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第1章 数学建模入门1

1.1数学模型的概念与分类1

1.1.1数学模型的概念1

1.1.2数学模型的分类2

1.1.3数学建模的过程3

1.2数学建模示例5

1.2.1椅子问题5

1.2.2商人安全过河7

1.2.3购房贷款8

1.2.4减肥模型9

1.3思考题12

1.3.1乒乓球单打比赛场数确定——对应关系12

1.3.2硬币游戏——对称关系12

1.3.3一杯牛奶与一杯咖啡12

1.3.4公平投票问题13

1.4关于本书14

习题115

第2章 微分方程模型17

2.1传染病模型18

2.1.1模型Ⅰ（指数模型）18

2.1.2模型Ⅱ （SI模型）19

2.1.3模型Ⅲ （SIS模型）20

2.1.4模型Ⅳ （SIR模型）21

2.2微分方程稳定性理论25

2.2.1一阶方程的平衡点与稳定性25

2.2.2二阶方程的平衡点与稳定性28

2.3动物群体的生态模型30

2.3.1单种群增长模型30

2.3.2进行开发的单种群模型——捕鱼业的持续收获31

2.3.3生物群体的竞争排斥模型35

2.3.4食饵捕食者模型39

2.4最优捕鱼策略44

2.4.1问题的提出44

2.4.2问题重述44

2.4.3问题分析45

2.4.4基本假设46

2.4.5模型建立46

2.5经济模型48

2.5.1独家销售的广告模型48

2.5.2竞争销售的广告模型50

2.5.3效用理论51

2.5.4最优积累率模型54

2.6药物分布模型57

2.6.1药物剂量处方模型57

2.6.2药物分布的房室模型61

2.7用MATLAB解微分方程62

2.7.1微分方程（组）的解析解63

2.7.2微分方程（组）的数值解64

2.8实例分析——油气产量和可开采储量的预测问题71

2.8.1问题的提出71

2.8.2模型假设72

2.8.3模型建立72

2.8.4求解过程73

习题275

第3章 线性规划模型80

3.1线性规划的数学模型80

3.1.1实例81

3.1.2标准形式83

3.1.3化成标准形式84

3.1.4线性规划的图解法85

3.2求解线性规划方法——单纯形法88

3.2.1基本单纯形法88

3.2.2单纯形表90

3.2.3求解线性规划的两阶段方法94

3.3用LINGO软件包求解线性规划问题98

3.3.1初试LINGO99

3.3.2影子价格103

3.3.3灵敏度分析104

3.4线性规划模型的应用106

3.4.1城市规划106

3.4.2投资109

3.4.3生产计划与库存控制112

3.4.4人力规划120

3.4.5下料问题123

3.5建模竞赛试题选讲125

3.5.1装货问题125

3.5.2 DVD在线租赁129

习题3138

第4章 动态规划模型144

4.1最短路问题与动态规划的基本思想144

4.1.1最短路问题144

4.1.2问题的求解145

4.1.3最优化原理148

4.2逆序法和正序法150

4.2.1逆序法150

4.2.2正序法150

4.3动态规划应用举例152

4.3.1资源分配模型153

4.3.2背包问题的模型160

4.3.3多阶段生产模型162

4.3.4设备更新模型163

4.4用LINGO软件包求解动态规划问题166

4.4.1最短路问题166

4.4.2背包问题169

4.4.3设备更新问题171

4.4.4多阶段生产安排问题173

4.4.5产品销售问题174

习题4176

第5章 最优化模型180

5.1最优化问题的数学模型180

5.1.1无约束优化问题180

5.1.2约束优化问题183

5.2存储模型——最优化问题的应用188

5.2.1存储模型的基本概念188

5.2.2经济订购批量存储模型190

5.2.3经济生产批量存储模型198

5.3用 LINGO软件包求解最优化问题204

5.3.1求解最优化问题205

5.3.2曲线拟合问题207

5.3.3经济订购批量存储模型209

5.3.4投资组合模型212

5.4建模竞赛试题选讲——飞行管理问题220

5.4.1飞行管理问题220

5.4.2数学模型的建立221

5.4.3问题的求解222

习题5224

第6章 图论与网络模型228

6.1图的基本概念228

6.1.1从Konigsberg七桥问题谈起228

6.1.2图的基本概念229

6.1.3图的连通性234

6.1.4最短路问题235

6.1.5最短路问题的LINGO求解240

6.2运输问题与指派问题243

6.2.1运输问题243

6.2.2转运问题246

6.2.3生产计划与库存管理——运输问题的应用248

6.2.4最优指派问题250

6.3 Euler环游和Hamilton圈254

6.3.1 Euler图254

6.3.2 Hamilton圈254

6.3.3中国邮递员问题255

6.3.4旅行商问题257

6.3.5用LINGO软件求解旅行商问题259

6.4树和生成树262

6.4.1树262

6.4.2无向生成树263

6.4.3最优连线问题264

6.4.4用LINGO软件求解最优连线问题264

6.5最大流问题266

6.5.1定义与问题的描述266

6.5.2主要结果和算法269

6.5.3例子272

6.5.4用LINGO软件求解最大流问题274

6.5.5最小费用最大流问题276

6.6 竞赛试题分析278

6.6.1通信网络最优连线问题278

6.6.2灾情巡视路线（1998年中国大学生数学建模竞赛B题）282

习题6287

第7章 数理统计模型295

7.1概率论初步295

7.1.1概率295

7.1.2随机变量296

7.1.3常用的分布299

7.1.4 R软件中的分布函数306

7.2参数估计306

7.2.1总体与样本307

7.2.2点估计312

7.2.3区间估计321

7.3假设检验331

7.3.1基本概念与基本思想331

7.3.2正态总体均值的假设检验334

7.3.3正态总体方差的假设检验340

7.3.4 Wilcoxon符号秩检验与秩和检验342

7.3.5二项分布总体的假设检验346

7.4分布检验347

7.4.1 Shapiro-Wilk正态性检验348

7.4.2 Pearson拟合优度x2检验349

7.4.3 Kolmogorov-Smirnov检验351

7.4.4列联表数据的独立性检验353

习题7357

第8章 多元分析模型361

8.1回归分析361

8.1.1一元线性回归362

8.1.2多元线性回归367

8.1.3逐步回归374

8.1.4回归诊断379

8.1.5 Box-Cox变换389

8.2方差分析392

8.2.1单因素方差分析392

8.2.2单因素方差分析的进一步讨论401

8.2.3双因素方差分析404

8.3判别分析411

8.3.1距离判别412

8.3.2 Fisher判别418

8.3.3判别分析的进一步讨论423

8.4实例分析——气象观察站的优化429

8.4.1问题的提出429

8.4.2假设429

8.4.3分析430

8.4.4问题的求解430

习题8432

第9章 计算机模拟438

9.1概率分析与Monte Carlo方法438

9.1.1概率分析438

9.1.2 Monte Carlo方法439

9.1.3 Monte Carlo方法的精度分析444

9.2随机数的产生448

9.2.1均匀分布随机数的产生448

9.2.2均匀随机数的检验449

9.2.3任意分布随机数的产生451

9.2.4正态分布随机数的产生452

9.2.5用R软件生成随机数453

9.3系统模拟454

9.3.1连续系统模拟454

9.3.2离散系统模拟456

9.3.3模拟举例460

习题9466

参考文献469

附录A MATLAB软件的使用470

A.1 MATLAB软件简介470

A.1.1 MATLAB系统的安装470

A.1.2 MATLAB的工作界面470

A.1.3 MATLAB的帮助系统471

A.2矩阵与数组的运算473

A.2.1向量与矩阵的表示473

A.2.2 矩阵运算474

A.2.3数组运算476

A.2.4关系运算479

A.2.5逻辑运算480

A.2.6矩阵运算函数480

A.2.7基本函数482

A.3控制流语句484

A.3.1 for循环语句484

A.3.2 while循环语句484

A.3.3 if和break语句485

A.4文件486

A.4.1 M文件486

A.4.2 文件的输入和输出488

A.5绘图490

A.5.1二维绘图490

A.5.2三维绘图494

A.5.3与图形有关的函数499

A.5.4图形的保存501

A.5.5关于MATLAB软件的进一步说明502

附录B LINGO软件的使用503

B.1 LINGO软件简介503

B.1.1 LINGO软件的安装503

B.1.2初识LINGO——从一个例子谈起504

B.1.3 LINGO窗口命令508

B.1.4 LINGO运行状态窗口512

B.1.5 LINGO软件的基本语句513

B.2 LINGO软件中集的使用514

B.2.1集的使用514

B.2.2循环函数与集515

B.2.3生成集521

B.3 LINGO软件中段的使用528

B.3.1数据段528

B.3.2初始段530

B.3.3计算段531

B.4 LINGO软件中数据的传递532

B.4.1用＠FILE函数引入数据文件532

B.4.2用＠TEXT函数导出结果文件535

B.4.3用＠OLE函数读、写EXCEL数据文件538

B.5 LINGO软件中使用变量域函数541

B.5.1整数变量541

B.5.2自由变量和简单有界变量544

附录C R软件的使用548

C.1 R软件简介549

C.1.1 R软件的下载与安装549

C.1.2初识R软件550

C.1.3 R软件主窗口命令与快捷方式554

C.2 数字、字符与向量560

C.2.1向量560

C.2.2产生有规律的序列562

C.2.3逻辑向量563

C.2.4缺失数据564

C.2.5 字符型向量565

C.2.6复数向量566

C.2.7向量下标运算566

C.3对象和它的模式与属性569

C.3.1固有属性：mode和length569

C.3.2修改对象的长度570

C.3.3 attributes（）和attr（）函数571

C.3.4对象的class属性572

C.4因子572

C.4.1 factor（）函数572

C.4.2 tapply（）函数573

C.4.3 gl（）函数573

C.5多维数组和矩阵574

C.5.1生成数组或矩阵574

C.5.2数组下标575

C.5.3数组的四则运算577

C.5.4矩阵的运算578

C.5.5与矩阵（数组）运算有关的函数582

C.6列表与数据框585

C.6.1列表585

C.6.2数据框587

C.6.3列表与数据框的编辑590

C.7读、写数据文件590

C.7.1读纯文本文件590

C.7.2读其他格式的数据文件593

C.7.3链接嵌入的数据库595

C.7.4写数据文件596

C.8控制流597

C.8.1分支语句597

C.8.2中止语句与空语句598

C.8.3循环函数或循环语句598

C.9编写自己的函数600

C.9.1简单的例子600

C.9.2定义新的二元运算603

C.9.3有名参数与默认参数603

C.9.4递归函数605

C.10 R软件中的图形函数606

C.10.1高水平图形函数607

C.10.2高水平图形函数中的命令616

C.10.3低水平图形函数617

C.10.4图形参数的使用621

C.10.5图形参数列表622