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第0章 预备知识1

I.与微积分无关的预备知识1

0.1用直线上的点表示实数1

0.2用平面上的点表示实数对1

0.3极坐标3

0.4复数4

0.5复数的定义与代数性质4

0.6复数作为实数的推广6

0.7虚数单位i6

0.8习题7

0.9几何解释·模与辐角7

0.10共轭复数9

0.11习题9

0.12数学归纳法10

0.13习题12

0.14必要条件和充分条件12

Ⅱ.关于微积分的预备知识13

0.15导数概念13

0.16导数的基本性质14

0.17一些初等函数的导数15

0.18速度和加速度15

0.19面积问题与积分学的历史16

0.20用积分法构造新函数17

0.21积分的基本性质17

0.22指数函数18

0.23复指数19

0.24复数的极坐标形式20

0.25幂级数和函数级数21

0.26习题22

第1章 向量代数24

1.1历史背景24

1.2实n元组组成的向量空间25

1.3n≤3时n维向量的几何描述27

1.4习题29

1.5点积30

1.6向量的模和范数31

1.7向量的正交33

1.8习题34

1.9投影·n维空间中向量的夹角35

1.10单位坐标向量37

1.11习题38

1.12有限向量组的线性生成集40

1.13线性无关41

1.14基43

1.15习题44

1.16复数的n元组构成的向量空间Cn46

1.17习题47

第2章 向量代数在解析几何中的应用49

2.1引言49

2.2 n维空间中的直线50

2.3 Rn中直线的一些简单性质51

2.4n维空间中的直线和向量值函数52

2.5三维空间和二维空间中的直线53

2.6习题55

2.7 n维欧氏空间中的平面56

2.8平面和向量值函数59

2.9习题59

2.10 R3中两向量的叉积61

2.11用行列式表示叉积63

2.12习题65

2.13纯量三重积66

2.14解三元线性方程组的Cramer法则68

2.15习题69

2.16 R3中平面的法向量70

2.17 R3中平面的线性笛卡儿方程72

2.18习题73

2.19二次曲线74

2.20二次曲线的离心率77

2.21二次曲线的极坐标方程78

2.22习题79

2.23一般二次曲线的笛卡儿方程80

2.24关于原点对称的二次曲线81

2.25椭圆和双曲线在标准位置时的笛卡儿方程82

2.26抛物线的笛卡儿方程84

2.27习题85

2.28关于二次曲线的综合性习题86

第3章 线性空间88

3.1引言88

3.2线性空间的公理化定义88

3.3线性空间的实例89

3.4公理的简单推论91

3.5习题92

3.6线性空间的子空间93

3.7线性空间的线性相关组和线性无关组94

3.8基与维数97

3.9分量98

3.10习题99

3.11内积·欧氏空间·范数100

3.12欧氏空间中的正交性103

3.13习题105

3.14正交组的构造·Gram-Schmidt方法107

3.15正交补·投影111

3.16用有限维子空间中的元素给出欧氏空间中元素的最优逼近112

3.17习题114

第4章 线性变换·矩阵115

4.1线性变换115

4.2零化空间·值域116

4.3零化度·秩117

4.4习题119

4.5线性变换的代数运算120

4.6逆122

4.7一一线性变换124

4.8习题125

4.9基元素的象为指定值的线性变换127

4.10线性变换的矩阵表示127

4.11对角形矩阵表示的构造132

4.12习题134

4.13矩阵组成的线性空间135

4.14线性变换与矩阵之间的同构136

4.15矩阵的乘法138

4.16习题140

4.17在线性方程组中的应用142

4.18计算技术·Gauss-Jordan消元法144

4.19方阵的逆148

4.20习题152

4.21关于矩阵的综合性习题153

第5章行列式155

5.1引言155

5.2行列式函数公理的选择156

5.3行列式函数的公理157

5.4对角矩阵的行列式158

5.5上三角形矩阵的行列式159

5.6用Gauss-Jordan消元法计算行列式160

5.7行列式函数的唯一性160

5.8习题161

5.9行列式的多重线性性162

5.10多重线性性的应用164

5.11行列式的乘积公式165

5.12非奇异矩阵的逆矩阵的行列式166

5.13行列式与向量组的线性无关性166

5.14分块对角矩阵的行列式167

5.15习题168

5.16行列式关于余子式的展开式169

5.17余子式矩阵170

5.18Cramer法则171

5.19行列式按子式的展开式172

5.20习题175

5.21行列式函数的存在性175

5.22关于行列式的综合性习题178

第6章特征值与特征向量180

6.1具有对角矩阵表示的线性变换180

6.2线性变换的特征值与特征向量181

6.3属于不同特征值的特征向量的线性无关性183

6.4习题184

6.5有限维线性空间185

6.6三角化定理186

6.7特征多项式189

6.8有限维情形下特征值与特征向量的计算190

6.9特征多项式根的积与和193

6.10习题194

6.11表示同一个线性变换的矩阵相似矩阵195

6.12习题199

6.13Cayley-Hamilton定理200

6.14习题202

6.15Jordan标准型203

6.16关于特征值与特征向量的综合性习题206

第7章欧氏空间中线性变换的特征值208

7.1特征值与内积208

7.2Hermite变换与斜Hermite变换209

7.3属于不同特征值的特征向量的正交性210

7.4习题210

7.5有限维空间中Hermite算子和斜Hermite算子的标准正交特征向量组的存在性211

7.6Hermite算子与斜Hermite算子的矩阵表示212

7.7Hermite矩阵和斜Hermite矩阵伴随矩阵213

7.8Hermite矩阵与斜Hermite矩阵的对角化214

7.9酉矩阵·正交矩阵215

7.10习题216

7.11二次型218

7.12将实二次型化为对角形220

7.13对二次曲线的应用221

7.14习题225

7.15正定二次型226

★7.16由二次型的值求对称变换的特征值227

★7.17对称线性变换的极值性质228

★7.18有限维情形229

7.19酉变换230

7.20习题233

★7.21作用在函数空间上的对称算子和斜对称算子233

7.22习题235

第8章 在线性微分方程中的应用237

8.1引言237

8.2关于一阶与二阶线性微分方程的结果的回顾238

8.3习题239

8.4n阶线性微分方程240

8.5存在唯一性定理241

8.6齐次线性微分方程解空间的维数242

8.7常系数线性算子的代数242

8.8由算子的因式分解求常系数线性微分方程解的一组基244

8.9习题247

8.10齐次方程与非齐次方程之间的关系248

8.11求非齐次方程的一个特解·参数变易法249

8.12齐次线性微分方程n个线性无关解的Wronski矩阵的非奇异性252

8.13求非齐次方程特解的特殊方法化为一阶线性微分方程组254

8.14求非齐次微分方程特解的零化子方法254

8.15习题257

第9章 在微分方程组理论中的应用260

9.1引言260

9.2矩阵函数的微积分262

9.3矩阵幂级数·矩阵的范数262

9.4习题264

9.5指数矩阵265

9.6 etA所满足的微分方程265

9.7矩阵微分方程F′ （t）＝AF（t）的解的唯一性定理266

9.8关于指数矩阵的指数定律267

9.9常系数齐次线性微分方程组的存在唯一性定理268

9.10在特殊情形下etA的计算269

9.11习题273

9.12计算etA的Putzer方法274

9.13在特殊情形下计算etA的方法277

9.14习题279

9.15常系数非齐次线性微分方程组279

9.16习题282

9.17一般线性微分方程组Y′（t） =P（t）Y（t）+Q（t）283

9.18求解齐次线性方程组的幂级数方法286

9.19习题287

第10章 逐次逼近法288

10.1引言288

10.2在齐次线性方程组Y′（t）= A（t）Y（t）中的应用288

10.3逐次逼近序列的收敛性289

10.4用于一阶非线性方程组的逐次逼近法292

10.5一阶非线性方程组解的存在唯一性定理的证明294

10.6习题295

★10.7逐次逼近与算子不动点297

★10.8赋范线性空间297

★10.9收缩算子298

★10.10 关于收缩算子的不动点定理299

★10.11不动点定理的应用301

习题解答304

索引328