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第1章 复变函数引论1

1.1 复数与复变函数1

1.1.1 复数表示法2

1.1.2 复数的运算规则3

1.1.3 复变函数的概念5

1.1.4 复多项式与复变函数的幂级数10

1.2 初等复变函数与反函数14

1.2.1 初等复变函数的定义14

1.2.2 指数函数、三角函数与双曲函数15

1.2.3 反函数19

1.3 复变函数的导数与解析函数23

1.3.1 复变函数的导数与解析函数的定义23

1.3.2 柯西-黎曼方程26

1.3.3 多值函数的解析延拓29

1.4 复变函数的积分32

1.4.1 复变函数积分的概念和计算32

1.4.2 柯西-古萨定理35

1.4.3 复变函数的原函数与积分37

1.5 解析函数的高阶导数和泰勒级数41

1.5.1 解析函数的高阶导数41

1.5.2 泰勒级数46

1.6 罗朗级数与留数49

1.6.1 罗朗级数50

1.6.2 留数和围道积分54

1.6.3 留数的简便求法57

1.7 留数在定积分计算中的应用58

1.7.1 ？（cosθ,sinθ）dθ型积分60

1.7.2 ？（x）dx型积分61

1.7.3 ？f（x）ejmxdx（m＞0）型积分62

1.7.4 ？（x）dx型积分，且f（x）在实轴上有一阶极点的积分63

1.7.5 ？（x）ejmxdx（m＞0）型积分，且f（x）在实轴上有一阶极点的积分64

习题164

第2章 傅里叶变换69

2.1 函数空间及函数展开69

2.1.1 函数的内积69

2.1.2 平方可积函数空间与函数展开73

2.2 傅里叶积分与傅里叶变换78

2.2.1 一维傅里叶变换定理78

2.2.2 多维傅里叶变换83

2.3 阶跃函数与δ函数的傅里叶变换84

2.3.1 阶跃函数及广义傅里叶变换84

2.3.2 广义函数及δ（x）函数88

2.3.3 δ（x）函数的性质92

2.4 傅里叶变换的性质98

2.5 函数的卷积与傅里叶变换的卷积定理103

2.5.1 函数的卷积103

2.5.2 傅里叶变换的卷积定理106

2.6 复值函数的傅里叶变换108

习题2109

第3章 拉普拉斯变换113

3.1 拉普拉斯变换的基本原理113

3.1.1 拉普拉斯变换的概念113

3.1.2 周期脉冲函数拉普拉斯变换的计算方法117

3.2 拉氏变换的性质118

3.3 拉氏变换的卷积定理126

3.3.1 卷积的意义和它的运算规则126

3.3.2 卷积定理127

3.4 拉氏逆变换及其应用130

3.4.1 拉氏逆变换的反演积分原理130

3.4.2 用拉氏逆变换解常微分方程133

习题3138

第4章 用分离变量法求解偏微分方程140

4.1 数学物理方程的导出140

4.2 定解问题的基本概念146

4.2.1 泛定方程的基本概念146

4.2.2 定解条件149

4.2.3 线性偏微分方程解的叠加定理151

4.3 直角坐标系下的分离变量法153

4.3.1 一维齐次定解问题的分离变量法153

4.3.2 高维齐次定解问题的分离变量法159

4.4 直角坐标系下的第三类边值问题与广义傅里叶级数161

4.4.1 直角坐标系下的第三类边值问题的求解161

4.4.2 广义傅里叶级数164

4.5 拉普拉斯方程的定解问题167

4.5.1 平面直角坐标系中的狄利克莱问题167

4.5.2 直角坐标系中拉普拉斯方程的混合定解问题169

4.5.3 圆域内的狄利克莱问题171

4.6 特征函数展开法解齐次边界条件的定解问题174

4.6.1 齐次边界条件发展方程初值问题的解法175

4.6.2 非齐次边界条件边值问题的解法177

4.7 非齐次边界条件的处理180

习题4184

第5章 二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数188

5.1 贝塞尔方程与勒让德方程188

5.1.1 贝塞尔方程的导出189

5.1.2 勒让德方程的引入191

5.2 二阶线性常微分方程的幂级数解法193

5.2.1 二阶线性常微分方程的奇点与常点193

5.2.2 二阶线性常微分方程的幂级数解194

5.3 二阶线性常微分方程的广义幂级数解法198

5.3.1 弗罗贝尼乌斯解法理论198

5.3.2 弗罗贝尼乌斯级数解法202

5.4 常微分方程的边值问题207

5.4.1 常微分方程边值问题的提出207

5.4.2 SL问题的定理210

5.4.3 广义傅里叶级数的进一步讨论213

习题5217

第6章 柱面坐标中的偏微分方程解法219

6.1 贝塞尔方程的解与贝塞尔函数219

6.1.1 第一类和第二类贝塞尔函数219

6.1.2 整数阶诺依曼函数223

6.2 贝塞尔函数的递推公式225

6.3 贝塞尔函数的性质228

6.3.1 贝塞尔函数的渐近式228

6.3.2 贝塞尔函数与诺依曼函数的性质229

6.3.3 贝塞尔函数的生成函数与积分表示231

6.4 傅里叶-贝塞尔级数231

6.4.1 傅里叶-贝塞尔级数展开式232

6.4.2 贝塞尔函数的模233

6.5 柱坐标下的边值问题236

6.5.1 柱对称的边值问题236

6.5.2 二重傅里叶-贝塞尔级数的边值问题240

6.6 虚宗量贝塞尔函数243

6.6.1 修正的贝塞尔函数243

6.6.2 修正的贝塞尔函数边值问题246

6.7 其他类型的贝塞尔函数248

6.7.1 第三类贝塞尔函数与柱函数248

6.7.2 开尔芬函数249

6.7.3 球贝塞尔函数250

习题6251

第7章 球面坐标中的偏微分方程解法254

7.1 勒让德方程与勒让德多项式254

7.1.1 勒让德方程的求解254

7.1.2 勒让德多项式258

7.2 勒让德函数的性质及递推公式260

7.2.1 罗德利克公式260

7.2.2 勒让德函数的性质262

7.2.3 勒让德多项式的递推公式263

7.3 傅里叶—勒让德级数265

7.4 勒让德多项式的边值问题269

7.5 连带勒让德多项式及应用273

7.5.1 连带勒让德多项式273

7.5.2 球谐函数275

习题7278

第8章 无界区域的定解问题280

8.1 二阶偏微分方程分类及其在数理方法中的应用280

8.1.1 二阶两变量线性偏微分方程的分类280

8.1.2 二阶多变量线性偏微分方程的分类284

8.1.3 偏微分方程分类在数理方法中的应用284

8.2 用行波法求解定解问题285

8.2.1 用行波法求解柯西问题286

8.2.2 用行波法求解有界区域齐次波动方程289

8.3 用齐次化原理求解非齐次方程291

8.3.1 无界区域非齐次弦振动方程的齐次化原理291

8.3.2 有界区域定解问题的齐次化解法295

8.4 齐次高维波动方程的柯西问题297

8.4.1 球对称柯西问题的求解297

8.4.2 三维波动方程的泊松公式298

8.4.3 降维法求柯西问题305

8.5 非齐次高维波动方程的求解308

8.6 用积分变换法求解偏微分方程312

8.6.1 用傅里叶变换求定解问题312

8.6.2 半无限区域上的定解问题315

8.6.3 用拉氏变换求解偏微分方程318

习题8319

第9章 格林函数法求解数理方程323

9.1 格林公式及其在数理方程中的应用323

9.1.1 格林公式323

9.1.2 泊松方程的积分表达式324

9.2 格林函数与场位方程的解326

9.2.1 有界空间格林函数的定解问题与泊松方程的解326

9.2.2 无界空间格林函数与泊松方程的解329

9.3 格林函数法解定解问题333

9.3.1 用电象法求格林函数333

9.3.2 用正交函数展开法求格林函数336

习题9341

附录343

附录A 傅氏变换简表343

附录B 拉氏变换简表345

部分习题参考答案349

参考文献364