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第1篇 高等数学题型1

第1章 极限和连续1

1.1重要定理1

1.2重要公式3

1.3函数的极限4

题型1无穷小的比较或确定无穷小的阶4

题型2求未定式函数极限5

题型3求分段函数在分界点的极限12

题型4极限式中常数的确定13

1.4数列的极限15

题型5求各种类型（∞∞型、1∞型、∞-∞型）的数列极限15

题型6给出数列{Xn}通项表达式，求极限lim n→∞xn17

题型7数列n项和Sn=n∑i=1ai，当n→∞时的极限19

题型8 n个因子乘积，当n→∞时的极限21

1.5函数的连续性22

题型9函数连续性的讨论22

题型10确定函数的间断点及其类型23

1.6杂例25

题型11从含有f（x）及limx→x0 f（x）的方程中求解f（x）25

题型12当x→0时，求含有ex1,arctanx1,arccotx1，︳x︳的极限27

题型13含f（x+a）-f（x）的非00型极限式且f（x）可导28

第2章 导数与微分29

2.1导数和微分的概念29

2.2导数公式和运算法则30

2.3重要定理31

2.4与导数定义和性质有关的命题31

题型14求含有抽象函数的00型极限31

题型15与抽象函数的导数相关的命题34

题型16判断函数的可导性36

2.5各种函数的导数或微分37

题型17求一元复合函数的导数或微分37

题型18求一元隐函数的导数或微分37

题型19求幂指函数的导数或微分39

题型20求函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分40

题型21求分段函数的导数或微分40

题型22求简单函数的高阶导数43

第3章 不定积分47

3.1不定积分47

3.2三种基本积分方法48

3.3不定积分中的概念56

题型23与原函数相关的命题56

3.4各种函数的不定积分57

题型24求简单有理函数的不定积分57

题型25简单无理函数的不定积分59

题型26三角有理式的积分60

题型27分段函数的不定积分63

题型28含对数函数、反三角函数的不定积分65

题型29复合函数的不定积分66

题型30计算隐函数的不定积分67

第4章 定积分69

4.1定积分的基本性质69

4.2重要定理69

4.3重要公式70

4.4计算定积分的方法71

4.5反常积分72

4.6与定积分的定义和性质相关的命题74

题型31定积分的估值74

题型32变限积分的求导问题75

4.7各种类型定积分的计算76

题型33求分段函数的定积分76

题型34求含有绝对值符号的定积分77

题型35求被积函数中含有变上限积分的定积分78

题型36求对称区间[-l,l]上的定积分79

题型37求周期函数的定积分81

题型38求被积函数的分母为两项，分子恰为其中一项的定积分82

题型39求由三角有理式与初等函数通过四则运算、复合运算或变量代换所得式的定积分82

题型40定积分等式的证明83

题型41定积分不等式的证明87

4.8反常积分91

题型42反常积分的计算及收敛91

第5章 微分中值定理93

5.1闭区间上连续函数的性质93

5.2微分中值定理93

5.3闭区间上连续函数的命题94

题型43闭区间上连续函数命题的证明94

5.4中值定理的应用98

题型44证明给出的函数f（x）满足某中值定理98

题型45证明某个函数恒等于一个常数的命题99

题型46命题f（n）（ξ）=0的证明100

题型47欲证结论：至少存在一点ξ∈（a,b），使得f（n）（ξ）=k（k≠0）或由a,b,f（a）,f（b）,ξ,f（ξ）,f′（ξ）,…,f（n）（ξ）所构成的代数式成立101

题型48欲证结论：在（a,b）内至少存在ξ，ηξ≠η满足某个代数式104

第6章 一元微积分的应用106

6.1重要定理和结论106

6.2导数的应用106

题型49一元函数单调增减性的判别106

题型50一元函数极值的判定或求解109

题型51求一元函数的最值及简单应用110

题型52曲线的拐点或凹凸区间的判定或求解111

题型53函数曲线的渐近线方程的计算与导数的判定112

6.3方程的根114

题型54方程根的存在性问题114

题型55方程根的个数的研究115

题型56方程根的唯一性问题116

6.4定积分的应用118

题型57利用微元法解题118

题型58求平面图形的面积119

题型59求旋转体体积121

第7章 常微分方程123

7.1二阶线性微分方程解的性质123

7.2二阶线性微分方程解的结构定理123

7.3一阶微分方程的求解124

题型60一阶可分离变量方程的求解124

题型61一阶齐次微分方程的求解125

题型62一阶线性微分方程的求解127

7.4二阶或二阶以上微分方程的求解129

题型63有关二阶常系数齐次线性或非齐次线性微分方程解的结构的命题129

题型64求二阶常系数齐次线性或非齐次线性微分方程的通解130

题型65微分方程的应用135

题型66求一阶线性差分方程的通解或特解136

第8章 多元函数微分学138

8.1连续、可微和可导的关系138

8.2多元函数的极值138

8.3多元函数微分139

题型67有关二元函数定义域、极限、连续的计算题139

题型68简单显函数z=f（x,y）偏导数的计算140

题型69考查二元函数z=f（x,y）的连续、偏导及可微性141

题型70多元复合函数偏导数的计算142

题型71隐函数偏导数的计算147

题型72多元函数全微分的计算150

8.4多元函数的极值和最值151

题型73求多元函数的极值151

题型74求多元函数的最值154

第9章 二重积分156

9.1二重积分的性质和定理156

9.2二重积分的计算157

9.3二重积分159

题型75更换二重积分的积分次序159

题型76选择积分次序160

题型77积分区域关于坐标轴对称的二重积分162

题型78分段函数的二重积分164

题型79被积函数f（x,y）中含有绝对值符号的二重积分166

题型80被积函数f（x,y）中含有最值符号max或min的二重积分167

题型81二重积分等式的证明168

题型82二重积分不等式的证明169

第10章 无穷级数171

10.1基本性质171

10.2级数的判敛法171

10.3幂级数173

10.4七个常见的函数展开式（必须熟记）174

10.5与级数概念和性质相关的命题175

题型83判别数项级数∞∑n=1un的敛散性，并附有“若收敛时，求其和”的命题175

题型84利用级数敛散性的定义及性质，判断级数的敛散性176

10.6级数敛散性的判别177

题型85正项级数敛散性的判别177

题型86交错级数∞∑n=1（一1）n-1un （un>0）敛散性的判别180

题型87任意项级数敛散性的判别182

题型88有关数项级数敛散性的证明185

题型89给出函数f（x）的某种条件，形如∞∑n＝1f（n）的级数的敛散性的证明187

题型90利用级数证明数列{an}极限的存在或求解某些特殊极限188

10.7幂级数189

题型91求幂级数的收敛域或收敛半径189

题型92求函数在指定点的幂级数展开式191

题型93无穷级数求和194

第11章 函数方程与不等式证明199

11.1函数方程199

题型94利用函数表示法与用什么字母表示无关的特性求函数方程199

题型95利用极限求函数方程199

题型96已知函数在一点的导数及函数方程，求函数方程200

题型97已知函数方程中含有变上限积分，求函数方程200

题型98已知函数连续，且函数式中含函数的定积分、极限或二重积分，求函数方程203

题型99已知函数方程中含有偏导数条件，求函数方程204

11.2不等式证明204

题型100存在一个点ξ∈（a,b），使得不等式成立或不等式通过变形，一端可写成f（b）-f（a）b-a或f（b）-f（a）g（b）-g（a）的命题的证明204

题型101在某一区间（a,b）不等式命题成立的证明205

题型102文字不等式的证明207

题型103函数f（x）二阶和二阶以上可导的不等式命题的证明208

题型104杂例209

第12章 微积分在经济中的应用211

12.1基本概念和公式211

12.2复利问题212

题型105与概念相关的问题212

题型106一元函数微分学在经济中的应用（利润、价格等问题）213

题型107复利问题216

题型108一元积分学在经济中的应用216

题型109二元函数微分学在经济中的应用（最值问题）217

题型110微分方程在经济中的应用218

第2篇 线性代数题型219

第13章 行列式219

13.1重要定理和性质219

13.2重要结论219

题型111与行列式的定义和性质相关的命题220

题型112数值型行列式的计算221

题型113行列式的余子式或代数余子式线性组合的计算226

题型114计算抽象行列式228

第14章 矩阵231

14.1矩阵的运算性质231

14.2重要结论231

14.3逆矩阵232

题型115有关逆矩阵的计算问题232

题型116矩阵可逆的证明235

14.4矩阵的运算236

题型117有关矩阵运算的命题236

题型118求矩阵的行列式238

题型119与伴随矩阵相关的命题240

14.5初等矩阵241

题型120有关初等变换和初等矩阵的命题241

第15章向量244

15.1重要结论244

15.2内积和施密特正交化方法245

15.3向量题型245

题型121讨论向量组的线性相关性245

题型122求向量组的极大线性无关组和秩249

题型123有关向量组或矩阵的秩的计算与证明250

题型124有关向量的线性表示的问题252

题型125将向量组正交化256

第16章 线性方程组257

16.1重要性质和定理257

16.2有关线性方程组的题型258

题型126有关线性方程组的基本概念题258

题型127有关基础解系的命题259

题型128线性方程组的求解260

题型129矩阵方程的求解264

题型130讨论两个线性方程组解之间的关系266

第17章 特征值与特征向量269

17.1重要结论269

17.2矩阵的特征值与特征向量270

题型131求数值型矩阵的特征值与特征向量270

题型132求抽象矩阵的特征值与特征向量272

题型133特征值与特征向量的逆问题273

17.3相似矩阵及其对角化275

题型134相似矩阵的判定及其逆问题275

题型135矩阵可对角化的判定及其逆问题276

题型136有关实对称矩阵的命题277

第18章 二次型279

18.1重要结论279

18.2二次型题型279

题型137二次型所对应的矩阵及其性质279

题型138用正交变换法化二次型为标准型281

题型139有关正定的判定285

第3篇 概率论与数理统计题型288

第19章 事件的概F率288

19.1重要性质288

19.2常用结论289

19.3古典概型和几何概型290

题型140古典概型的概率计算290

题型141几何概型的概率计算291

19.4概率的概念、性质及计算292

题型142有关事件的独立性的命题292

题型143利用逆事件概率公式P（A）=1-P（-A）计算概率294

题型144利用加法公式、乘法公式和条件概率公式计算概率294

题型145利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率297

题型146利用事件的独立性和伯努利概型计算概率300

第20章 随机变量及其分布302

20.1重要定理和结论302

20.2一维随机变量及其分布302

题型147与一维随机变量概念和性质相关的命题302

题型148求离散型随机变量的分布律或分布函数304

题型149求连续型随机变量的概率密度或分布函数306

题型150由已知分布求概率或由已知概率求分布307

题型151求一维随机变量函数的概率分布309

题型152综合题313

第21章 多维随机变量及其分布315

21.1重要结论315

21.2二维随机变量及其分布315

题型153与二维随机变量概念、性质有关的命题315

题型154求二维随机变量的各种分布（分布律，边缘分布律，边缘分布密度）317

题型155随机变量独立性的判别323

题型156由已知分布求概率324

题型157求二维随机变量函数的分布326

题型158关于二维正态分布问题331

第22章 随机变量的数字特征334

22.1重要性质和公式334

22.2重要结论335

22.3一维随机变量的数字特征335

题型159求一维随机变量的数字特征335

题型160求一维随机变量函数的数字特征或逆问题337

22.4二维或多维随机变量的数字特征338

题型161求二维随机变量及其函数的数字特征338

题型162有关数字特征与独立性及相关性的关系的命题343

题型163利用0-1分布求多维随机变量的数字特征345

题型164综合应用题型346

第23章 大数定律和中心极限定理348

23.1大数定律348

23.2中心极限定理349

题型165估算随机事件的概率349

题型166与大数定律有关的命题353

题型167试验次数n的确定353

第24章 数理统计356

24.1常用统计量356

24.2三个常见的抽样分布：x2分布、t分布和F分布356

24.3正态总体条件下样本均值和样本方差的分布358

24.4数理统计中的重要结论358

24.5参数估计的重要结论359

24.6统计量的基本概念359

题型168求统计量的分布及概率359

题型169求统计量的数字特征361

24.7参数估计364

题型170求参数的点估计（矩估计和最大似然估计）364