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第一章 向量函数1

1 向量代数1

1-1 基本概念1

1-2 向量的代数运算2

1-3 一些常用的结论和计算公式5

2 直线与平面6

3 向量函数8

3-1 向量函数的概念8

3-2 向量函数的极限9

3-3 向量函数的连续性11

3-4 向量函数的微商11

3-5 向量函数的泰勒公式14

3-6 向量函数的积分16

4 几种具有特殊性质的向量函数19

第二章 曲线的局部理论22

1 曲线的基本概念22

1-1 曲线的基本概念22

1-2 光滑曲线与正则曲线23

1-3 曲线的弧长与自然参数26

2 曲线的基本三棱形31

2-1 曲线的切线与法面31

2-2 曲线的密切面与副法线34

2-3 曲线的基本三棱形37

3 空间曲线论的基本公式42

3-1 空间曲线的曲率42

3-2 空间曲线的挠率45

3-3 空间曲线论的基本公式47

3-4 空间曲线在一点邻近的结构50

4 空间曲线论基本定理54

第三章 特殊曲线60

1 平面曲线60

2 柱面螺线63

3 曲线的渐伸线与渐缩线65

3-1 曲线的渐伸线65

3-2 曲线的渐缩线67

4 贝特朗曲线68

第四章 曲面的第一基本形式73

1 基本概念73

1-1 曲面的定义与方程73

1-2 参数变换77

1-3 曲面上的曲线78

1-4 曲面的切平面和法线81

1-5 曲面的定向84

2 第一基本形式85

2-1 第一基本形式85

2-2 曲面上曲线的弧长87

2-3 曲面上曲线的交角88

2-4 曲面上的正交曲线网90

2-5 曲面域的面积、内蕴量和内蕴性91

3 曲面间的映射93

3-1 映射的概念93

3-2 等距映射94

3-3 等角映射96

第五章 曲面的第二基本形式101

1 第二基本形式101

2 法曲率104

3 杜潘标线 渐近方向 共轭方向 主方向108

3-1 杜潘标线108

3-2 渐近方向、共轭方向、主方向109

3-3 主曲率、高斯曲率、平均曲率113

4 曲面上的特殊曲线与曲线网116

4-1 渐近曲线、渐近曲线网、共轭曲线网116

4-2 曲率线与曲率线网118

5 曲面在一点邻近的结构121

6 高斯映射与第三基本形式123

6-1 高斯映射、第三基本形式123

6-2 高斯曲率的几何意义125

第六章 曲面论的基本定理128

1 曲面的基本公式129

2 曲面的基本方程134

2-1 曲面基本方程的推导134

2-2 高斯曲率的内蕴性质137

3 曲面论基本定理的证明142

第七章 曲面上的测地线149

1 曲面上曲线的测地曲率149

1-1 测地曲率的概念149

1-2 测地曲率的计算公式151

2 曲面上的测地线155

2-1 测地线及其性质155

2-2 测地线的方程156

2-3 曲面上的半测地坐标网159

2-4 曲面上测地线的短程性161

3 测地挠率163

3-1 测地挠率164

3-2 曲面曲线的一种动标三棱形165

4 曲面上向量的平行移动167

4-1 曲面上的向量场与绝对微分167

4-2 平行向量场170

4-3 向量的平行移动172

5 高斯-波涅公式176

第八章 特殊曲面181

1 可展曲面181

1-1 直纹面181

1-2 可展曲面及其分类182

1-3 可展曲面作为单参数平面族的包络面184

1-4 可展曲面的重要定理和有关命题189

2 极小曲面194

2-1 极小曲面的定义与有关性质194

2-2 极小曲面的几何特征197

3 具有常高斯曲率的曲面201

3-1 常高斯曲率曲面201

3-2 伪球率曲面、伪球面203

3-3 伪球率曲面上的测地圆207

3-4 罗氏几何209

第九章 外微分形式与活动标架213

1 外形式与外代数213

1-1 格拉斯曼外代数213

1-2 外微分形式217

1-3 发甫方程与可积条件222

2 变换群与活动标架223

2-1 合同变换与标架223

2-2 合同变换群与微分不变式225

2-3 相对分量与结构方程226

2-4 活动标架基本定理230

3 活动标架法的应用231

3-1 曲线论基本公式231

3-2 曲面的结构方程232

3-3 曲面的基本形式233

3-4 法曲率与测地曲率234

3-5 主曲率与欧拉公式235

3-6 向量的平行移动237

3-7 高斯-波涅定理239

第十章 曲线与曲面的整体性质243

1 平面曲线的整体性质243

1-1 闭曲线的全曲率243

1-2 旋转指标245

1-3 等周不等式247

1-4 凸曲线249

1-5 卵形线251

1-6 等宽曲线252

1-7 平面直线集的测度与应用253

2 空间曲线的整体性质257

2-1 定向大圆集的测度257

2-2 简单闭曲线的全曲率259

2-3 有结曲线的全曲率262

2-4 球面闭曲线的全挠率264

3 简单曲面与卵形面266

3-1 简单曲面与光滑曲面266

3-2 定向曲面与紧致曲面268

3-3 凸曲面与卵形面270

3-4 刚性曲面与 W 曲面271

3-5 极小曲面与唯一性问题279

4 紧致曲面与示性数281

4-1 亏格与示性数281

4-2 高斯-波涅定理283

4-3 向量场的奇点与指标286

4-4 线素场与映射度289

第十一章 应用微分几何简介296

1 应用曲线论296

1-1 向量工具的应用296

1-2 数控切割与偏差比较297

1-3 发动机缸体的新型线298

1-4 变压器铁芯设计300

1-5 环状 DNA 分子的勾数与拧数301

1-6 曲线的拟合与设计303

2 应用曲面论309

2-1 蜗杆齿面与斜齿面309

2-2 齿轮啮合310

2-3 管道交线313

2-4 外板展开314

2-5 曲面的拟合与设计316

习题答案、提示与解答324