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第一部分 复变函数1

第一章 复数与复变函数1

1.1复数及其运算1

1.复数域1

2.复平面3

3.复数的三角表示式与指数表示式5

4.复数的乘幂与方根7

5.曲线的复数方程9

1.2复平面上的点集11

1.区域11

2.单连通域与多连通域13

1.3复变函数14

1.复变函数的定义14

2.映射的概念14

1.4复变函数的极限和连续性16

1.函数的极限16

2.函数的连续性18

1.5复球面与无穷远点19

1.复球面19

2.扩充复平面上的几个概念20

习题一22

第二章 解析函数24

2.1解析函数的概念24

1.复变函数的导数与微分24

2.解析函数的概念26

2.2函数解析的充分必要条件27

1.柯西-黎曼条件27

2.由柯西-黎曼条件所得的推论31

2.3初等函数31

1.指数函数32

2.对数函数32

3.乘幂ab与幂函数34

4.三角函数和双曲函数35

5.反三角函数和反双曲函数36

习题二38

第三章 复变函数的积分40

3.1复变函数积分的概念及其简单性质40

1.复变函数积分的定义及其计算方法40

2.积分的性质44

3.2柯西-古萨基本定理及推广44

1.基本定理44

2.基本定理的推广——复合闭路定理45

3.3原函数与不定积分48

3.4柯西积分公式51

3.5解析函数的高阶导数53

3.6解析函数与调和函数的关系55

3.7解析函数的应用58

1.用复变函数表示平面向量场58

2.流量与环量59

3.平面流速场的复势60

4.静电场的复势63

习题三67

第四章 解析函数的级数表示法70

4.1复数项级数及基本性质70

1.复数列的极限70

2.复数项级数71

4.2幂级数73

1.复变函数项级数73

2.幂级数的概念74

3.幂级数的收敛圆与收敛半径75

4.幂级数的运算和性质78

4.3解析函数的泰勒展式79

4.4解析函数的洛朗展式85

1.双边幂级数85

2.解析函数的洛朗展式86

3.洛朗展式在曲线积分的计算中的应用92

4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式93

5.洛朗级数与泰勒级数的关系94

习题四95

第五章 留数及其应用97

5.1孤立奇点97

1.函数的孤立奇点的概念与分类97

2.函数的零点与极点的关系99

3.函数在无穷远点的性态102

5.2留数及其应用104

1.留数的定义及留数定理104

2.留数的计算105

3.函数在无穷远点的留数109

5.3留数在定积分计算上的应用111

1.形如∫2πR（cosθ, sinθ） dθ的积分111

2.形如∫+∞-∞R（x）dx的积分113

3.形如∫+∞-∞R（x）eaixdx的积分114

4.杂例115

习题五118

第六章 保形映射120

6.1保形映射的概念120

1.解析函数的导数的几何意义121

2.保形映射的概念123

6.2分式线性映射124

1.分式线性映射及其分解124

2.分式线性映射的保圆性126

3.分式线性映射的保形性126

4.分式线性映射的保交比性127

5.分式线性映射保对称点性128

6.3唯一决定分式线性映射的条件129

6.4某些初等函数所构成的映射135

1.幂函数与根式函数135

2.指数函数与对数函数139

6.5保形映射的应用139

习题六144

第二部分 积分变换147

第七章 傅里叶变换147

7.1傅里叶积分147

1.傅里叶积分的概念147

2.傅里叶积分定理148

3.傅里叶积分的物理意义——频谱150

7.2傅里叶变换152

1.傅里叶变换的定义152

2.单位脉冲函数及其傅里叶变换155

7.3傅里叶变换的性质160

1.傅里叶变换的性质160

2.卷积与卷积定理164

3.乘积定理与能量积分168

4.相关函数与能量谱密度的关系169

7.4傅里叶变换的应用172

1.傅里叶变换在微分方程和积分方程中的应用172

2.傅里叶变换在偏微分方程中的应用175

习题七177

第八章 拉普拉斯变换180

8.1拉普拉斯变换的概念180

1.拉普拉斯变换的定义180

2.拉普拉斯变换的存在定理181

3.一些常用函数的拉普拉斯变换182

8.2拉普拉斯变换的性质186

1.拉普拉斯变换的性质186

2.卷积与卷积定理197

8.3拉普拉斯变换逆变换200

1.留数法200

2.部分分式法203

3.查表法206

8.4拉普拉斯变换的应用207

1.拉普拉斯变换在微分和积分方程及微分方程组中的应用207

2.拉普拉斯变换在偏微分方程中的应用211

习题八214

第九章Z变换216

9.1 Z变换216

1.序列差分差分方程216

2.Z变换的定义217

3.Z变换存在性定理217

9.2Z变换的性质219

1.Z变换的性质219

2.卷积及卷积定理223

9.3Z逆变换224

9.4Z变换的应用225

习题九227

第十章 复变函数与积分变换的MATLAB求解228

10.1 MATLAB基础228

10.2复变函数MATLAB求解232

10.3傅立叶变换的MATLAB求解242

10.4拉普拉斯变换的MATLAB求解248

10.5Z变换的MATLAB求解252

附录256

附录1.区域变换简表256

附录2.傅里叶变换简表263

附录3.拉普拉斯变换简表267

附录4.有关数学家简介271

参考文献281

习题答案282