2　体积237

6.2.3　平面曲线的弧长239

习题6.2242

6.3　定积分在物理学中的应用244

6.3.1　变力沿直线做功244

6.3.2　液体的侧压力246

6.3.3 引力246

习题6.3247

总复习题六248

第7章　微分方程250

7.1　微分方程的基本概念250

习题7.1253

7.2　变量可分离的微分方程254

习题7.2257

7.3　齐次方程258

7.3.1　齐次方程258

7.3.2　可化为齐次方程的方程259

习题7.3262

7.4　一阶线性微分方程262

7.4.1　一阶线性微分方程262

7.4.2　伯努利方程265

习题7.4265

7.5　可降阶的高阶微分方程266

7.5.1 y(n)=f（x）型的微分方程266

7.5.2　y″＝f（x,y′）型的微分方程267

7.5.3　y″＝f（y,y′）型的微分方程268

习题7.5269

7.6　高阶线性微分方程269

7.6.1　线性齐次微分方程的解的结构270

7.6.2　二阶线性非齐次微分方程的解的结构271

7.6.3　常数变易法273

习题7.6275

7.7　二阶常系数线性齐次微分方程276

习题7.7279

7.8　二阶常系数线性非齐次微分方程280

7.8.1 自由项为f(x)=P(x)eλx的情形280

7.8.2 自由项为f(x)=eax（Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx）的情形282

习题7.8285

7.9　欧拉方程286

习题7.9287

7.10　常系数线性微分方程组解法举例287

习题7.10289

7.11　微分方程的应用举例290

习题7.11298

总复习题七298

习题答案（上）301

附录Ⅰ 数学归纳法336

附录Ⅱ 一些常用的中学数学公式338

附录Ⅲ 几种常用的曲线（α＞0）340

附录Ⅳ　积分表344