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绪论1

第一节 代数学发展简史1

一、代数学概述1

二、代数学的发展2

第二节 几何学发展简史6

一、几何学概述6

二、几何学的发展6

习题12

参考文献12

第一章 数13

第一节 数的形成与数系的扩充13

一、数系的五次扩充13

二、数系扩充的途径14

三、数系扩充遵循的原则15

第二节 自然数理论15

一、自然数的基数理论15

二、自然数的序数理论18

三、自然数集的一些重要性质21

四、扩大的自然数集22

第三节 整数集23

一、整数的概念与运算23

二、整数的顺序关系25

三、整数集的性质26

第四节 有理数集及其性质28

一、有理数的运算28

二、有理数的顺序关系29

三、有理数集的性质30

第五节 实数集32

一、无理数的引入32

二、实数的概念32

三、实数的顺序关系33

四、实数的运算34

五、实数的性质35

第六节 复数集37

一、复数的概念37

二、复数的运算37

三、复数的表示38

四、复数的性质40

习题一41

本章参考文献42

第二章 解析式与不等式44

第一节 解析式44

一、数学符号发展简史44

二、解析式45

第二节 绝对不等式的证明47

一、分析法与综合法47

二、数学归纳法49

三、微积分法52

四、其他方法53

第三节 条件不等式的求解55

一、解条件不等式的相关定理55

二、一元有理不等式56

三、一元无理不等式58

四、绝对值不等式60

第四节 重要不等式62

一、平均值不等式62

二、柯西不等式64

三、伯努利不等式66

四、琴森不等式67

五、排序不等式69

习题二70

本章参考文献72

第三章 方程73

第一节 方程的概念73

一、方程的基本概念74

二、方程组的基本概念74

第二节 同解方程75

一、方程的同解性75

二、方程组的同解性79

第三节 解方程的常用方法80

一、方程的常用解法80

二、三次方程和四次方程的公式解法84

三、五次以上高次方程的解法87

第四节 方程组的解法87

第五节 方程根的性质90

一、韦达定理91

二、方程的变换92

三、关于方程根的近似计算94

四、根的性质的综合运用95

第六节 不定方程98

一、二元一次不定方程99

二、商高不定方程105

三、高次不定方程与费马大定理109

四、整除与同余110

习题三119

本章参考文献121

第四章 函数122

第一节 函数概念的三种定义122

一、函数的定义122

二、反函数的定义125

三、复合函数125

四、函数的常用表示法126

第二节 初等函数127

一、基本初等函数127

二、基本初等函数的特征性质128

三、初等函数及其分类130

四、函数超越性的证明132

第三节 函数的性质与图像135

一、函数的定义域和值域135

二、函数的性质140

二、函数的图像及其画法148

第四节 函数概念的教学151

一、把握不同学段对函数教学的不同要求151

二、把握函数与代数式、方程的关系152

三、把握函数符号表示的变量之间的依赖关系和建立函数模型152

习题四153

本章参考文献154

第五章 数列155

第一节 等差数列与等比数列155

一、基本概念与简单性质155

二、与二项展开式系数相关的两个公式157

三、综合运用159

第二节 数列的通项公式与求和165

一、求数列的通项公式165

二、数列求和172

第三节 数列的差分与高阶等差数列177

一、数列的差分177

二、高阶等差数列178

三、高阶等差数列的应用181

第四节 线性递归数列181

一、基础知识181

二、齐次线性递归数列182

三、非齐次线性递归数列186

习题五189

本章参考文献190

第六章 概率与统计初步192

第一节 随机事件与样本空间192

一、必然现象与随机现象192

二、随机试验与随机事件193

三、事件间的关系与运算193

第二节 概率的概念与计算197

一、两种概率模型197

二、条件概率202

三、全概率公式与贝叶斯公式203

四、事件的独立性205

五、独立试验概型206

第三节 随机变量及其分布207

一、随机变量的概念207

二、随机变量的概率分布207

第四节 统计初步210

一、总体、个体与样本210

二、统计量211

习题六211

本章参考文献214

第七章 平面几何215

第一节 平面几何的几个重要定理215

第二节 平面几何中的若干重要不等式220

一、关于周长与面积的若干结论220

二、三角形中的基本不等式221

第三节 平面几何问题的证明223

一、平面几何问题的基本证明方法223

二、添加辅助线226

三、问题证明实施的具体办法227

习题七227

本章参考文献229

第八章 立体几何230

第一节 直线与平面的平行、垂直关系的对偶性230

一、对偶原则231

二、对偶原则的理论解释及其启示233

第二节 空间向量的数量积与向量积及其在几何中的应用233

一、空间向量的数量积（内积）及其应用233

二、空间向量的向量积（外积）及其应用237

三、利用空间向量求解立体几何问题综合举例239

第三节 求解立体几何问题的方法245

一、立体几何问题转化为向量问题245

二、空间问题与平面问题的转化250

三、化归方法在立体几何问题中的应用254

习题八255

本章参考文献261

第九章 平面解析几何262

第一节 曲线、方程与函数262

一、坐标与坐标系262

二、曲线与方程263

三、方程与函数265

四、函数与曲线265

第二节 曲线的生成与类型的判别265

一、曲线的生成265

二、圆锥曲线类型的判别267

第三节 解析几何问题的求解269

一、曲线的方程问题269

二、曲线的离心率问题270

三、与曲线相关的最值问题271

四、与曲线相关的直线问题274

习题九277

本章参考文献280

第十章 球面几何初步281

第一节 球面几何的有关概念281

一、平面与球面的位置关系281

二、直线与球面的位置关系和球幂定理282

三、球面上的距离与角283

四、球面上的基本图形284

第二节 球面三角形287

一、球面三角形三边之间的关系287

二、球面“等腰”三角形288

三、球面三角形的周长288

四、球面三角形的内角和289

五、球面三角形全等291

六、球面三角形的正弦定理与余弦定理292

七、球面多边形与欧拉公式294

习题十296

本章参考文献297