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1 数值计算概论1

1.1 数值分析的对象与特点1

1.1.1 研究对象1

1.1.2 主要特点2

1.1.3 数值问题与数值方法2

1.2 误差与有效数字4

1.2.1 误差的来源与分类4

1.2.2 误差概念5

1.2.3 有效数字6

1.3 误差估计与误差分析7

1.3.1 算术运算的误差界7

1.3.2 函数求值的误差估计8

1.3.3 误差分析方法9

1.4 误差的定性分析与运算原则11

1.4.1 算法的数值稳定性11

1.4.2 病态问题与条件数13

1.4.3 数值运算的简单原则14

1.5 并行算法及其基本概念17

1.5.1 并行算法及其分类17

1.5.2 并行算法基本概念及设计原则21

2 插值法24

2.1 引言24

2.1.1 插值的意义24

2.1.2 插值问题的提法24

2.2.1 基函数26

2.1.3 插值多项式的存在惟一性26

2.2 拉格朗日插值26

2.2.2 拉格朗日插值多项式28

2.2.3 余项29

2.3 艾特肯法30

2.3.1 问题的提出30

2.3.2 艾特肯法的描述31

2.3.3 计算工作量32

2.4 均差与牛顿插值34

2.4.1 均差34

2.4.2 牛顿插值公式36

2.4.3 计算工作量37

2.5.1 差分38

2.5 差分与等距节点插值38

2.5.2 牛顿差分插值公式41

2.5.3 高斯公式42

2.5.4 斯特林公式44

2.5.5 贝塞尔公式44

2.5.6 等距节点插值公式的使用45

2.6 埃尔米特插值48

2.6.1 一般提法48

2.6.2 插值多项式的建立与余项49

2.6.3 重节点均差与均差形式的埃尔米特插值多项式51

2.7.1 插值多项式的收敛性与病态性质54

2.7 插值多项式的收敛性与稳定性54

2.7.2 插值函数的稳定性57

2.8 分段低次插值59

2.8.1 分段线性插值59

2.8.2 分段三次埃尔米特插值61

2.9 样条插值62

2.9.1 样条函数62

2.9.2 B样条63

2.9.3 三次样条插值问题的提法65

2.9.4 均匀分划的三次样条插值函数67

2.9.5 任意分划的三次样条插值函数71

2.9.6 三次样条插值的收敛性73

2.10 反插值75

2.10.1 插值与反插值75

2.10.2 利用函数的插值多项式反插76

2.10.3 构造反函数的插值多项式78

2.11 有理函数插值79

2.11.1 有理插值的存在惟一性79

2.11.2 蒂埃勒倒差商算法82

3 函数逼近与曲线拟合86

3.1 函数空间的范数与最佳逼近问题86

3.1.1 函数逼近与函数空间的范数86

3.1.2 最佳逼近问题87

3.2.1 连续函数的一致逼近88

3.2 最佳一致逼近88

3.2.2 最佳一致逼近多项式90

3.3 最佳一致逼近多项式的数值方法93

3.3.1 最佳一致线性逼近93

3.3.2 列梅兹算法94

3.4 正交多项式96

3.4.1 内积与正交多项式96

3.4.2 勒让德多项式100

3.4.3 切比雪夫多项式101

3.4.4 其他常用的正交多项式104

3.5 最佳平方逼近105

3.6.1 最佳平方逼近与广义傅里叶级数110

3.6 用正交函数族作最佳平方逼近110

3.6.2 用勒让德多项式作平方逼近111

3.6.3 截断切比雪夫级数113

3.7 近似最佳一致逼近115

3.7.1 泰勒级数项数的节约115

3.7.2 切比雪夫多项式零点插值117

3.8 曲线拟合的最小二乘法119

3.8.1 基本原理119

3.8.2 线性最小二乘逼近121

3.8.3 用正交多项式作最小二乘拟合126

3.8.4 多元最小二乘拟合128

3.9 傅里叶逼近128

3.9.1 最佳平方逼近与三角插值128

3.9.2 快速傅里叶变换132

3.10 有理逼近与连分式136

3.11 最佳有理逼近141

3.12 帕德逼近146

3.13 梅利逼近151

3.14 函数的连分式展开156

4 数值积分与数值微分163

4.1 引言163

4.2 牛顿-科茨求积公式164

4.2.1 公式的一般形式164

4.2.2 梯形公式166

4.2.3 辛普森公式167

4.2.4 高阶牛顿-科茨公式168

4.2.5 开型牛顿-科茨公式170

4.3 复合求积公式172

4.3.1 复合梯形公式173

4.3.2 复合辛普森公式174

4.3.3 复合求积公式的收敛性175

4.3.4 区间逐次分半法176

4.4 里查森外推算法和龙贝格积分法179

4.4.1 里查森外推算法179

4.4.2 龙贝格积分法181

4.5 高斯求积公式184

4.5.1 高斯型求积公式185

4.5.2 高斯-勒让德求积公式188

4.5.3 高斯-切比雪夫求积公式192

4.5.4 高斯-拉盖尔求积公式193

4.5.5 高斯-埃尔米特求积公式194

4.6 预先给定节点的高斯求积公式195

4.6.1 高斯-拉道求积公式195

4.6.2 高斯-洛巴托求积公式196

4.7 切比雪夫求积法198

4.8 三次样条函数求积法202

4.8.1 一般情况的求积公式203

4.8.2 简单情况的求积公式204

4.9 自适应积分法206

4.9.1 自适应辛普森方法207

4.9.2 计算步骤209

4.10 奇异积分的计算212

4.10.1 积分变量替换212

4.10.2 极限过程213

4.10.3 奇异性的解析处理214

4.10.4 乘积积分216

4.10.5 削减奇异性方法219

4.10.6 康托洛维奇方法219

4.10.7 高斯求积221

4.11 振荡函数的积分223

4.11.1 在两零点之间的积分224

4.11.2 菲隆方法224

4.12.1 变量替换227

4.12 无穷区间上的积分227

4.12.2 无穷区间的截断228

4.12.3 无穷区间上的高斯求积公式229

4.12.4 极限过程230

4.13 重积分的数值计算232

4.13.1 基本概念232

4.13.2 梯形公式及其复合公式233

4.13.3 辛普森求积公式及其复合公式235

4.13.4 高斯型求积公式238

4.13.5 一般积分区域239

4.14.1 数值微分的概念240

4.14 数值微分的基本方法240

4.14.2 用插值多项式求数值微分242

4.14.3 将微分问题化为积分问题245

4.14.4 用三次样条函数求数值微分248

4.14.5 二阶导数249

4.15 数值微分的外推算法251

4.16 附表253

4.16.1 高斯-勒让德求积公式的节点和系数253

4.16.2 高斯-拉盖尔求积公式的节点和系数256

4.16.3 高斯-埃尔米特求积公式的节点和系数257

5 方程求根259

5.1 方程求根与二分法259

5.1.1 方程求根与根的隔离259

5.1.2 二分法260

5.2 迭代法及其收敛性262

5.2.1 不动点迭代法262

5.2.2 不动点存在性与迭代法收敛性264

5.3 迭代法的加速收敛267

5.3.1 艾特肯加速方法267

5.3.2 斯蒂芬森迭代法268

5.4 牛顿法270

5.4.1 牛顿法及其收敛性270

5.4.2 简化牛顿法与牛顿下山法272

5.5 弦截法与抛物线法273

5.5.1 弦截法274

5.5.2 试位法与斯蒂芬森方法275

5.5.3 抛物线法276

5.6 多重迭代法279

5.7 重根计算281

5.8 代数方程求根与迭代法283

5.8.1 引言与多项式求值283

5.8.2 牛顿法与拉盖尔迭代法284

5.9 根模的界与实根隔离286

5.9.1 根模的上下界286

5.9.2 施图姆序列289

5.10 伯努利方法291

5.11 劈因子法293

5.12 复根的隔离297

5.13 复多项式的圆盘迭代法303

5.14 病态代数方程309

6.1 引言311

6 解线性方程组的直接方法311

6.2 矩阵分析312

6.2.1 向量范数312

6.2.2 矩阵范数313

6.2.3 初等矩阵315

6.3 高斯顺序消去法和矩阵的LU分解318

6.4 高斯主元素消去法321

6.5 高斯-若尔当消去法324

6.5.1 列主元高斯-若尔当消去法324

6.5.2 高斯-若尔当消去法求逆矩阵326

8.1.4 扰动和敏感性425

8.2.1 矩阵的变换和矩阵的舒尔分解428

8.2 矩阵的变换和矩阵的分解428

8.2.2 豪斯霍尔德变换和吉文斯变换429

8.2.3 化矩阵为海森伯格形431

8.2.4 矩阵的QR分解434

8.3 幂法和反幂法437

8.3.1 幂法437

8.3.2 加速方法438

8.3.3 收缩方法440

8.3.4 反幂法和原点位移444

8.4 QR算法445

8.4.1 基本算法及收敛性446

8.4.3 原点位移的QR算法448

8.4.2 海森伯格阵的QR算法448

8.4.4 双步隐式QR算法450

8.5 对称QR算法455

8.6 雅可比方法460

8.6.1 经典雅可比方法460

8.6.2 行循环雅可比方法463

8.7 子空间迭代法464

8.8 阿诺尔德方法466

8.9 兰乔斯方法468

8.10 对称广义特征值问题472

8.10.1 楚列斯基-对称QR算法472

8.10.2 兰乔斯算法473

9.1.1 非线性方程组求解问题476

9 非线性方程组数值解与最优化方法476

9.1 引言476

9.1.2 无约束最优化与非线性最小二乘478

9.1.3 非线性映射的导数与中值定理480

9.2 迭代法与不动点定理483

9.2.1 迭代法基本概念483

9.2.2 压缩映射原理与不动点定理485

9.3 牛顿型方法486

9.3.1 牛顿法与牛顿型方法486

9.3.2 牛顿法的收敛性与误差估计489

9.3.3 离散牛顿法与修正牛顿法491

9.3.4 牛顿下山法493

9.4.1 布朗方法494

9.4 布朗方法与布兰特方法494

9.4.2 布兰特方法499

9.5 牛顿松弛型迭代法501

9.5.1 顿-SOR迭代法502

9.5.2 非线性松弛迭代法504

9.6 割线法506

9.7 拟牛顿法512

9.7.1 拟牛顿法的基本思想512

9.7.2 布罗依登方法514

9.7.3 秩2校正公式518

9.8.1 延拓法基本思想519

9.8 延拓法519

9.8.2 数值延拓法521

9.8.3 参数微分法523

9.9 单纯形算法525

9.9.1 三角剖分与算法基本思想525

9.9.2 同伦算法529

9.10 区间迭代法532

9.11 并行多分裂方法536

9.11.1 线性多分裂方法536

9.11.2 非线性多分裂方法539

9.12 无约束最优化方法543

9.12.1 基本概念543

9.12.2 下降算法与一维搜索546

9.12.3 最速下降法与牛顿下降法547

9.12.4 共轭梯度法550

9.12.5 变尺度法551

9.13 非线性最小二乘法552

10 常微分方程初值问题的数值方法555

10.1 引言555

10.1.1 常微分方程的初值问题555

10.1.2 数值离散方法558

10.2 显式单步法的一般概念560

10.3 欧拉方法563

10.3.1 欧拉方法563

10.3.2 隐式欧拉方法和梯形方法565

10.3.3 改进的欧拉方法566

10.4 龙格-库塔方法567

10.4.1 显式龙格-库塔方法的一般形式567

10.4.2 二阶显式龙格-库塔方法568

10.4.3 三阶显式龙格-库塔方法570

10.4.4 四阶显式龙格-库塔方法571

10.4.5 高阶显式龙格-库塔方法573

10.4.6 龙格-库塔-费尔贝格方法574

10.4.7 隐式龙格-库塔方法580

10.4.8 单步法的绝对稳定性586

10.5 线性多步法591

10.5.1 线性多步法的一般概念591

10.5.2 亚当斯方法594

10.5.3 尼斯特龙方法597

10.5.4 汉明方法598

10.5.5 线性多步法的收敛性598

10.5.6 线性多步法的稳定性600

10.5.7 线性多步法的绝对稳定性601

10.6 预测-校正方法604

10.6.1 预测-校正的一般方法604

10.6.2 亚当斯预测-校正方法605

10.6.3 汉明预测-校正方法607

10.7 外推方法607

10.7.1 外推的一般方法607

10.7.2 格拉格外推方法609

10.8.2 高阶方程的数值方法611

10.8 方程组和高阶方程的数值方法611

10.8.1 一阶微分方程组的数值方法611

10.9 刚性方程组的数值方法612

10.9.1 方程组的刚性现象612

10.9.2 刚性方程组的稳定性614

10.9.3 刚性方程组的数值方法615

11 常微分方程边值问题的数值方法618

11.1 引言618

11.2 打靶法620

11.2.1 线性边值问题的打靶法620

11.2.2 非线性边值问题的打靶法622

11.3.1 线性边值问题的差分方法625

11.3 有限差分方法625

11.3.2 非线性边值问题的差分方法630

11.4 变分方法632

11.4.1 变分问题633

11.4.2 变分问题的近似计算637

11.5 有限元方法640

11.5.1 线性元641

11.5.2 高次元647

11.6 样条函数方法650

12 偏微分方程数值解法653

12.1 椭圆型方程的有限差分方法653

12.1.1 典型问题653

12.1.2 网格和差分近似654

12.1.3 差分格式的构造方法655

12.1.4 常用的有限差分格式657

12.1.5 边界条件的处理659

12.2 双曲型方程的差分方法664

12.2.1 典型问题664

12.2.2 差分格式666

12.2.3 对流方程的差分格式671

12.2.4 二维对流方程的差分格式678

12.2.5 波动方程的差分格式681

12.3 抛物型方程的差分方法684

12.3.1 典型问题684

12.3.2 扩散方程的差分格式686

12.3.3 对流扩散方程的差分方法693

12.3.4 二维扩散方程的差分方法697

12.4 有限元方法700

12.4.1 椭圆型边值问题的变分原理700

12.4.2 三角形线性元703

12.4.3 三角形单元上的高次插值715

12.4.4 矩形单元720

12.4.5 等参数单元723

13 多重网格法725

13.1 多重网格法基本原理726

13.1.1 模型726

13.1.2 多重网格法思想727

13.1.3 双网格方法728

13.1.4 多重网格法原理——一维模型问题分析731

13.2 线性多重网格法738

13.3 完整的多重网格法742

13.4 二维多重网格诸元素744

13.4.1 差分格式744

13.4.2 光滑迭代744

13.4.3 网格粗化750

13.4.4 延拓或插值750

13.4.5 限制753

13.5 非线性多重网格法754

13.5.1 牛顿多重网格法755

13.5.2 非线性多重网格法756

13.6 计算机上的执行性能761

13.6.1 数据结构761

13.6.2 存储量763

13.6.3 计算量763

14 积分方程数值解法765

14.1 引言765

14.2 第二类弗雷德霍姆积分方程的数值求积方法766

14.2.1 方法的一般描述766

14.2.2 乘积积分法768

14.2.3 修正的数值求积方法770

14.2.4 重叠核方法772

14.3 近似退化核替代法774

14.4 基于解的展开方法777

14.4.1 最小二乘近似777

14.4.2 矩量法779

14.5 特征值问题781

14.6 第二类沃尔泰拉积分方程的数值积分法784

14.6.1 用多步法解第二类沃尔泰拉积分方程785

14.6.2 用龙格-库塔型方法解第二类沃尔泰拉积分方程789

附录 数学软件Matlab简介792

外国人名表797

外文一中文名词索引802

中文一外文名词索引819

参考文献836