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序言1

第一篇 平面解析几何补充1

第一章 向量与平面坐标系1

1 向量1

1. 向量的概念1

2. 向量的加法和减法3

3. 数乘向量4

4. 两个向量的数量积6

习题1.18

2 向量及其运算的坐标表示9

1. 直线上的向量与坐标法9

2. 平面上的向量与坐标法11

3. 向量运算的坐标表示13

4. 几个最简单的问题14

习题1.218

第二章 直线与二次曲线19

3 在仿射坐标系下的直线方程19

1. 点向式的直线方程19

2. 二点式的直线方程、参数式方程及截距式方程20

习题2.122

3. 一般形式的直线方程22

习题2.224

4. 点与直线的相关位置24

5. 二直线间的相关位置25

4 直线束28

习题2.328

习题2.430

5 平面上的坐标变换31

1. 原点的变换31

2. 坐标向量的变换33

3. 一般的坐标变换35

习题2.535

6 椭圆、双曲线、抛物线的共同性质36

1. 焦点和准线的性质36

2. 光学性质39

3. 圆锥截线39

4. 二次曲线的直径40

7 二次曲线的切线和法线44

习题2.644

习题2.748

8 平面上的正交变换49

1. 正交变换49

2. 正交变换的基本性质52

习题2.855

9 平面上的仿射变换55

1. 仿射坐标55

2. 仿射变换56

3. 仿射变换的基本性质56

习题2.961

10 二次曲线的分类61

1. 在直角坐标系下，二次曲线的分类61

2. 在仿射坐标系下，二次曲线的分类65

11 二次曲线的一般性质67

1. 二次曲线与直线的交点、渐近方向和渐近线68

习题2.1071

2. 二次曲线的切线和奇点71

3. 中心73

4. 直径75

5. 主方向、主直径77

习题2.1179

12 利用不变量来判定二次曲线的类型79

1. 二元二次型(形式)的变换79

2. 二次曲线的不变量和半不变量80

3. 二次曲线方程的化简和分类83

第一篇 复习提纲和总习题90

习题2.1290

第二篇 空间解析几何95

第三章 向量和空间坐标系95

13 空间中的向量与坐标法95

1. 向量的坐标95

2. 空间坐标系96

3. 向量的向量积及其运算法则99

4. 向量的混合积104

5. 几个重要的恒等式106

6. 几个最简单的问题107

习题3.1108

14 曲面和空间曲线的表示109

1. 曲面与方程109

2. 空间曲线的方程114

3. 球面坐标与柱面坐标115

习题3.2117

15 空间中的坐标变换117

1. 原点的变换117

2. 坐标向量的变换119

3. 空间直角坐标系的变换120

习题3.3121

4. 欧拉角121

5. 空间中的正交变换与仿射变换122

习题3.4125

第四章 空间中的直线与平面126

16 在仿射坐标系下，空间直线的方程126

1. 平面的方程127

17 在仿射坐标系下，平面的方程127

2. 平面关于坐标系的位置130

18 直线与平面的相关位置131

1. 空间直线与平面的相交和平行131

2. 空间直线的一般方程132

3. 两条直线平行与共面的条件133

19 平面的法线式方程、一点到一个平面的距离134

习题4.1137

20 直线与平面138

1. 二平面间的交角、垂直和平行的条件138

2. 直线与平面的交角、平行和垂直的条件138

3. 二直线间的交角和垂直的条件140

习题4.2140

1. 一点到一直线的距离141

2. 二不共面直线间的最短距离141

21 空间的点到直线的距离、二不共面直线间的距离141

习题4.3143

22 平面的线性组144

1. 矩阵及其秩144

2. 平面的线性组146

习题4.4154

第五章 二次曲面156

23 椭球面157

习题5.1159

24 双曲面159

习题5.2161

25 抛物面162

习题5.3165

26 二次锥面与二次柱面166

习题5.4168

27 二次直纹面168

习题5.5171

28 二次曲面的分类及其一般性质172

1. 二次曲面与直线的交点、渐近方向173

2. 二次曲面的切面和法线175

3. 曲面的直径平面与中心176

4. 按渐近方向分类二次曲面179

习题5.6180

5. 二次曲面的奇异方向、共轭方向与共轭直径180

6. 曲面的主平面183

习题5.7183

习题5.8185

29 二次曲面的分类185

1. 在直角坐标系下，二次曲面的分类185

习题5.9190

2. 在仿射坐标系下，二次曲面的分类190

30 利用不变量来判定二次曲面的类型193

1. 二次型的变换193

习题5.10195

2. 二次曲面的不变量和半不变量196

习题5.11198

3. 二次曲面方程的化简和分类199

第二篇 复习提纲与总习题204

31 射影变换的起源及射影几何的产生和发展210

第三篇 射影解析几何概要210

第六章 一维射影解析几何210

32 一维基本形式的齐次笛氏坐标和射影坐标214

1. 直线上点的齐次笛氏坐标和射影坐标214

习题6.1217

2. 射影坐标变换217

习题6.2218

3. 线束中直线的坐标218

4. 面束中平面的坐标220

33 一维射影变换221

34 交比223

习题6.3229

35 透视对应230

36 射影变换的固定元素和它的特征不变量232

习题6.4232

37 对合234

习题6.5237

第七章 二维射影解析几何238

38 平面上点的齐次笛氏坐标238

习题7.1241

39 圆点241

40 平面上的直线坐标244

41 平面上的射影坐标245

习题7.2249

42 平面上的对偶原则250

43 平面上射影坐标变换254

1. 射影变换及其基本定理255

44 平面上的射影变换、仿射变换和度量变换255

2. 仿射变换259

3. 度量变换261

习题7.3262

45 射影坐标的应用263

1. 完全四点形与完全四边形263

2. 德沙格定理与巴普斯定理265

习题7.4266

46 二次曲线的射影几何、仿射几何和度量几何267

1. 二次曲线及其切线267

2. 二阶曲线271

3. 配极论273

4. 二次曲线的射影分类276

5. 二次曲线的仿射几何278

习题7.5278

6. 二次曲线的度量几何281

习题7.6283

47 射影形式与二次曲线284

1. 二次(二阶)曲线的射影作图法284

2. 由五点(直线)确定二次(二阶)曲线的作图法286

3. 巴斯加定理和布里安松定理287

习题7.7289

48 变换群、几何分类289

1. 变换及其性质290

2. 变换群291

3. 抽象群292

4. 几何分类293

1. 非欧几何的发现294

习题7.8294

49 非欧几何导引294

2. 第五公设问题的解答296

3. 双曲运动群与椭圆运动群296

4. 射影测度297

50 几何公理系统简介304

1. 公理系统的三个基本问题305

2. 双曲几何与欧氏几何的关系306

第三篇 复习提纲与总习题310

附录 平面解析几何复习314

1 平面坐标系与坐标变换314

2 几个简单的问题与公式316

3 直线的方程以及点与直线的相互位置318

4 二次曲线322