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第1章 函数、极限与连续1

1.1集合1

1.1.1集合的概念1

1.1.2集合之间的运算2

1.1.3区间和邻域2

习题1.13

1.2函数及其特性3

1.2.1映射3

1.2.2函数4

1.2.3函数的基本性质7

习题1.29

1.3反函数与复合函数9

1.3.1反函数9

1.3.2复合函数10

习题1.311

1.4初等函数11

1.4.1基本初等函数11

1.4.2初等函数15

1.4.3双曲函数和反双曲函数15

习题1.416

1.5数列极限16

1.5.1数列的基本概念17

1.5.2数列的极限18

1.5.3收敛数列的性质20

习题1.521

1.6函数的极限22

1.6.1当x→∞时函数f（x）的极限22

1.6.2当x→x0时函数f（x）的极限23

1.6.3函数极限的性质25

习题1.625

1.7两种特殊的量——无穷小量与无穷大量26

1.7.1无穷小量26

1.7.2无穷大量26

1.7.3无穷小量与无穷大量的关系27

习题1.728

1.8极限的运算法则28

1.8.1无穷小的运算法则28

1.8.2函数极限的四则运算法则29

1.8.3复合函数的极限运算法则31

习题1.832

1.9极限存在准则与两个重要极限32

1.9.1极限的夹逼准则及应用32

1.9.2单调有界准则及应用34

习题1.937

1.10无穷小的比较38

1.10.1无穷小比较的定义38

1.10.2无穷小的等价代换——简称等价代换39

习题1.1041

1.11函数的连续与间断41

1.11.1函数在一点连续的概念41

1.11.2函数在区间上连续的概念42

1.11.3连续函数的运算性质及初等函数的连续性43

1.11.4函数的间断点及其分类44

习题1.1146

1.12闭区间上连续函数的性质46

1.12.1最大值、最小值定理46

1.12.2有界性定理47

1.12.3介值定理47

1.12.4一致连续性48

习题1.1249

本章小结49

一、内容概要49

二、解题指导49

复习题150

第2章 导数与微分52

2.1函数的瞬时变化率——导数的概念52

2.1.1概念引入52

2.1.2导数的定义54

2.1.3函数的可导性与连续性的关系56

2.1.4几个基本初等函数的导数公式的推导57

习题2.158

2.2导数的运算法则59

2.2.1导数的四则运算法则59

2.2.2反函数和复合函数的求导法则61

2.2.3导数基本公式表65

习题2.266

2.3高阶导数67

2.3.1高阶导数的概念67

2.3.2高阶导数的求导运算法则69

习题2.370

2.4隐函数以及由参数方程确定的函数的求导法70

2.4.1隐函数求导法70

2.4.2由参数方程确定的函数的求导法74

2.4.3相关变化率77

习题2.478

2.5函数的微分及其应用79

2.5.1微分的定义79

2.5.2可微与可导的关系80

2.5.3微分的几何意义80

2.5.4微分基本公式和运算法则81

2.5.5复合函数的微分—微分的形式不变性81

2.5.6微分在近似计算中的应用82

习题2.583

本章小结84

一、内容概要84

二、解题指导84

三、数学史与人物介绍84

复习题286

第3章 微分中值定理与导数的应用88

3.1微分中值定理88

3.1.1罗尔中值定理88

3.1.2拉格朗日中值定理91

3.1.3柯西中值定理94

习题3.196

3.2洛必达法则97

3.2.1 0/0型未定式的洛必达法则97

3.2.2∞/∞型未定式的洛必达法则99

3.2.3其他类型的未定式100

3.2.4注意事项举例101

习题3.2102

3.3泰勒公式103

3.3.1问题的提出103

3.3.2系数的选取103

3.3.3误差的确定104

3.3.4泰勒中值定理105

习题3.3109

3.4函数性态的研究109

3.4.1函数的单调性109

3.4.2函数的极值111

3.4.3函数的最大（小）值113

3.4.4曲线的凹凸性及拐点115

习题3.4119

3.5函数图形的描绘121

3.5.1曲线的渐近线121

3.5.2函数图形的描绘121

习题3.5123

3.6平面曲线的曲率124

3.6.1弧微分124

3.6.2曲率及其计算公式124

3.6.3曲率圆与曲率半径127

习题3.6128

3.7方程的近似解129

3.7.1二分法129

3.7.2牛顿迭代法130

习题3.7133

本章小结133

一、内容概要133

二、解题指导134

三、人物介绍134

复习题3137

第4章 不定积分140

4.1不定积分的概念140

4.1.1原函数与不定积分的概念140

4.1.2基本积分表143

4.1.3不定积分的性质144

习题4.1146

4.2换元积分法147

4.2.1第一类换元法147

4.2.2第二类换元法153

习题4.2158

4.3分部积分法159

习题4.3162

4.4有理函数积分法163

4.4.1有理函数的积分163

4.4.2可化为有理函数的积分166

习题4.4169

本章小结169

一、内容概要169

二、解题指导169

复习题4170

第5章 定积分172

5.1定积分的概念与性质172

5.1.1中学基础知识回顾172

5.1.2定积分的定义175

5.1.3定积分的基本性质178

习题5.1184

5.2微积分基本定理185

5.2.1积分上限的函数186

5.2.2微积分基本定理187

习题5.2191

5.3定积分的换元积分法与分部积分法195

5.3.1定积分的换元积分法195

5.3.2定积分的分部积分法199

5.3.3定积分第二中值定理201

习题5.3202

5.4反常积分204

5.4.1无限区间上的反常积分204

5.4.2无界函数的反常积分206

5.4.3反常积分的柯西主值208

习题5.4208

5.5反常积分的收敛判别法209

5.5.1无限区间上反常积分的敛散性判别法209

5.5.2无界函数的反常积分的敛散性判别法214

习题5.5215

本章小结216

一、内容概要216

二、解题指导216

三、历史人物介绍217

复习题5218

第6章 定积分的应用221

6.1定积分的微元法221

6.2定积分的几何应用222

6.2.1平面图形的面积222

6.2.2体积226

6.2.3平面曲线的弧长230

6.2.4旋转曲面的面积232

习题6.2233

6.3定积分的物理应用234

6.3.1变力沿直线做功234

6.3.2液体的压力237

6.3.3引力238

6.3.4质量239

习题6.3239

6.4定积分的经济应用240

6.4.1总产量240

6.4.2最大利润240

6.4.3消费过剩241

习题6.4241

本章小结242

一、内容概要242

二、解题指导242

复习题6242

第7章 常微分方程244

7.1微分方程的基本概念244

习题7.1247

7.2可分离变量的一阶方程与齐次方程248

7.2.1可分离变量的方程248

7.2.2齐次方程251

7.2.3可化为齐次的方程254

习题7.2255

7.3一阶线性微分方程256

7.3.1一阶线性方程256

7.3.2伯努利方程260

习题7.3261

7.4可降阶的高阶微分方程262

7.4.1 y（n）=f（x）型的微分方程263

7.4.2y″=f（x，y′）型的微分方程263

7.4.3 y″=f（y，y′）型的微分方程264

习题7.4268

7.5高阶线性微分方程268

7.5.1二阶线性微分方程举例268

7.5.2线性微分方程的解的结构270

7.5.3常数变易法272

习题7.5275

7.6常系数线性齐次微分方程275

习题7.6281

7.7常系数线性非齐次微分方程281

7.7.1 f（x） =eλxPm （x）型282

7.7.2 f（x）=eλx[Pl（x）cosωx＋Pn（x）sinωx]型284

习题7.7286

7.8欧拉方程286

习题7.8288

本章小结288

一、内容概要289

二、解题指导289

三、数学史与人物介绍290

复习题7291

第8章 MATLAB软件与一元函数微积分294

8.1 MATLAB工作环境与编程294

8.1.1 MATLAB的安装与启动294

8.1.2 MATLAB工作环境294

8.1.3 MATLAB的帮助功能295

8.1.4对输入指令的编辑及部分通用指令296

8.1.5 MATLAB的基本设计297

8.2一元函数微分学实验297

8.2.1曲线绘图297

8.2.2 MATLAB求函数极限301

8.2.3 MATLAB求导数301

8.2.4 MATLAB求极值和最值302

8.2.5 MATLAB求方程的根304

8.2.6常微分方程符号求解305

8.3一元函数积分学实验306

8.3.1 MATLAB求不定积分307

8.3.2 MATLAB求数值积分307

本章小结311

复习题8312

附录Ⅰ二阶和三阶行列式简介313

附录Ⅱ几种常用的曲线317

附录Ⅲ积分表319

附录Ⅳ部分常用数学公式329

一、三角函数中的常用公式329

习题答案与提示332