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第1章 集合与映射1

1.1集合1

1.1.1集合的概念1

1.1.2集合的运算2

1.1.3集合序列的极限4

1.2映射5

1.2.1映射的概念5

1.2.2复合映射及性质7

1.3二元关系7

1.3.1二元关系的概念7

1.3.2等价关系8

1.4集合的势10

1.4.1势的概念10

1.4.2可数集与超穷数10

1.5序结构11

1.5.1序关系11

1.5.2确界与最大元12

习题113

第2章 代数结构与抽象空间15

2.1代数结构15

2.1.1代数运算与同构15

2.1.2群16

2.1.3环与域18

2.2线性空间19

2.2.1线性空间的概念19

2.2.2线性空间的基与维数20

2.2.3线性空间中的一些基本概念21

2.3距离空间23

2.3.1距离空间的概念及举例23

2.3.2距离空间的开集与闭集25

2.3.3极限与连续映射27

2.3.4距离空间的致密集与紧集29

2.3.5压缩映射与不动点原理29

2.4赋范空间32

2.4.1赋范空间的概念和性质32

2.4.2赋范空间的基35

2.4.3赋范空间的同构35

2.5内积空间36

2.5.1内积空间的基本概念36

2.5.2内积空间的正交与投影38

2.5.3内积空间的正交基39

2.6 拓扑空间41

2.6.1拓扑空间的概念41

2.6.2连续映射与同胚45

2.6.3拓扑空间的连通性47

2.6.4拓扑空间的分离性与紧致性49

2.7拓扑线性空间51

2.7.1拓扑线性空间的概念51

2.7.2拓扑线性空间的局部基52

2.7.3局部凸空间53

习题255

第3章 测度与积分57

3.1测度57

3.1.1测度空间57

3.1.2外测度及由它导出的测度59

3.1.3 Rn上的Lebesgue测度64

3.2可测函数与可测函数的积分65

3.2.1可测函数的概念65

3.2.2可测函数的积分66

3.2.3积分号下的极限运算71

习题372

第4章 泛函分析74

4.1算子与泛函74

4.1.1算子与泛函的概念74

4.1.2线性算子与线性泛函75

4.1.3几种收敛概念79

4.1.4算子的微分81

4.2泛函的极值86

4.2.1泛函极值与变分的概念86

4.2.2 Euler方程90

4.2.3泛函极值问题的近似解法98

4.3广义函数103

4.3.1广义函数的产生103

4.3.2基本函数空间与广义函数105

4.3.3广义函数的支集与广义函数的导数106

4.3.4速降函数与缓增广义函数108

4.3.5缓增广义函数的Fourier变换110

习题4111

第5章 Sobolev空间113

5.1 Sobolev空间中的基本概念113

5.2嵌入定理115

5.3 Sobolev空间应用116

习题5120

第6章 微分流形121

6.1多元映射的连续性与可微性121

6.2微分流形的定义124

6.2.1拓扑流形与微分流形124

6.2.2 可微函数与可微映射130

6.3微分流形的应用131

6.3.1临界点与Sard定理132

6.3.2 Morse理论132

6.3.3微分动力系统135

6.3.4微分流形理论在经济学中的应用141

习题6146

第7章 小波分析147

7.1窗口Fourier变换147

7.2连续小波变换149

7.3二进小波、离散小波与框架153

7.3.1二进小波变换153

7.3.2离散小波变换156

7.3.3框架156

7.4正交小波基与多分辨分析161

7.4.1正交小波161

7.4.2多分辨分析165

7.4.3 Mallat算法169

7.4.4小波与共轭滤波器170

7.4.5紧支集正交小波基172

7.5矢量小波、双正交小波、正交小波包174

7.5.1矢量小波175

7.5.2双正交小波176

7.5.3正交小波包178

7.6小波分析应用简介184

7.6.1信号的奇异性与小波变换184

7.6.2 小波在信号消噪中的应用186

7.6.3小波在突变点检测中的应用187

习题7189

第8章 粗糙集简介190

8.1知识、粗糙集190

8.2知识约简193

8.3知识表达系统195

8.3.1信息系统195

8.3.2决策表196

习题8199

参考文献200